量子力学试题

郑州轻工业学院2006—2007学年度第二学期《量子力学》课程期末试卷（A）题号一二三四总分得分得分评卷人一、基本概念解释与简答题（每题7分，共14分1.哪些实验表明电子具有自旋现象？举例说明电子具有自旋。电子的自旋是在实验事实的基础上以假设方式提出的。实验事实：①原子的精细结构②塞曼效应③斯特恩－盖拉赫实验——3分斯特恩－革拉赫实验：现象：K射出的处于S态的氢原子束通过狭缝BB和不均匀磁场，最后射到照相片PP上，实验结果是照片上出现两条分立线。——2分解释：对于基态氢原子，0l,没轨道角动量，因此与磁矩无相互作用，应连续变化，照片上应是一连续带，但实验结果只有两条,说明zM是空间量子化的，只有两个取向1cos，所以原子所具有的磁矩是电子固有磁矩,即自旋磁矩。——2分2.为什么说轨道角动量具有空间量子化现象？画出l=3时角动量空间量子化分布图。因为轨道角动量及其分量是取分离值，而不能取任意值。——3分——4分得分评卷人二、证明题（共16分）1.证明：xxfixfPx)()](,ˆ[。(5分)证明：设任意态函数)(x])()()()([)](,ˆ[xxfxxfxxfixfPx——4分)(xfi——1分xxfixfPx)()](,ˆ[2.证明：厄密算符的本征值必为实数。(5分)证明：设：Fˆ为厄密算符，为其本征值，因此有Fˆ，dFdF**ˆˆ——3分取：，dd***——2分所以：*是实数。3.设电子1、2的自旋分别为：21ˆ,ˆSS，体系处于对称波函数为)()()1(zzsss的状态，证明：总自旋角动量平方Z分量的本征值为。(6分)证明：21ˆˆˆSSS,zzzSSS21ˆˆˆ——2分由单一电子本征方程：2ˆzS——2分zzszSSS21)1(ˆˆˆ22——2分所以得分评卷人三、计算题（共70分）1.一维谐振子处在第一激发态222122)(xxex，其中，求：（1）粒子的概率密度；（2）几率最大的位置。（10分）解：（1）（5分）（2）22]22[2)(3231xexxdxxd令0)(1dxxd，(3分)得xxx10（2分）2.设HHH0，在0H表象中，aEbbaEH)0(2)0(1ˆ，其中030201EEE，用微扰论求能级修正（准到二级近似），并绘出示意图。（20分）解：abbaHEEH,00)0(2)0(10——2分，002',')2(nmnmnmEEHE对于aHEE11)1(11:题设)0(2)0(12)2(1EEbE——4分02012)0(11EEbaEE——4分对于aHEE22)1(22:)0(1)0(22)2(2EEbE——4分01022)0(22EEbaEE——4分22222322211224)()(xxexexxxnHnˆ)1(nEnnH,图：——4分3.已知氢原子在0t时处于状态10)(01)(3201)(31)0,(3312xcxxx其中，)(xn为该氢原子的第n个能量本征态。求：（1）能量的可能值、相应概率及平均值；（2）自旋z分量的可能值、相应概率及平均值；（3）写出0t时的波函数。（20分）解（1）已知氢原子能量为42212neEn，,3,2,1n因为3,2,1n，则氢原子能量的可能值为2412eE2428eE，24118eE——3分归一化：1929123c，363c能量的可能取值为123,,EEE，相应的取值几率为3296,92,91312——3分能量平均值为321969192EEEE[224e]9196419192[91224e]32412[91224e]1283242421635e——3分（2）将0t时的波函数写成矩阵形式312363231).(ox3126231——3分自旋z分量的可能取值为,22，相应的取值几率为32,319291WW——3分自旋z分量的平均值为6)2(32231zS——3分（3）0t时的波函数).(txtEitEitEieee3123126231——2分4.设粒子在宽度为a的一维无限深势阱中运动，如粒子的状态由波函数xaxaaxcos3sin2)(描写。求粒子能量的可能值相应的概率及平均值。解：宽度为a的一维无限深势井的能量本征函数axnansin2——3分由三角公式：sinsin2cos2sin2xaxaaxcos3sin2)(]2sin4[sin1axaxa)(21)(21)2sin24sin2(21)(24xxaxaaxax——5分能量本征值22222anEn222224aE2222a——3分2224216aE22228aE——3分出现2E的几率2122c,出现4E的几率2124c——3分能量平均值4222121EEEcEnnn12222225821221Eaa——3分郑州轻工业学院2007—2008学年度第二学期《量子力学》课程期末试卷（B）题号一二三四总分得分得分评卷人一、基本概念解释与简答题（每题7分，共14分）1.解释斯特恩-革拉赫实验。答：斯特恩－革拉赫实验能够说明电子具有自旋角动量：基态氢原子束通过不均匀磁场时，射到照相片，出现两条分立线。——3分如磁矩M在空间可取任何方向，照片上应是一连续带，但实验结果只有两条,说明zM是空间量子化的，只有两个取向1cos，对S态,0l,没轨道角动量，所以原子所具有的磁矩是电子固有磁矩,即自旋磁矩。——4分2.解释隧道贯穿现象(要求画出图形)，该现象说明微观粒子具有什么性质？0UE时，电子也有可能穿越势垒的可能，这表明电子具有波粒二象性。——3分——4分得分评卷人二、证明题（共16分）1.证明：zyxLiLLˆ]ˆ,ˆ[(5分)证明：zxyzxyyxyxpxpzpzpyLLLLLLˆˆˆˆ,ˆˆˆˆˆˆˆˆ,ˆ——2分zyxyzzxzpxpzpzpzpxpypzpyˆˆ,ˆˆˆ,ˆˆˆˆ,ˆˆˆˆ,ˆˆ——2分zxyLipypxiˆ)ˆˆˆˆ(——1分2.证明：rUHˆ2ˆ22是线性算符。(5分)线性算符满足：22112211)(FCFCCCF令2211CC]ˆ2[ˆ22rUH]ˆ2[22rU][2211CC——3分]ˆ2[221rUC1]ˆ2[222rUC2——2分2.设电子1、2的自旋分别为：21ˆ,ˆSS处于对称波函数为)2(s的状态，证明：总自旋角动量平方的本征值为zS。(6分)证明：21ˆˆˆSSS,zzzSSS21ˆˆˆ——2分由单一电子本征方程：2ˆzS——2分zzszSSS21)2(ˆˆˆ22——2分所以得分评卷人三、计算题（共70分）1.一维运动的粒子处于0,00,)(xxAxexx当当的状态，式中0，求：（1）证明归一化常量2/3)2(A；（2）粒子的概率密度；（3）粒子出现在何处的概率最大？（10分）32208221dxexx解：（1）dxexAdxexAxx22222210222dxexAx18132A,2/3)2(A——3分(2)xxexexAw223222*8——3分(3)0dxdw0]2)2([82223xxxeex,02xx01x,/12x——3分})2(]2)2([{1622222322xxxxexexeexdxwd0022xdxwd——极小值0122xdxwd——极大值，所以12x处概率最大。——2分2.设一体系未受微扰作用时只有两个能级；01E及02E，现在受到微扰Hˆ的作用，微扰矩阵元为aHH2112，bHH2211；ba,均为实数。用微扰公式求能量至二级修正值。（20分）解：由微扰公式得nnnHE)1(mmnmnnEEHE)0()0(2')2(得bHEbHE22)1(0211)1(01——4分0201200121')2(01EEaEEHEmmm——4分0102200221')2(02EEaEEHEmmm——4分∴能量的二级修正值为02012011EEabEE——4分01022022EEabEE——4分3.一粒子在一维势场中运动，其势能分布为axaxxxu000)(，求粒子的能级和对应的波函数。解：0)(xVaxxax,00薛定谔方程：)()()](2[**222xExxVdxdm，——4分02222Emdxd，ax0——4分0)(x，axx,0令22mEk，0222kdxd方程的解为：kxBkxAcossin，利用边界条件：0)()0(a得：0sin,0kaAB，即：0sinka，nka,...3,2,1n，（0n时，0，无物理意义）22222manEn,对应的波函数为：)sin()(xanAxnn。——4分利用归一化条件：andxx021|)(|,得：aAn2，——4分归一化后的波函数为：)sin(2)(xanaxn。——4分4.设力学量F在某一表象A中的矩阵为00iieeF，其中为常数，求：(1)F的本征值、正交归一本征函数。(2)F的对角化矩阵及其幺正矩阵。解:1.设力学量F在某一表象A中的本征函数为21aa则F在A表象中的本征方程为Fˆ00ˆiieeF,21aa00iiee21aa21aa——212aeaeii21aaiiee021aa21,aa不同时为零的条件是0iee,012,1——2分12aeaeii21aa,1，21aeai——2分归一化条件21*2*1,aaaa222*2,aaeaaeii1*22*22aaaa，212a，iieaea2121，1211ie——2分同理：1211ie同上，10分郑州轻工业学院2008—2009学年度第二学期《量子力学》课程期末试卷A卷题号一二三四总分得分得分评卷人一、简答题（每小题8分，共32分）1.态叠加原理2．波函数的统计解释及波函数的标准条件3.全同性原理和泡利不相容原理