量子力学复习资料

量子力学复习资料，填空及问答部分ByChaosBluestar1能量量子化辐射黑体中分子和原子的振动可视为线性谐振子，这些线性谐振子可以发射和吸收辐射能。这些谐振子只能处于某些分立的状态，在这些状态下，谐振子的能量不能取任意值，只能是某一最小能量的整数倍n,,4,3,2,对频率为的谐振子,最小能量为:νh2.波粒二象性波粒二象性（wave-particleduality）是指某物质同时具备波的特质及粒子的特质。波粒二象性是量子力学中的一个重要概念。在经典力学中，研究对象总是被明确区分为两类：波和粒子。前者的典型例子是光，后者则组成了我们常说的“物质”。1905年，爱因斯坦提出了光电效应的光量子解释，人们开始意识到光波同时具有波和粒子的双重性质。1924年，德布罗意提出“物质波”假说，认为和光一样，一切物质都具有波粒二象性。根据这一假说，电子也会具有干涉和衍射等波动现象，这被后来的电子衍射试验所证实。德布罗意公式hνmcE2hmpv3.波函数及其物理意义在量子力学中，引入一个物理量：波函数，来描述粒子所具有的波粒二象性。波函数满足薛定格波动方程0),()](2[),(22trrVmtrti粒子的波动性可以用波函数来表示，其中，振幅表示波动在空间一点(x,y,z)上的强弱。所以，应该表示粒子出现在点(x,y,z)附件的概率大小的一个量。从这个意义出发，可将粒子的波函数称为概率波。自由粒子的波函数)](exp[EtrpiAk波函数的性质：可积性，归一化，单值性，连续性4.波函数的归一化及其物理意义常数因子不确定性设C是一个常数，则和对粒子在点(x,y,z)附件出现概率的描述是相同的。相位不定性如果常数，则和对粒子在点(x,y,z)附件出现概率的描述是相同的。表示粒子出现在点(x,y,z)附近的概率。2|(,,)|xyz(,,)xyz(,,)cxyzieC(,,)iexyz(,,)xyz表示点(x,y,z)处的体积元中找到粒子的概率。这就是波函数的统计诠释。自然要求该粒子在空间各点概率之总和为1必然有以下归一化条件5.力学量的平均值既然表示粒子出现在点附件的概率，那么粒子坐标的平均值，例如x的平均值x__，由概率论，有又如，势能V是r的函数：)(rV，其平均值由概率论，可表示为rdrrVrV3*)()()(rdrrVrV3*)()()(再如，动量的平均值为：为什么不能写成因为x完全确定时p完全不确定，x点处的动量没有意义。能否用以坐标为自变量的波函数计算动量的平均值？可以，但需要表示为p__rdrpr3*)(ˆ)(其中为动量的算符6.算符量子力学中的算符表示对波函数（量子态）的一种运算如动量算符ipˆ能量算符EtiEˆ动能算符222ˆmT动能平均值rdrTrT3*)(ˆ)(角动量算符prlˆˆ角动量平均值rdrlrl3*)(ˆ)(薛定谔方程),()],(2[),(22trtrVmtrti算符，被称为哈密顿算符，7.定态数学中，形如的方程，称为本征方程。其中方程称为能量本征方2|(,,)|xyzxyzxyz2|(,,)|1xyzdxdydz22|()||(,,)|rxyz),,(zyxr23*3|()|()(),xrxdrrxrdr3drdxdydz*3()(),ppppdprdrrprp3*)()()(ipˆpˆAfafˆA算符,f本征函数,a本征值22ˆ()2HVrm22ˆ[()]()()()()2EEEEVrrErHrErm程，被称为能量本征函数，E被称为能量本征值。当E为确定值，),(tr=)(rE)exp(Eti拨函数所描述的状态称为定态，处于定态下的粒子有以下特征：粒子的空间概率密度不随时间改变，任何不显含t的力学量的平均值不随时间改变，他们的测值概率分布也不随时间改变。8.量子态叠加原理但一般情况下，粒子并不只是完全处于其中的某一本征态，而是以某种概率处于其中的某一本征态。换句话说，粒子的状态是所有这些分立状态的叠加，即)()(xcxnnn，具有),(中发现粒子处于态)(表示在态||2xxcnn的概率能量nE9.宇称若势函数V（x）=V（-x），若)(x是能量本征方程对于能量本征值E的解，则)(x也是能量本征方程对于能量本征值E的解具有确定的宇称。无简并，则若的解，如果能量本征值是能量本征方程对应于设)()(),()()(xxxVxVEx10.束缚态通常把在无限远处为零的波函数所描写的状态称为束缚态11.一维谐振子的能量本征值12.隧穿效应)(rE:()()()()()()()()()cos()cos()cos()sin()sin()sin()PPxxPxxxPxxxxPxxxPxxx定义空间反演算符为如果或，称具有确定的偶宇称或奇宇称，如偶宇称奇宇称注意：一般的函数没有确定的宇称.,2,1,0,)2/1(nnEEn量子隧穿效应为一种量子特性，是如电子等微观粒子能够穿过比它们能量大的势垒的现象。这是因为根据量子力学，微观粒子具有波的性质，而有不为零的概率穿过位势障壁。又称隧穿效应，势垒贯穿。按照经典理论，总能量低于势垒是不能实现反应的。但依量子力学观点，无论粒子能量是否高于势垒，都不能肯定粒子是否能越过势垒，只能说出粒子越过势垒概率的大小。它取决于势垒高度、宽度及粒子本身的能量。能量高于势垒的、运动方向适宜的未必一定反应，只能说反应概率较大。而能量低于势垒的仍有一定概率实现反应，即可能有一部分粒子(代表点)穿越势垒(也称势垒穿透barrierpenetration)，好像从大山隧道通过一般。这就是隧道效应。例如H+H2低温下反应，其隧道效应就较突出。13.算符对易式一般说来，算符之积不满足交换律，即，由此导致量子力学中的一个基本问题：对易关系对易式，通常坐标对易关系角动量的对易式,0]ˆ,ˆ[,ˆ]ˆ,ˆ[,ˆ]ˆ,ˆ[,ˆ]ˆ,ˆ[,0]ˆ,ˆ[,ˆ]ˆ,ˆ[,ˆ]ˆ,ˆ[,ˆ]ˆ,ˆ[,0]ˆ,ˆ[,0],ˆ[,],ˆ[,],ˆ[,],ˆ[,0],ˆ[,],ˆ[,],ˆ[,],ˆ[,0],ˆ[zyxyzyxzxzyyyzxyyzxzyxxxyzzyyyxxxplpiplpiplpiplplpiplpiplpiplplzlxiylyixlxizlylzixlyizlziylxlyxzxzyzyxzzyyxxlilllilllillllllllˆ]ˆ,ˆ[,ˆ]ˆ,ˆ[,ˆ]ˆ,ˆ[,0]ˆ,ˆ[,0]ˆ,ˆ[,0]ˆ,ˆ[14.厄密算符平均值的性质,ˆ~ˆˆ,ˆ*的厄密共轭算符称为的共轭转置算符则AAAA。＝即记为*~ˆˆ,ˆAAA先转置，再共ABBAˆˆˆˆABBABABAˆˆˆˆ]ˆ,ˆ[设,ˆ和ˆ0]ˆ,ˆ[BA,0,]ˆ,[iipzyx,,,0]ˆ,ˆ[,0]ˆ,ˆ[,0]ˆ,ˆ[,ˆˆˆˆ2222222zyxzyxllllllllll有令轭。**ˆ~ˆAdAd体系的任何状态下，其厄密算符的平均值必为实数，在任何状态下平均值为实的算符必为厄米算符，实验上可观测量相应的算符必须是厄米算符。厄密算符的属于不同本征值的本征函数彼此正交。15.量子力学关于算符的基本假设1、微观粒子的状态由波函数描写。2、波函数的模方表示t时刻粒子出现在空间点(x,y,z)的概率。3、力学量用算符表示。4、波函数的运动满足薛定格方程16.算符的本征方程，本征值与本征函数数学中，形如的方程，称为本征方程。其中3*其中，,)(均可展开如下：状态完备态矢，系统的任何能构成一组正交归一都是不简并的，则,果的本征态与本征值，如ˆ是算符和draaxAAAnnnnnnnnn17.不确定度关系的严格表达18.两个算符有共同本征态的条件两个算符对易，即0]ˆ,ˆ[BA19.力学量完全集若算符的本征值是简并的，仅由其本征值无法惟一地确定其本征态。若要惟一地确定其本征态，必须再加上另一些与之对易的算符的本征值才可。例如，仅由的本征值不能确定体ˆAfaf),(tr2|),(|tr2222ˆ(,)()(,)(,),2ˆ(,)2irtVrtHrttmHVrtm哈密顿算符ˆA算符,f本征函数,a本征值ˆ,ˆˆˆnnnnnAAAnAAAAAA满足的和不止一组可能有组，因此此式称为的本征方程，称为的一个本征值，称为的一个本征态。系状态，必再加上的本征值才能确定体系状态。这样，为了完全确定一个体系的状态，我们定义力学量完全集。定义：如果有一组彼此独立而且相互对易的厄米算符，它们只有一组共同完备本征函数集，记为，可以表示一组量子数，给定一组量子数后，就完全确定了体系的一个可能状态，则称为体系的一组力学量完全集。20.力学量完全集共同本征态的性质若能级简并21.守恒量对于Hamilton量H不含时的量子体系，如果力学量A与H对易，则无论体系处于什么状态（定态或非定态），A的平均值及其测值的概率分布均不随时间改变，所以把A称为量子体系的一个守恒量。22.狄拉克符号，内积及其表示形式，算符向左作用把希尔伯特空间一分为二，互为对偶的空间，就是狄拉克符号的优点。用右矢|α表示态矢，左矢α|表示其共厄矢量，α|β是内积，α|α大于等于0，称为模方。|βα|是外积。*的共轭态量子态左矢|；代表量子态右矢|是力学量完全集若k)ˆ,ˆ(是如球谐函数,||的本征态，则2zlmkllYkFlmYlm||的共同本征函数，采用狄拉克符号表示量子态是，都只是一个抽象的态矢，未涉及任何具体的表象。kkkkkkPIPIkk为投影算符||,或||算符向左作用23.角动量平方和角动量z分量的共同本征函数immlmlmzePmlmllYll)(cos)!()!(412)1(),(的共同本征函数为ˆ和ˆ这样，2,2,1,0,,1,,1,其中lllllm,2,1,0,,1,,1,ˆ)1(ˆ足称为球谐函数，它们满22lllllmYmYlYllYlYlmlmzlmlmlm注意量纲注意，推导过程计算题有可能要考24.氢原子的能量本征值与能级简并度,,3,2,1,121222224nnaeneEEn简并的氢原子的能级是2n25.正常Zeeman效应原子在外磁场中发光谱线发生分裂且偏振的现象称为塞曼效应；历史上首先观测到并给予理论解释的是谱线一分为三的现象，后来又发现了较三分裂现象更为复杂的难以解释的情况，因此称前者为正常或简单塞曼效应，后者为反常或复杂塞曼效应。26.电子自旋电子的基本性质之一。电子内禀运动或电子内禀运动量子数的简称自旋不是机械的自转27关于电子自旋的Stern-Gerlach实验Stern-Gerlachexperiment首次证实原子在磁场中取向量子化的实验，是由O.斯特恩和W.革拉赫在1921年完成的。实验装置如图斯特恩－革拉赫实验装置示意图示。使银原子在电炉O内蒸发,通过狭缝形成细束，经过一个抽成真空的不均匀的磁场区域（磁场垂直于束方向）,最后到达照相底片P上。在显像后的底片上现了两条黑斑，表示银原子在经过