金融数学引论答案第二章北京大学出版

第二章习题答案1．某家庭从子女出生时开始累积大学教育费用5万元。如果它们前十年每年底存款1000元，后十年每年底存款1000+X元，年利率7%。计算X。解：20|7%10|7%50000100020|7%10|7% 1000651.72sssSsXX2．价值10,000元的新车。购买者计划分期付款方式：每月底还250元，期限4年。月结算名利率18%。计算首次付款金额。解：设首次付款为X，则有48|1.5%1000250Xa解得X=1489.363．设有n年期期末年金，其中年金金额为n，实利率i=1。试计算该年金的现值。解：22|1(1)1(1)nnnninvnnnPVnannn4．解：2(1)nnnnaaad则11()nYXdX5．已知：711185.58238,7.88687,10.82760aaa。计算i。解：718711aaav解得i=6.0%6.证明：10101 110savs证明：1010101010(1)111(1)11isaiiisvi7．已知：半年结算名利率6%，计算下面10年期末年金的现值：开始4年每半年200元，然后减为每次100元。解：8p]3%20]3%1001002189.716aaPV8．某人现年40岁，现在开始每年初在退休金帐号上存入1000元，共计25年。然后，从65岁开始每年初领取一定的退休金，共计15年。设前25年的年利率为8%，后15年的年利率7%。计算每年的退休金。解：设每年退休金为X，选择65岁年初为比较日15]7%100025]8%asX￢解得X=8101.659．已知贴现率为10%，计算8]a。解：d=10%，则88]111191(1)5.6953idvaii10.求证：]]]]112?1(1)nnnnnnaavssi；并给出两等式的实际解释。证明：(1)]111¨11nnnnnvvvavidii所以]]¨1nnnaav(2)]1(1)1(1)1(1)1¨(1)1nnnnniiiiisidi所以]]¨1(1)nnnasi12.从1980年6月7日开始，每季度年金100元，直至1991年12月7日，季结算名利率6%，计算：1）该年金在1979年9月7日的现值；2）该年金在1992年6月7日的终值。解：PV=100a49】1.5%−100a2]1.5%=3256.88AV=100s49]1.5%−100s2]1.5%￢=6959.3713.现有价值相等的两种期末年金A和B。年金A在第1－10年和第21－30年中每年1元，在第11－20年中每年2元；年金B在第1－10年和第21－30年中每年付款金额为Y，在第11－20年中没有。已知：1012v，计算Y。解：因两种年金价值相等，则有101030]30]10]?10]??iiivivaaYaYa所以10301030321.812vvYvv14.已知年金满足：2元的2n期期末年金与3元的n期期末年金的现值之和为36；另外，递延n年的2元n期期末年金的现值为6。计算i。解：由题意知，2]]]233626nininniaaav解得i=8.33%15.已知7]3]]11]]]XYZaasaas。求X，Y和Z。解：由题意得73111(1)1(1)XZYvivviv解得X=4,Y=7,Z=416.化简153015](1)avv。解：153015]45](1)avva17.计算下面年金在年初的现值：首次在下一年的4月1日，然后每半年一次2000元，半年结算名利率9%。解：年金在4月1日的价值为P=(1+4.5%)/4.5%×2000=46444.44，则23241300.657(1)PPVi18.某递延永久年金的买价为P，实利率i，写出递延时间的表达式。解：设递延时间为t，有1tPvi解得lnln(1)iPti19.从现在开始每年初存入1000元，一直进行20年。从第三十年底开始每年领取一定的金额X，直至永远。计算X。解：设年实利率为i，由两年金的现值相等，有2920]1000iXavi解得30101000((1)(1))Xii20.某人将遗产以永久年金的方式留给后代A、B、C、和D：前n年，A、B和C三人平分每年的年金，n年后所有年金由D一人继承。如果四人的遗产份额的现值相同。计算(1)ni。解：设遗产为１，则永久年金每年的年金为i，那么A,B,C得到的遗产的现值为]3niia，而D得到遗产的现值为vn。由题意得13nnvv所以(1)4ni21.永久期末年金有A、B、C、和D四人分摊，A接受第一个n年，B接受第二个n年，C接受第三个n年，D接受所有剩余的。已知：C与A的份额之比为0.49，求B与D的份额之比。解：由题意知2]]0.49nnCAnavPVPVa那么]310.61nnBnDiavPVPVv22.1000元年利率4.5%的贷款从第五年底开始每年还贷100元，直至还清，如果最后一次的还款大于100元。计算最后一次还款的数量和时间。解：4]4.5%41]4.5%10010001001000nnavav解得n=17列价值方程216]4.5%10011000aXv解得X=146.0723.36年的期末年金每次4元，另有18年的期末年金每次5元；两者现值相等。如果以同样的年利率计算货币的价值在n年内将增加一倍，计算n。解：两年金现值相等，则36]4518ia，可知180.25v由题意，(1)2ni解得n=924.某借款人可以选择以下两种还贷方式：每月底还100元，5年还清；k个月后一次还6000元。已知月结算名利率为12%，计算k。解：由题意可得方程100a60p1%￢=6000(1+i)−k解得k=2925.已知2]1.75ia，求i。解：由题意得211.75vi解得i=9.38%26.某人得到一万元人寿保险赔付。如果购买10年期末年金可以每年得到1538元，20年的期末年金为每年1072元。计算年利率。解：27.某人在银行中存入一万元10年定期存款，年利率4%，如果前5年半内提前支取，银行将扣留提款的5%作为惩罚。已知：在第4、5、6和7年底分别取出K元，且第十年底的余额为一万元，计算K。解：由题意可得价值方程3102]4%2]4%10352]4%2]4%10000105100001000010000979.94105KavKavvKavav则28.贷款P从第六个月开始分十年逐年还清。第一次的还款额为后面还款的一半，前四年半的年利率为i，后面的利率为j。计算首次付款金额X的表达式。解：选取第一次还款日为比较日，有价值方程121424]5]44]5](1)22(1)(1)122(1)aijijPiXXXaiPiXaai所以29.已知半年名利率为7%，计算下面年金在首次付款8年后的终值：每两年付款2000元，共计8次。解：30.计算下面十年年金的现值：前5年每季度初支付400元，然后增为600元。已知年利率为12%。（缺命令）解：54400460011466.14PVv31.已知半年结算的名贴现率为9%，计算每半年付款600元的十年期初年金的现值表达式。解：32.给出下面年金的现值：在第7、11、15、19、23和27年底支付一个货币单位。解：2428]4]324]2744]3]1]1(1)1(1)[(1)1]iiaaiPVavsiiss33.750元的永久年金和每20年付款750元的永久年金可以用每次R元的30年期末年金代替，半年换算名利率4%，求R的表达式。解：设年实利率为i，则(1+2%)2=1+i。有题意得30]20]p750750aiiRisi解得R=1114.7734.已知每三年付款一元的永久期末年金的现值为125/91，计算年利率。解：由题意知3]112591iis解得i=20%35.已知：1元永久期初年金的现值为20，它等价于每两年付款R元的永久期初年金，计算R。解：由题意得2]120iRdai解得R=1.9536.已知每半年付款500元的递延期初年金价格为10000元。试用贴现率表示递延时间。解：设贴现率为d，则122112(1)id设递延时间为t，由题意得2]100002500tva解得12ln20ln(1(1))ln(1)dtd37.计算：222]2]1]3245nnaas，计算i。解：]]1]2223245niniiiiiaasiii解得：11,230nvi39.已知：11tt。求]anˉ的表达式。解：0]0ln(1)tsdsnaedtnnˉ40.已知一年内的连续年金函数为常数1，计算时刻t，使得只要在该时刻一次性支付一个货币单位，则两种年金的现值相等。解：第一种年金的现值为101tevdt第二种年金的现值为te，则1tee所以11lnti41.已知：δ=0.08。计算从现在开始每个季度初存入100元的20年期初年金的现值。（结果和李凌飞的不同）解：设季度实利率为i。因()tate，则14(1)ei所以8080]1100100(1)4030.53ivPVaii42.现有金额为40,000元的基金以4%的速度连续累积。同时每年以2400元的固定速连续地从基金中取钱，该基金可以维持多少时间？解：设年实利率为i，则1ie设基金可维持t年，由两现值相等得]400002400tia解得t=2843.已知某永久期末年金的金额为：1，3，5，...。另外，第6次和第7次付款的现值相等，计算该永久年金的现值。解：由题意：211671113(1)(1)iii223(21)???[12()](12)1nPVvvnvvPVvvvvPVv解得:PV=6644.给出现值表达式||()nnAaBDa所代表的年金序列。用这种表达式给出如下25年递减年金的现值：首次100元，然后每次减少3元。解：年金序列：A+nB,A+(n−1)B,...,A+2B,A+B所求为25|25|253()aDa45.某期末年金（半年一次）为：800,750,700,...,350。已知半年结算名利率为16％。若记：10|8%Aa，试用A表示这个年金的现值。解：考虑把此年金分割成300元的固定年金和500元的递减，故有：10|8%10|8%22(10)300500()3006250325AaDaAAi47.已知永久年金的方式为：第5、6年底各100元；第7、8年底各200元，第9、10年底各300元，依此类推。证明其现值为:4100vivd解：把年金分解成：从第5年开始的100元永久年金，从第7年开始的100元永久年金...。从而4442100111110010012|vPVvviiivivdai48.十年期年金：每年的1月1日100元；4月1日200元；7月1日300元；10月1日400元。证明其现值为：4410|1|1600()aIa元证：首先把一年四次的付款折到年初：24,1,1001600mnRm从而每年初当年的年金现值：441|1600()Ia元再贴现到开始时：4410|1|1600()aIa元49.从现在开始的永久年金：首次一元，然后每半年一次，每次增加3％，年利率8％，计算现值。解：半年的实利率：1218%13.923%j2211.031.0311(1)1.03(1)1112.59PVjjj50.某人为其子女提供如下的大学费用：每年的前9个月每月初50