金光佑-矩阵在解线性方程组中的应用

毕业论文（设计）题目:矩阵在解线性方程组中的应用学号:04111001028姓名:金光佑教学院:理学院专业班级:数学与应用数学（1）班指导教师:黄飞丹完成时间:2014年04月25日毕节学院教务处制毕节学院毕业论文（设计）学生诚信声明书本人郑重声明：本人所提交的毕业论文(设计)《》是本人在指导教师指导下独立研究、写作的成果，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果，论文中所引用他人的无论以何种方式发布的文字、研究成果，均在论文中加以说明；对本文研究做出过重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。如果存在弄虚作假、抄袭、剽窃的情况，本人愿承担全部责任。论文(设计)作者：（签字）时间：年月日指导教师：（签字）时间：年月日毕节学院毕业论文（设计）版权使用授权书本毕业论文(设计)《》是本人在校期间所完成学业的组成部分，是在毕节学院教师的指导下完成的，论文（设计）工作的知识产权属于毕节学院。本人同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文（设计）的复印件和电子版，允许论文（设计）被查阅和借阅；本人授权毕节学院可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印、网页制作或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。毕业论文（设计）无论做何种处理，必须尊重本人的著作权，署明本人姓名。未经指导教师和毕节学院同意，本人不擅自发表毕业论文(设计)相关研究内容或利用毕业论文(设计)从事开发和盈利性活动。毕业后若发表毕业论文(设计)中的研究成果，需征得指导教师同意，作者第一单位署名应为“毕节学院”，成果发表时本人工作（学习）单位可以在备注中注明。论文(设计)作者：（签字）时间：年月日指导教师：（签字）时间：年月日毕节学院本科毕业论文（设计）目录摘要..............................................................iAbstract:........................................................ii引言：............................................................11.线性方程组的有关概念...........................................12.矩阵的有关概念及其性质..........................................22.1矩阵的定义...................................................22.2矩阵的初等变换...............................................32.3矩阵的秩.....................................................33.矩阵在线性方程组中的应用........................................53.1矩阵的初等变换求解线性方程组.................................53.2矩阵的秩判断方程组的解......................................73.3逆矩阵求解线性方程组.......................................10结束语...........................................................11参考文献.........................................................12致谢............................................................13毕节学院本科毕业论文（设计）i矩阵在解线性方程组中的应用作者姓名：金光佑专业班级：2010级数学与应用数学本科（1）班学号：04111001028指导老师：黄飞丹（讲师）摘要：数学是人类科学的基础，数学的发展是人类科学发展的先决条件。矩阵这一重要理论不仅仅是经典数学的基础，同时它也是非常有实用价值的数学理论之一。本文主要讨论矩阵的初等变换在解线性方程组中的应用、矩阵的秩在方程组的解的判别中的应用、以及逆矩阵在解线性方程组中的应用。关键词：矩阵；线性方程组；矩阵的秩；逆矩阵毕节学院本科毕业论文（设计）iiApplicationsofMatrixinSolvingLinearEquationsCandidate::JinGuangyouMajor:MathematicsandappliedmathematicsStudentNo:04111001028Advisor:HuangFeidanAbstract:Mathematicsisthefoundationofhumanscience,thedevelopmentofmathematicsisprerequisiteofthedevelopmentofhumanscience.Matrix,animportanttheory,itisnotonlythebasisoftheclassicalmathematics,atthesametimeitisalsooneoftheveryusefulmathematicaltheory.Themaincontentofthispaperistheapplicationofelementarytransformationofmatrixinsolvinglinearequations,theapplicationofrankofthematrixinsolutiondiscriminantoflinearequations,andtheuseofinversematrixinsolvinglinearequations.Keywords:matrix;linearequations;rankofmatrixrank;inversematrix毕节学院本科毕业论文（设计）第1页共18页引言数学是人类科学的基础，数学的发展是人类科学发展的先决条件。而矩阵和线性方程的内容在大学高等代数及高等数学中都占有重要的地位，并且在中学我们也已经初步了解并接触过，能解决3n及以下的线性方程，线性方程是一个非常重要的内容。从而如何判断线性方程组有无解以及解的情况便成了人们一直探索的问题。那么如何判断线性方程组的解十分的重要。准确无误的判断出线性方程组的是否有解、有唯一解还是有无穷组解将极大的减少我们研究以及应用的时间。提到如何判断线性方程组的解的情况，我们通常会想到矩阵的秩，通过计算矩阵的秩来判断线性方程组是否有解是目前前人给我们总结出来的最行之有效的方法，但除此之外我们还有更加原始的方法，那便是通过矩阵的初等变换判断线性方程组是否有解。国内外很多专家和学者的著作中也提到过很多关于矩阵以及矩阵与解线性方程组的关系，在一些学报和期刊中都发表过与之相关的章。但是探讨更加简单、方便快捷的判断线性方程组是否有解，解的情况的方法一直没有间断过。希望今后专家学者在这方面能有更多的丰硕的成果，为后人找到更多方便快捷的解决线性方程组解的情况的方法，将我们的科学发展带向更加殷实的明天。本文主要通过对前人的研究成果总结探讨矩阵在判断线性方程组的解，及在解线性方程组中的应用。1.线性方程组的有关概念定义1[1]线性方程组11112211211222221122,,,nnnnmmmnnnaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxbLLMMMMML(1)其中每一个方程的左端是未知量12,,,nxxxL的一次齐次式，右端12(;;;)nbbbL是常数，m和n可相等也可不等.对于n元的线性方程组，如（1），将12;;;ncccL代入方程，所有的式子全部恒成立，那么我们称（12nc;c;;cL）是线性方程组（1）的一个解.方程组（1）所有的解组成的集合称为这个方程组的毕节学院本科毕业论文（设计）第2页共18页解集.定义2[1]若线性方程组11112211211222221122,,,nnnnmmmnnnaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxbLLMMMMML右端的常数项全部等于0的，则称为齐次线性方程组；反之，当右端常数项不全为0，则称为非齐次线性方程组.2.矩阵的有关概念及其性质2.1矩阵的定义定义3[1]由mn个实数ija排成的一个m行n列的矩形数表111212122212nnmmmnaaaaaaaaaLLMMMML（2.1）称为mn矩阵，位置(,)ij上的元素一般用ija表示，可简记为：{}ijAa或mnA.如0121004312526423.例1已知一个线性方程组:11112211211222221122,,,nnnnmmmnnnaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxbLLMMMMML对于一个线性方程组，只写出它的系数和常数项，并且把它们按原来的次序排成一张表，这张表称为线性方程组的增广矩阵.只列出系数的表称为方程组的系数矩阵.此时，任何一个方程都可以用这种方式被描述出来；反之，已知一个矩阵也可以写出原方程.如（2.1）所示的矩阵只描述出线性方程组的系数的称之为线性毕节学院本科毕业论文（设计）第3页共18页方程组的系数矩阵.在线性方程组的求解过程中，矩阵有着很重要的作用，我们可以只列出矩阵的系数及常数项组成线性方程组的增广矩阵，通过对系数及常数项的运算求出解.这样做既书写方便又能减少运算量.2．2矩阵的初等变换矩阵的初等变换是矩阵理论中一个非常重要的内容，在线性方程组中的应用很广泛.本文主要论述的是矩阵的初等变换在解线性方程组及判断线性方程组的解的情况的应用.下面是矩阵的初等变换的定义.定义4[1]下面三种变换称为矩阵的初等变换：(i)交换矩阵的两行(列)；(ii)用一个非零数k乘矩阵的某行(列）；(iii)矩阵的某行(列)的k倍加到另一行(列).2.3矩阵的秩定义5若一个矩阵满足：（1）矩阵的零行在矩阵的最下方；（2）各非零行的第一个元素其列标随行标递增而严格增大，则该矩阵为行阶梯矩阵.定义6若矩阵满足：（1）若有零行（元素全为0的行），则零行位于矩阵的最下面；（2）各非零行的首非零元（从左至右的第一个不为零的元素）前面零的个数逐行增加；（3）非零行的首非零元为1，且这些首非零元所在列的其他元素全为0定义7[1]在mn矩阵A中，我们任意地取k行k列(,)kmkn，位于这些行和列的交叉处的2k个元素，不改变它们在A中的位置次序而得到的k阶行列式称之为矩阵A的k阶子式.其核心思想是：在求矩阵的秩时，若矩阵为k行，则先计算k阶子式，若k阶子式不为0，则秩为k，如果k阶子式为0，则计算1k阶子式，若1k阶子式其中有一个不为0,则秩为1k，若所有的1k阶子式都为0，则由近一步计算毕节学院本科毕业论文（设计）第4页共18页2k阶子式，一次类推，直到计算到kl阶子式中不全为0，则秩为kl为止.例2求矩阵132202132015A的秩.解：首先我们计算A的3阶子式1320210201，1320230205，3222130015，1220130215.其3阶子式全部为0.因为2阶子式321021，所以()rA=2.结论：任何矩阵mnA，总可经过有限次初等变换把它变成行阶梯形，行阶梯形矩阵中非零行的行数是唯一确定的，这个行阶梯形矩阵的非零行数就是矩阵的秩.通常记作()rA或()rankA.例3求下述矩阵的秩：A=32050223612015316414.解：A经过行初等变换得到如下形式：164140