食饵—捕食者模型

《数学模型》课程食饵—捕食者模型3.讨论具有自身阻滞作用的两种群食饵-捕食者模型，首先根据该两种群的相互关系建立模型，解释参数的意义，然后进行稳定性分析，解释平衡点稳定的实际意义，对模型进行相轨线分析来验证理论分析的正确性，并用matlab软件画出图形。自然界中不同种群之间还存在着一种非常有趣的既有相互依存、又有相互制约的生活方式：种群甲靠丰富的天然资源生长，而种群乙靠捕食甲为生，形成鱼和鲨鱼，美洲兔和山猫，落叶松和蚜虫等等都是这种生存方式的典型，生态学称种群甲为食饵，种群乙为捕食者。二者共同组成食饵—捕食者系统。一食饵—捕食者选用食饵(食用鱼)和捕食者(鲨鱼)为研究对象,设)(tx/)(1tx为食饵(食用鱼)在时刻t的数量，)(ty/)(2tx为捕食者(鲨鱼)在时刻t的数量，1r为食饵(食用鱼)的相对增长率，2r为捕食者(鲨鱼)的相对增长率；1N为大海中能容纳的食饵(食用鱼)的最大容量，2N为大海中能容纳的捕食者(鲨鱼)的最大容量，1为单位数量捕食者（相对于2N）提供的供养食饵的实物量为单位数量捕食者(相对于1N)消耗的供养甲实物量的1倍；2为单位数量食饵（相对于1N）提供的供养捕食者的实物量为单位数量捕食者(相对于2N)消耗的供养食饵实物量的2倍；d为捕食者离开食饵独立生存时的死亡率二模型假设1.假设捕食者（鲨鱼）离开食饵无法生存；2.假设大海中资源丰富，食饵独立生存时以指数规律增长；三模型建立食饵(食用鱼)独立生存时以指数规律增长，且食饵(食用鱼)的相对增长率为1r，即rxx，而捕食者的存在使食饵的增长率减小，设减小的程度与捕食者数量成正比，于是)(tx满足方程axyrxayrxtx)()((1)比例系数a反映捕食者掠取食饵的能力。由于捕食者离开食饵无法生存，且它独立生存时死亡率为d，即dyy，而食饵的存在为捕食者提供了食物，相当于使捕食者的死亡率降低，且促使其增长。设这种作用与食饵数量成正比，于是)(ty满足bxydybxdyty)()((2)比例系数b反映食饵对捕食者的供养能力。方程(1)、(2)是在自然环境中食饵和捕食者之间依存和制约的关系，这里没有考虑种群自身的阻滞作用，是Volterra提出的最简单的模型。结果如下。不考虑自身阻滞作用:数值解令x(0)=x0,y(0)=0,设r=1,d=0.5,a=0.1,b=0.02,x0=25,y0=2使用Matlab求解求解如下1）先建立M文件functionxdot=shier(t,x)r=1;d=0.5;a=0.1;b=0.02;xdot=[(r-a*x(2)).*x(1);(-d+b*x(1)).*x(2)];2)在命令窗口输入如下命令：ts=0:0.1:15;x0=[25,2];[t,x]=ode45('shier',ts,x0);[t,x],ts=0:0.1:15;x0=[25,2];[t,x]=ode45('shier',ts,x0);[t,x],ans=省略plot(t,x),grid,gtext('x(t)'),gtext('y(t)'),pauseplot(x(:,1),x(:,2)),grid,（可以猜测，x(t),y(t)是周期函数,与此相应地相轨线y(x)封闭曲线，从数值解近似定出周期为10.7，x的最大最小值分别为99.3，2.0，y的最大，最小值分别为28.4和2.0，容易算出x(t),y(t)再一个周期的平均值为25，10.）考虑阻滞作用前面我们没有考虑种群自身的阻滞作用，接下来我们考虑种群自身的阻滞作用，在上面（1），（2）两式中加入Logistic项，即建立以下数学模型：22111111)(1NxNxxrtx(3)22112122)(2NxNxxrtx(4)四平衡点进行理论分析下面对（3）（4）进行平衡点稳定性分析：由微分方程(3)、(4)2211212222111111),(),(2121NxNxxrNxNxxrxxgxxf令f(x1,x2)=0,g(x1,x2)=0得到如下平衡点:)0,(11NP,)1)1(,1)1((212221112NNP,)0,0(3P因为仅当平衡点位于平面坐标系的第一象限时(0,21xx)才有意义，所以，对2P而言要求20。按照判断平衡点稳定性的方法计算：)21()21(221122122221112211112121NxNxrNxrNxrNxNxrggffAxxxx根据p等于主对角线元素之和的相反数，而q为其行列式的值，我们得到下表：平衡点pq稳定条件)0,(11NP)1(221rr)1(221rr21)1)1(,1)1((212221112NNP2122111)1()1(rr2121211)1)(1(rr21)0,0(3P21rr21rr不稳定五模型分析与检验1.平衡点稳定性的分析及其实际意义：1)对)0,(11NP而言，有p=)1(221rr，q=)1(221rr，故当21时，平衡点)0,(11NP是稳定的。意义：如果)0,(11NP稳定，则种群乙灭绝，没有种群的共存。2)对)1)1(,1)1((212221112NNP而言，有p=2122111)1()1(rr，q=2121211)1)(1(rr，故当21时，平衡点)1)1(,1)1((212221112NNP是稳定的。意义：如果)1)1(,1)1((212221112NNP稳定，则两物种恒稳发展，会互相依存生长下去。3)对)0,0(3P而言，由于21rrp，21rrq，又有题知1r0,2r0,故q0,即)0,(11NP是不稳定的。六用MATLAB求解验证下面将进行MATLAB软件求解此微分方程组中的)(1tx、)(2tx的图形及相轨线图形。设21，62，11r，3.02r，30001N,4002N,使用MATLAB软件求1)建立M文件functiony=fun(t,x)y=[x(1).*(1-x(1)./3000-2*x(2)./400);0.3.*x(2).*(-1+6.*x(1)./3000-x(2)./400)];2)在命令窗口输入如下命令：ts=0:0.1:20ts=省略x0=[300060]x0=300060[t,x]=ode45('fun',[0,20],[3000,60])t=省略plot(t,x),grid,gtext('x(t)'),gtext('y(t)')图1.数值解)(1tx，)(2tx的图形plot(x(:,1),x(:,2)),grid,图2.相轨线图形从数值解及)(1tx，)(2tx的图形可以看出他们的数量变化情况，随着时间的推移，都趋于一个稳定的值，从数值解中可以近似的得到稳定值为：(750,150)。参考文献：数学模型（教材，第三版）P192-P196