量子化数学解读

第10节非对称场“量子化”问题的数学解读内容提要：本文提出，发生在连续变化的对称场那里的事物，用《复变函数论》方法处理已经完善了。但是，对于非对称场，某事物的边值问题将将发生量子化问题。本文揭示了“量子化问题”的数学描述及事物的边值问题解的分布规律。关键词：超变函数论，边值问题，非对称场，超变函数重要积分，量子化，空数j。分类号：函数论，量子力学前言：理论物理学家A.爱因斯坦说“人们不止一次地提出过这样的意见，认为自然规律未必能用微分方程来描述。事实上，从量子论的观点来看，是否容许体系有这种状态呢？为了有可能回答这个问题，我们应当认为，体系运动的周期，全都只能按照量子规则形成。为了真正证明量子关系，显然需要新的数学语言。无论如何，用微分方程组和积分条件来记录自然规律，正如我们今天所做的那样，是同合理的想法矛盾的。理论物理学的基础重新受到震撼，实验要求我们能够在新的更高的水平上找到描述自然规律的方法。新思想要到什么时候才会出现呢？谁要是能够活到那个时候并且能够看到这一点，那该是多么幸福啊。”（许良英等编译，爱因斯坦文集（第一卷）[M].爱因斯坦意识到：量子力学的路线必定是使得它为了描述实在而去寻求一种纯粹的代数理论。但是，却无法给出这样一种理论的基础。本文根据《超变函数论》的理论（也即爱因斯坦期望的纯粹的代数理论），企图揭示连续与间断的联系并给出非对称场的“量子化”的数学解读。第一节非对称场的量子化问题1.三维对称场研究某一物理量，原则上讲是个“边值问题”。如果其背景属于三维对称向量场，那么切出一个平面并应用《复变函数论》就行了。于是，由复变函数重要积分（边值问题的基本公式）c1f()f(z)d2iz（1.1）及c1d2iz（1.2）可知，函数f(z)在边界c内z处的值取决于它在边界c上的值f()；并且，f(z)是连续的。2.三维非对称场我们在《超变函数论的四个等价命题》中【参考文献（2）】给出超变函数重要积分（三维边值问题的基本公式）dQfjiHQf)(),(1)(（2.1）及1(,)dHijQ（2.2）可知，函数f(Q)在边界面内Q处的值取决于它在边界上的值f()。但是，“量子化”发生了。让我们细说之。第一，积分f()dQ是连续的；第二，“量子化”发生在H(i,j)这里。我们在《超变函数论的四个等价命题》中己给出(,)ln(1)2Hiji（3.1）或者(,)ln()2Hijji（3.2）且对上两式有下列结果：①在kkjij及qqjiij时，)12()1ln(ki（Zk）（4.1）在ppiij时，)12ln()2()12()1ln(jkiki（Zk）（4.2）②在kkjij时，)ln(j无意义在ppiji时，))(12ln(]4)12[()ln(Zkjkij（4.3）在kkijij时，))(12ln()22()ln(Zkjkij（4.5）也就是说，（1）在kkjij时0QQdQ=(,Hij）=ln(1)2(21)2(23)iikiik（Zk）（4.6）（2）在ppiji时0QQdQ=(,Hij）=ln(1)2ln()2iji此时)12ln()2()12()1ln(jkiki；（4.7）))(12ln(]4)12[()ln(Zkjkij（4.8）（3）在kkijij时0QQdQ=(,Hij）=ln(1)2ln()2iji此时)12()1ln(ki；（4.9）))(12ln()22()ln(Zkjkij（4.10）由以上各式可见，由于Zk，故(,)Hij的取值是“跳跃”的，因此（2.1）式所示的()fQ是“量子化”的。在这里我们给出了三维非对称场的边值问题“量子化”的数学本质！第二节“量子化”值的分布由（2.1）式知，这里涉及(,)Hij的逆（或说倒数）。为此，我们先摘录相关于两类超复数Qaic及Qiajc求逆的一般性结论。一，两类超复数求逆的一般性结论（详见附录1）（1）Qaic的倒数存在且即为通常的复数求逆.（2），在11iji分解下，在平面yoz内所给超复数Qiajc的倒数不存在。（3）在22ijj分解下，在平面yoz内所给超复数Qiajc的倒数可能存又可能不存在在；存在时也可能不唯一。（4）在33ijij分解下，在平面yoz内所给超复数Qiajc（0c）的倒数不存在；（5）在33ijij分解下，在平面yoz内所给超复数Qiajc，当0c时（同时1a），11Qiai；当0a，（同时1c）11Qjcj二，求(,)Hij及1(,)Hij的综合结论1，在kkjij时)12()1ln(ki（Zk）；)ln(j无意义，故此时0QQdQ=(,Hij）=ln(1)2(21)2(23)iikiik（Zk）；1(,)Hij1[(23)](23)iikk（Zk）（5-1）2，在ppiji时)12ln()2()12()1ln(jkiki（Zk）;))(12ln(]4)12[()ln(Zkjkij但是,在超复求逆的讨论中已经知道ppiji分解下，在yoz内所给超复数Qiajc不存在倒数.所以,此时只剩下)12()1ln(ki的逆存在.即1(,)Hij1[(23)](23)iikk（5-2）3，在qqjiij时，)12()1ln(ki（Zk）))(12ln()22()ln(Zkjkij但是,在超复求逆的讨论中已经知道,在33ijij分解下，Qiajc的倒数不存在.所以,此时只剩下)12()1ln(ki的逆存在.即1(,)Hij1[(23)](23)iikk（5-3）（5-1）至（5-3）说明，不管在ij的哪种分解方式下，1(,)Hij皆相同。三，dQfjiHQf)(),(1)(的值分布前己叙及，因1(,)Hij值的“量子化”，随之()fQ就被“量子化”。那么，相应的结论是什么？由于，在11iji、kkjij、qqjiij三种情况下，1(,)Hij的值皆为1(,)Hij=(23)ik()kz（6）并且可以看出，对于不同的整数KdQfjiHQf)(),(1)(的值己‘量子化’了。或者说，在闭曲面上连续的函数所决定的它在内点Q的值是跳跃的、离散的。四，后记当年爱因斯坦的困惑，来自两个方面：第一是非对称场的“量子化”的代数表达；第二是如何引入边界条件。困惑他一生的根由实际是缺少《超变函数论》！我们的结果，支持了爱因斯坦“上帝不掷骰子”的观念。Reference[1]DichenYu,TheDiscussiononTheoryofSuper-variableFunction,InternationalJournalofAppliedMathematics&Statistics,Vol.13No.S08,2008[2]DichenYu,FourEquivalentPropositionsRelatedtotheTheoryofSuper-variableFunction,InternationalJournalofAppliedMathematics&Statistics,Vol.14;No.S09,2009[3]Di-chenYu,TheRelationshipbetweenTheoryofSuper-variableFunctionandTheFieldTheory,Int.J.Appl.Math.Stat.;Vol.13;No.S10；2010.3[4]JacobBear“DYNAMICSOFFLUIDSINDOROUSMEDIA”AMERICANELSEUIERPUBLISHINGCOMPANY,INC.1972.[5]“Thecontents,approachandsignificancesofmathematics”Α.Д.Αдександровит.д.[6]MorrisKlineMathematicalThoughtfromAncienttoModernTimes,Vol.1[7]Oncomplex-variablefunctions[M]DeptofMathematical-MechanicsofPekingUniversity,Peking,ThePeople'sEducationPress,1958.附录1：超复数求逆超复数Qaibjc如何求逆？在对超复数求逆时，我们只需在01Q下进行。事实上，任意超复数0QQQ.故而，我们只需考虑单位超复数0Q的求逆。具体到本文，只涉及Qaib、Qajc、Qibjc的求逆。现让我们讨论如下。1，超复数Qaib（221ac），为求其逆（实际是在复平面xoy内求逆），则只能是11Qmin的形式。现在，只要求出n及m之值，1即可求出。其过程如下：设11minaic，由此得出1()()ambnimban（1）由（1）式得21()ambnaamabn0=20bmanbmabn相加得（2）22()ambam，代入（2）得nb。于是11aibaib于是有结论1：Qaib的倒数存在且即为通常的复数.2，求Qajc之逆（实际在xoz平面内求逆），则只能（见[注1]）是11Qmjpajc（3）由（3）式得21()()()()ajcmjpamjcmapjcpamjcmapcp对应有联立方程组22101amcmapcpmp（4）由此得1()amappcmpmmp（4-1）因221ac，所以222211()pacmmmp，整理得2222()()mppmmp（4-2）因221mp（4-3）所以，联立求解上面两式，得出2()1mp故有结论2，每一形式为Qajc（1Q）的超复数没有倒（逆）数。[注1]：当Qajc时，是否可取11QminjPQ？答：不可！让我们陈述如下。由11QminjPQ，（5）可得1=()ajc()minjP=()amianjmcapcpijcn（6）（1）在11iij下有1=11()()()amcniancnjmcapcp由此得如下的联立方程组1=1amcn10ancn0mcapcp（7）1222pnm11212221ac上面的六个方程要解出七个参数，显然不合理。所以应抛弃11QminjPQ的可能性。3，Qiajc的求逆问题同样道理可知，为求Qiajc之逆（实际在yoz平面内求逆），则只能是11QinjPQ（221np），那么1Q存在否？答：不一定！让我们陈述如下。此时有（应用空数j的性质：2jj）1()()()iajcinjPanijcnapjcp（8）（1）在11iji下，由（8）式得1()()()iajcinjPanijcnapjcp，由此有111()0()0ancnapcnapcp（8-1）由上式得出0pn，代入（8-1）的第一式后，得出1