第10讲(电气及其自动化专业)

第10讲一阶与二阶系统的时域响应•稳定性概念与充分必要条件•劳斯判据与赫尔维茨判据•稳定裕度稳•稳态误差的定义•稳态误差分析与计算•静态误差系数准•一阶系统的动态响应分析•二阶系统的动态响应分析•高阶系统的动态响应快知识点1：一阶系统的时域响应数学模型能够用一阶微分方程描述的系统为一阶系统，其传递函数为其中T——一阶系统的时间常数。11)()(TssRsC惯性环节1Ts+-()Rs()Es()Cs11Ts()Rs()Cs11)()()(TssRsCsG一阶系统单位阶跃响应当r(t)=1(t)时，一阶系统的输出c(t)称为单位阶跃响应，记作h(t)。01)(11)]([)(11tesRTsLsCLthTt，系统输入为单位阶跃函数，有)(1)(ttrssR1)(则系统输出的拉氏变换为11111)(TsTssTssC对输出响应进行拉氏反变换，得TteTsTLsLsTsLth1]1[]1[]111[)(111讨论：1是稳态分量，由输入信号决定。是瞬态分量（暂态分量），它的变化规律由传递函数的极点-1/T或时间常数T决定。当时间t趋于无穷大时，瞬态分量按指数衰减到零。Tte一阶系统单位阶跃响应的典型数值所以，一阶系统的单位阶跃响应是一条指数上升、渐近趋于稳态值的曲线。1063.2%86.5%95%98.2%99.3%T2T3T4T5T0.632t斜率A性能指标1.调整时间ts经过时间3T～4T，响应曲线已达稳态值的95%～98%，可以认为其调整过程已完成，故一般取ts=(3～4)T。2.稳态误差ess系统的实际输出h(t)在时间t趋于无穷大时，接近于输入值，即3.超调量Mp一阶系统的单位阶跃响应为非周期响应，故系统无振荡、无超调，Mp=0。0)]()([limtrtcetss一阶系统的单位脉冲响应当输入信号r(t)=δ(t)时，系统的输出称为单位脉冲响应，记为g(t)。当r(t)=δ(t)，即R(s)=1时，有11)()()()(TssRsRsCsGTteTTsLsG1]11[)(10()gtt2TT3T4T5T1/Tt=0时的斜率？例1.设某一单位负反馈控制系统的开环传递函数为，则闭环系统单位阶跃响应的调整时间以及闭环单位阶跃响应的稳态误差为（）1TsK%)5(st3TAK1K3TBK11K13TC0T3D知识点2二阶系统的时域响应二阶系统的数学模型典型二阶系统的结构图如图3-14所示，其闭环传递函数为或2222)()(nnnsssRsC121)()(22TssTsRsC典型二阶系统结构图其中ζ——系统的阻尼比ωn——系统的无阻尼自然振荡角频率——系统振荡周期系统的特征方程为特征根为nT102)(22nnsssD122,1nns二阶系统的特征根（极点）分布求解二阶系统特征方程，可得212,1(1)nnss21(1)nnjj2220nnssj21nj21nj[]s1s2sn(a)010j[]s1s2sn(b)10j[]s1s2s(c)10j[]s1s2s(d)00n(1).欠阻尼是一对共轭复数根。(2).临界阻尼是两个相同的负实根。(3).过阻尼是两个不同的负实根。(4).无阻尼是一对共轭纯虚数根。212,1nnssj0112,nss110212,1nnss12,nssj二阶系统的单位阶跃响应对于单位阶跃输入于是由拉氏反变换可以得到二阶系统的单位阶跃响应为下面按阻尼比分别讨论。()1()rtt1()Rss2221()2nnnCssss1()[()]ctLCs1.过阻尼(ζ1)这种情况下，系统存在两个不等的负实根，则222212()(2)()()nnnnCsssssssss01212AAAsssss00()1sACss111221()()21(1)ssACsss222221()()21(1)ssACsss122,1nns拉氏反变换可得过阻尼系统的单位阶跃响应：2(1)221()121(1)ntcte2(1)221(0)21(1)ntet稳态分量：1暂态分量：两个指数函数之和，指数部分由系统传递函数极点确定。讨论：过阻尼系统是两个惯性环节的串联。有关分析表明，当时，两极点s1和s2与虚轴的距离相差很大，此时靠近虚轴的极点所对应的惯性环节的时间响应与原二阶系统非常接近，可以用该惯性环节来近似原来的二阶系统。即有21121()()1nnnnCsRsssss11过阻尼系统稳态值和最终误差过渡过程时间（按近似后一阶系统求出）21(3~4)(1)snt()0e1|1|1)()1(21ttttsnneeh2.当0ζ1时，系统有一对实部为负的共轭复根，称为欠阻尼状态。在欠阻尼状态下，系统的两个闭环极点为一对共轭复极点，即其中，称为阻尼振荡角频率。dnnnjjs2211,`21nd此时，系统具有一对共轭复数极点，则222()(2)nnnCssss2222221()(1)()(1)nnnnnnssss22221()()nndnddndssss欠阻尼系统单位阶跃响应为或写为()1cossinnnttndddctetet21(cossin)(0)1ntddettt22()1(1cossin)1ntddecttt21sin()(0)1ntdett2arctan(1)21dn讨论:(1)欠阻尼情况下，二阶系统的单位阶跃响应是衰减的正弦振荡曲线。衰减速度取决于特征根实部的绝对值ζωn的大小，振荡角频率是特征根虚部的绝对值，即有阻尼自振角频率ωd，(2)振荡周期为(3)ζ越大，振幅衰减越快，振荡周期越长（频率越低）。21dn2221ddnT(4)上升时间tr的计算：或即所以2()1(cossin)11nrtrdrdrctett21tantan()drt222arctan(1)11rdnnt2cossin01drdrtt(5)峰值时间的计算：出现峰值时，阶跃响应随时间的变化率为0，即则故到达第一个峰值时应有21tan()tandpt0,,2,3dpt21pdntsin()cos()0npnpttndpddpetet()/0dctdtdpt(6)最大超调量的计算：越小，越大（只与ζ有关）2(cossin)100%1npte2(cossin)100%1nptdpdpett21100%pe()()100%()ppctcc100%nptepp(7)调整时间ts的计算：欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线位于一对曲线以内，这对曲线称为响应曲线的包络线。2()11nteyt可以采用包络线代替实际响应曲线估算调整时间，所得结果一般略偏大。解得当Δ＝5％时，当Δ＝2％时，当时，设计二阶系统时，常取为最佳阻尼比。21nste00.8211(3ln)1snt3(5%)snt0.7072111(lnln)1snt211(4ln)1snt4(2%)snt若允许误差带是±Δ（如±2％），可以认为调整时间就是包络线衰减到±Δ区域所需的时间，则有222arctan(1)11rdnnt21pdnt21100%pe211(3ln)1snt设计二阶系统时，可先由超调量确定阻尼比，再由其他指标（如调整时间）和已确定的阻尼比给出自然振荡角频率。22221dpdnTt2ssdpttNTt欠阻尼二阶系统单位阶跃响应性能指标计算公式例：设一个带速度反馈的伺服系统，其结构图如图所示。要求系统的性能指标为Mp=20%,tp=1s.试确定系统的K和KA值，并计算性能指标tr、ts和N.(1)Kss()Rs()Cs+-1AKs3.当阻尼比ζ=1时，系统的特征根为两相等的负实根，称为临界阻尼状态。此时系统在单位阶跃函数作用下，系统的超调量Mp=0，调节时间(对应误差带为5%))1(11)(teetethntttnnnn图3-18临界阻尼系统阶跃响应n17.44.当阻尼比ζ=0时，系统特征根为一对纯虚根，称为无阻尼状态。系统特征根单位阶跃响应为njs21,`)0(cos1)(ttthn不同ζ下，二阶系统的单位阶跃响应曲线图0123456789101112ntc(t)0.20.40.60.81.01.21.41.61.82.0=00.10.20.30.40.50.60.70.81.02.0几点结论1）二阶系统的阻尼比ζ决定了其振荡特性：ζ0时，阶跃响应发散，系统不稳定（负阻尼）ζ=0时，出现等幅振荡0ζ1时，有振荡，ζ愈小，振荡愈严重，但响应愈快ζ≥1时，无振荡、无超调，过渡过程长2）ζ一定时，ωn越大，瞬态响应分量衰减越迅速，系统能够更快达到稳态值，响应的快速性越好。3）工程中除了一些不允许产生振荡的应用，如指示和记录仪表系统等，通常采用欠阻尼系统，且阻尼比通常选择在0.4~0.8之间，以保证系统的快速性同时又不至于产生过大的振荡。最佳阻尼比为0.707（这时的调整时间小，而且超调量也不大）二阶系统的单位脉冲响应1.脉冲响应及脉冲响应函数当系统输入信号为单位脉冲函数δ(t)时系统的响应为单位脉冲响应，记为g(t)。)()()()()(11)()(1sGLsRsGLsCLtgBBttr)()(tgLsGB√2.脉冲响应与阶跃响应的关系系统的单位阶跃响应是该系统单位脉冲响应的积分，或系统的单位脉冲响应是该系统单位阶跃响应的导数。即或)()(thdtdtgtdttgth0)()(3.二阶系统的单位脉冲响应当ζ1时当0ζ1时当ζ=1时当ζ=0时0)(t12)()1()1(211ttnnneetg0)(t)1sin(1)(22tetgntnn)0()(2ttetgtnn)0(sin)(tttgnn二阶系统的单位脉冲响应单位脉冲响应可以通过单位阶跃响应求导得到；单位脉冲响应曲线与时间轴第一次相交的点必然是峰值时间tp；从t=0到tp时间内，单位脉冲响应曲线与时间轴所包围的面积等于1＋Mp;单位脉冲响应曲线与时间轴所包围的面积代数和为1。过阻尼：1222()()2nnnCsRsss(t0)()1Rs欠阻尼：01无阻尼：=0临界阻尼：=12()sin1ntndctet()sinnnctt2()nntctte22(1)(1)2()(