金融经济学的数学公理化方法

摘自史树中《金融经济学十讲》从数理经济学到数理金融学的百年回顾本文写于2000年一般经济均衡理论和数学公理化1874年1月，在瑞士洛桑大学拥有教席的法国经济学家瓦尔拉斯(L.Warlas，1834-1910)发表了他的论文《交换的数学理论原理》，首次公开他的一般经济均衡理论的主要观点。虽然通常认为数理经济学的创始人是法国数学家、经济学家和哲学家古诺(A.A.Cournot，1801-1877)，他在1838年出版了《财富理论的数学原理研究》一书，但是对今日的数理经济学影响最大的是瓦尔拉斯的一般经济均衡理论。尤其是，直到现在为止，一般经济均衡理论仍然是唯一的对经济整体提出的理论。所谓一般经济均衡理论大致可以这样来简述：在一个经济体中有许多经济活动者，其中一部分是消费者，一部分是生产者。消费者追求消费的最大效用，生产者追求生产的最大利润，他们的经济活动分别形成市场上对商品的需求和供给。市场的价格体系会对需求和供给进行调节，最终使市场达到一个理想的一般均衡价格体系。在这个体系下，需求与供给达到均衡，而每个消费者和每个生产者也都达到了他们的最大化要求。瓦尔拉斯把这一思想表达为这样的数学问题：假定市场上一共有l种商品，每一种商品的供给和需求都是这l种商品的价格的函数。于是这l种商品的供需均衡就得到l个方程。但是价格需要有一个计量单位，或者说实际上只有各种商品之间的比价才有意义，因而，这l种商品的价格之间只有l-1种商品的价格是独立的。为此，瓦尔拉斯又加入了一个财务均衡的关系，即所有商品供给的总价值应该等于所有商品需求的总价值。这一关系目前就称为“瓦尔拉斯法则”，它被用来消去一个方程。这样，最后瓦尔拉斯就认为，他得到了求l-1种商品价格的l-1个方程所组成的方程组。按照当时已为人们熟知的线性方程组理论，这个方程组有解，其解就是一般均衡价格体系。瓦尔拉斯当过工程师，也专门向人求教过数学。这使他能把他的一般经济均衡的思想表达成数学形式。但是他的数学修养十分有限。事实上，他提出的上述“数学论证”在数学上是站不住脚的。这是因为如果方程组不是线性的，那么方程组中的方程个数与方程是否有解就没有什么直接关系。这样，从数学的角度来看，长期来，瓦尔拉斯的一般经济均衡体系始终没有坚实的基础。这个问题经过数学家和经济学家们80年的努力，才得以解决。其中包括大数学家冯·诺依曼(J.vonNcumann，1903-1957)，他曾在20世纪30年代投身到一般经济均衡的研究中去，并因此提出他的著名的经济增长模型；还包括1973年诺贝尔经济学奖获得者列昂惕夫(W.Lcontiev，1906-1999)，他在20世纪30年代末开始他的投入产出方法的研究，这种方法在实质上是一个一般经济均衡的线性模型。分别获得1970年和1972年诺贝尔经济学奖的萨缪尔森(P.Samuelson，1915—)和希克斯(J.R.Hicks，1904-1989)，也是因他们用数学方式研究一般经济均衡体系而著称。而最终在1954年给出一般经济均衡存在性的严格证明的是阿罗(K.J.Arrow，1921—)和德布鲁(G.Debreu，1921—)。他们对一般经济均衡问题给出了富有经济含义的数学模型，利用1941年日本数学家角谷静夫(KakutaniShizuo，1911—)对1911年发表的荷兰数学家布劳威尔(L.E.J.Brouwer，1881—1966)提出的不动点定理的推广，才给出一般经济均衡价格体系的存在性证明。他们两人也因此先后于1972年和1983年获得诺贝尔经济学奖。阿罗和德布鲁都以学习数学开始他们的学术生涯。阿罗有数学的学士和硕士学位，德布鲁则完全是主张公理化方法的法国布尔巴基学派培养出来的数学家。他们两人是继冯·诺依曼以后，最早在经济学中引入数学公理化方法的学者。阿罗在1951年出版的《社会选择与个人价值》一书中，严格证明了满足一些必要假设的社会决策原则不可能不恒同于“某个人说了算”的“独裁原则”。这就是著名的阿罗不可能性定理。而德布鲁则是在他与阿罗一起证明的一般经济均衡存在定理的基础上，把整个一般经济均衡理论严格数学公理化，形成了1959年出版的《价值理论》一书。这本114页的小书，今天已被人为是现代数理经济学的里程碑。经济学为什么需要数学公理化方法是一个始终存在争论的问题。对于这个问题，德布鲁的回答是：“坚持数学严格性，使公理化已经不止一次地引导经济学家对新研究的问题有更深刻的理解，并使适合这些问题的数学技巧用得更好。这就为向新方向开拓建立了一个可靠的基地。它使研究者从必须推敲前人工作的每一细节的桎梏中脱身出来。严格性无疑满足了许多当代经济学家的智力需要，因此，他们为了自身的原因而追求它，但是作为有效的思想工具，它也是理论的标志。”在这样的意义下，我们才能正确理解现代数理经济学、数理金融学的发展究竟意味着什么。当然，这并非意味着通过对各种现象、实例、故事的描述、罗列、区分，使人们从中悟出许多哲理来的“文学文化”的认识方法不能认识经济学、金融学的一些方面。但是认为经济学、金融学不需要用公理化方法架构的科学理论，而只需要对经济现实、金融市场察言观色的经验，那将更不能认识经济学、金融学的本质。从“华尔街革命”追溯到1900年狭义的金融学是指金融市场的经济学。现代意义下的金融市场至少已有300年以上的历史，它从一开始就是经济学的研究对象。但是现代金融学通常认为只有不到50年的历史。这50年也就是使金融学称为可用数学公理化方法架构的历史。从瓦尔拉斯-阿罗-德布鲁的一般经济均衡体系的观点来看，现代金融学的第一篇文献是阿罗于1953年发表的论文《证券在风险承担的最优配置中的作用》。在这篇论文中，阿罗把证券理解为在不确定的不同状态下有不同价值的商品。这一思想后来又被德布鲁所发展，他把原来的一般经济均衡模型通过拓广商品空间的维数来处理金融市场，其中证券无非是不同时间、不同情况下有不同价值的商品。但是后来大家发现，把金融市场用这种方式混同于普通商品市场是不合适的。原因在于它掩盖了金融市场的不确定性本质。尤其是其中隐含着对每一种可能发生的状态都有相应的证券相对应，如同每一种可能有的金融风险都有保险那样，与现实相差太远。这样，经济学家们又为金融学寻求其他的数学架构。新的数学架构的现代金融学被认为是两次“华尔街革命”的产物。第一次“华尔街革命”是指1952年马科维茨(H.M.Markowitz，1927—)的证券组合选择理论的问世。第二次“华尔街革命”是指1973年布莱克(F.Black，1938-1995)-肖尔斯(M.S.Scholes，1941—)期权定价公式的问世。这两次革命的特点之一都是避开了一般经济均衡的理论框架，以致在很长时期内都被传统的经济学家们认为是“异端邪说”。但是它们又确实在以华尔街为代表的金融市场引起了“革命”，从而最终也使金融学发生根本改观。马科维茨研究的是这样的一个问题：一个投资者同时在许多种证券上投资，纳闷应该如何选择各种证券的投资比例，使得投资收益最大，风险最小。对此，马科维茨在观念上的最大贡献在于他把收益与风险这两个原本有点含糊的概念明确为具体的数学概念。由于证券投资上的收益是不确定的，马科维茨首先把证券的收益率看作一个随机变量，而收益定义为这个随机变量的均值，风险则定义为这个随机变量的标准差（这与人们通常把风险看作可能有的损失的思想相差甚远）。于是如果把各证券的投资比例看作变量，问题就归结为怎样使证券组合的收益最大、风险最小的数学规划。对每一固定收益都求出其最小风险，那么在风险—收益平面上，就可画出一条曲线，它称为组合前沿。马科维茨理论的基本结论就是：在证券允许卖空的条件下，组合前沿是一条双曲线的一支；在证券不允许卖空的条件下，组合前沿是若干段双曲线段的拼接。组合前沿的上半部称为有效前沿。对于有效前沿上的证券组合来说，不存在收益和风险两方面都优于它的证券组合。这对于投资者的决策来说自然有很重要的参考价值。马科维茨理论是一种纯技术性的证券组合选择理论。这一理论是当他在芝加哥大学的博士论文中提出的。但在论文答辩时，另一位当时已享有盛名、后来也以他的货币主义而获得1976年诺贝尔经济学奖的弗里德曼斥之为：“这不是经济学！”为此，马科维茨后来不得不引入以收益和风险为自变量的效用函数，来使他的理论纳入通常的一般经济均衡框架。马科维茨的学生夏普(W.F.Sharpe，1934—)和另一些经济学家，则进一步在一般经济均衡的框架下，假定所有投资者都以这种效用函数来决策，而导出全市场的证券组合的收益率是有效的以及所谓资本资产定价模型。夏普因此与马科维茨一起荣获1990年的诺贝尔经济学奖。另一位1981年诺贝尔经济学奖获得者托宾(J.Tobin，1918-2002)在对于允许卖空的证券组合选择问题的研究中，导出每一种有效证券组合都是一种无风险资产与一种特殊的风险资产的组合（称为二基金分离定理），从而得出一些宏观经济方面的结论。在1990年与马科维茨和夏普一起分享诺贝尔奖的另一位经济学家是米勒(M.H.Miller，1923-2000)。他与另一位在1985年获得诺贝尔奖的莫迪里阿尼(F.Modigliani，1918-2003)一起在1958年以后发表了一系列论文，探讨“公司的财务政策（分红、债权/股权比等）是否会影响公司的价值”这一主题。他们的结论是：在理想的市场条件下，公司的价值与财务政策无关。后来他们的这些结论就被称为MM定理。他们的研究不但为公司理财这门新学科奠定了基础，并且首次在文献中明确提出无套利假设。所谓无套利假设是指在一个完善的金融市场中，不存在套利机会。因此，如果两个公司将来的价值是一样的，纳闷他们今天的价值也应该一样，而与它们的财务政策无关；否则人们就可通过买卖两个公司的股票来获得套利。达到一般经济均衡的金融市场显然一定满足无套利假设。这样，MM定理与一般经济均衡框架是相容的。但是直接从无套利假设出发来对金融产品定价，则使论证大大简化。这就给人们以启发，我们不必一定要背上沉重的一般经济均衡的十字架，从无套利假设出发就已经可为金融产品的定价得到许多结果。从此，金融经济学就开始以无套利假设作为出发点。以无套利假设作为出发点的一大成就也就是布莱克—肖尔斯期权定价理论。所谓期权是指以某固定的执行价格在一定的期限内买入某种资产的权利。期权在它被执行时的价格很清楚，即：如果股票的市价高于期权的执行价格，那么期权的价格就是市价与执行价格之差；如果股票的市价低于期权规定的执行价格，那么期权是无用的，其价格为零。现在要问期权在其被执行钱应该怎样用股票价格来定价？为解决这一问题，布莱克和肖尔斯先把模型连续动态化。他们假定模型中有两种证券，一种是债券，它是无风险证券，也是证券价值的计量基准，其收益率是常数；另一种是股票，它是风险证券，沿用马科维茨的传统，它也可用证券收益率的期望和方差来刻画，但是动态化以后，其价格的变化满足一个随机微分方程，其含义是随时间变化的随机收益率，其期望值和方差都与时间间隔成正比。这种随机微分方程称为几何布朗运动。然后，利用每一时刻都可通过股票和期权的适当组合对冲风险，使得该组合变成无风险证券，从而就可得到期权价格与股票价格之间的一个偏微分方程，其中的参数是时间、期权的执行价格、债券的利率和股票价格的“波动率”。出人意料的是这一方程居然还有显式解。于是布莱克—肖尔斯期权定价公式就这样问世了。但是与马科维茨的遭遇类似，布莱克—肖尔斯公式的发表也困难重重地经过好几年。与市场中投资人行为无关的金融资产的定价公式，对于习惯于用一般经济均衡框架对商品定价的经济学家来说很难接受。这样，布莱克和肖尔斯不得不直接到市场中去验证他们的公式。结果令人非常满意。有关期权定价实证研究结果先在1972年发表。然后再是理论分析于1973年正式发表。与此几乎同时的是芝加哥期权交易所也在1973年正式推出16种股票期权的挂牌交易（在此之前期权只有场外交易），使得衍生证券市场从此蓬蓬勃勃地发展起来。布莱克—肖尔斯公式也因此有数不清的机会得到充分验证，而使它成为人类有史以来应用最频繁