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基于Simulink/SimMechanics的6-DoF平台的反解建模与仿真1引言运动平台按结构可以分为串联和并联两大类。与串联形式相比，并联形式具有刚度大、承载能力强、结构简单、运动负荷小、能实现包括横移、纵移、深沉等多个自由度运动的特点。同时，与串联形式的优点也很明显，其具有运动空间大，测量精度高，运动、受力分析相对简单，控制、测量的实现相对容易，且每个自由度都能独立运动等特点。六自由度运动平台是由六条液压气缸通过万向节铰连（或球铰链）将上、下两个平台连接而成，下平台固定在基础上，借助六条液压气缸的伸缩运动，完成上平台在三维空间六个自由度（α，β，γ，X，Y，Z）的运动，从而可以模拟出各种空间运动姿态。空间运动的目标是实现平台在空间运动的三个姿态角度和三个平动位移，即俯仰、滚转、偏航、上下垂直运动、前后平移和左右平移，及六个姿态的复合运动姿态。Matlab中的Simulink是一个用来对动态系统进行建模、仿真和分析的软件包。SimMechanics是Matlab6.5新增的机构系统模块集，它可以对各种运动副连接的刚体进行建模与仿真，实现对机构系统进行分析与设计的目的。它提供了一个可以在Simulink环境下直接使用的模块集，可以将表示各种机构的模块在普通的Simulink窗口中绘制出来，并通过它自己提供的检测与驱动模块和普通的Simulink模块连接起来，获得整个系统的仿真结果。SimMechanics动态仿真工具具有系统建模直观方便、仿真功能强大，自动模型分析等强大优势，可以很好地对机械系统的各种运动进行分析，从而为机械系统提供一个强大而方便的工具。通过该模型可以有效的对6-DoF运动平进行位置反解分析。本文运用并联机器人SimMechanics模型对6-DoF运动平台进行位置反解的方法，并设计PID控制器对平台进行仿真。2基于Simulink的平台的反解建模2.1坐标系建立及坐标点的确定为了清楚地描述平台的运动，选取两个坐标系，即动坐标系O’X’Y’Z’和静坐标系OXYZ。其中静坐标系固定在下平台中，动坐标系固定在上平台中，初始位置时，上下平台相互平行，且上平台相对下平台偏移𝜋/3。静坐标系以下平台六个铰点所在圆的圆心为原点，以下平台铰点B1、B2连线的中垂线所在直线为X轴，Z轴垂直于平台向上，如图所示：图2.1静坐标系与动坐标系位置示意图图2.2上、下平台各铰支点的位置分布示意图用矩阵B来表示液压气缸下端各铰支点Bi(i=1，2，3，4，5，6)在静坐标系中的坐标向量。矩阵B的第一列的第一行至第三行元素分别表示B1点在动坐标系中的X轴、Y轴、Z轴的坐标量，其余列的意义与第一列意义类似。则可得出：𝐵=[𝑏𝑖𝑗]3𝑋6XYX’Y’abB1B2B3B4B5B6𝜋/3O(O’)A1A2A3A4A5A6O’x’Z’OXZY’YTopplatformBaseplatformB1B2B3B4B5B6A1A2A3A4A5A6=[𝑅𝑏cos(−𝑏)𝑅𝑏cos(𝑏)𝑅𝑏cos(2𝜋3−𝑏)𝑅𝑏cos(2𝜋3+𝑏)𝑅𝑏cos(4𝜋3−𝑏)𝑅𝑏cos(4𝜋3+𝑏)𝑅𝑏𝑠𝑖𝑛(−𝑏)𝑅𝑏𝑠𝑖𝑛(𝑏)𝑅𝑏𝑠𝑖𝑛(2𝜋3−𝑏)𝑅𝑏𝑠𝑖𝑛(2𝜋3+𝑏)𝑅𝑏𝑠𝑖𝑛(4𝜋3−𝑏)𝑅𝑏𝑠𝑖𝑛(4𝜋3+𝑏)000000](2-1)将矩阵B写成齐次坐标的形式：𝐵=[𝑏𝑖𝑗]4𝑋6=[[𝑏𝑖𝑗]4𝑋6[1]1𝑋6]4𝑋6(2-2)式中：𝑅𝑏--液压气缸下端各铰点分布圆的半径；𝑏--B1点相对OX轴的偏移角度，即下铰点分布角；用矩阵A来表示液压气缸下端各铰支点Ai(i=1，2，3，4，5，6)在动坐标系中的坐标向量。矩阵A的第一列的第一行至第三行元素分别表示A1点在动坐标系中的O’X’轴、O’Y’轴、O’Z’轴的坐标量，其余列的意义与第一列意义类似。则可得出：𝐴=[𝑎𝑖𝑗]3𝑋6=[𝑅𝑡cos(5𝜋3+𝑎)𝑅𝑡cos(𝜋3−𝑎)𝑅𝑡cos(𝜋3+𝑎)𝑅𝑡cos(𝜋−𝑎)𝑅𝑡cos(𝜋+𝑎)𝑅𝑡cos(5𝜋3−𝑎)𝑅𝑡𝑠𝑖𝑛(5𝜋3+𝑎)𝑅𝑡𝑠𝑖𝑛(𝜋3−𝑎)𝑅𝑡𝑠𝑖𝑛(𝜋3+𝑎)𝑅𝑡𝑠𝑖𝑛(𝜋−𝑎)𝑅𝑡𝑠𝑖𝑛(𝜋+𝑎)𝑅𝑡𝑠𝑖𝑛(5𝜋3−𝑎)000000](2-3)将矩阵A写成齐次坐标的形式：𝐴=[𝑎𝑖𝑗]4𝑋6=[[𝑎𝑖𝑗]4𝑋6[1]1𝑋6]4𝑋6(2-4)式中：𝑅𝑡--液压气缸下端各铰支点分布圆的半径；𝑎--A1点相对O’X’轴的偏移角度，即上铰点分布角；2.2坐标变换及旋转矩阵对于在三维空间里的一个参考系，任何坐标系的向，都可以用三个欧拉角来表现。动坐标系固定在刚体中，随着刚体的旋转而旋转。动坐标系相对静坐标系的位置可以用广义坐标来表示，Q的分量为qi。其中q1、q2、q3为动坐标系与静坐标系的三个姿态角，q4、q5、q6为动坐标系原点O在静坐标系O’X’、O’Y’、O’Z’三轴上的坐标。动坐标系与静坐标系之间，存在一个齐次变换矩阵。由静坐标系到动坐标系的变换顺序为：第一次沿O’X’轴方向平移q4，变换矩阵为：T1=[100𝑞4010000100001](2-5)第二次沿O’Y’向平移q5，变换矩阵为:T2=[1000010𝑞500100001](2-6)第三次沿O’Z’向平移q6，变换矩阵为:𝑇3=[10000100001𝑞60001](2-7)三次平移之后，接着进行三次旋转变换。第一次绕O’Z’旋转偏航角q3，变换矩阵为𝑇4=[𝑐𝑜𝑠𝑞3−𝑠𝑖𝑛𝑞300𝑠𝑖𝑛𝑞3𝑐𝑜𝑠𝑞30000100001](2-8)第二次绕O’Y’旋转纵摇角q2，变换矩阵为𝑇5=[𝑐𝑜𝑠𝑞20𝑠𝑖𝑛𝑞200100−𝑠𝑖𝑛𝑞20𝑐𝑜𝑠𝑞200001](2-9)第三次绕O’X’旋转横摇角q1，变换矩阵为T6=[100𝑞40𝑐𝑜𝑠𝑞1−𝑠𝑖𝑛𝑞100𝑠𝑖𝑛𝑞1𝑐𝑜𝑠𝑞100001](2-10)经过以上各个变换之后，则可以得到由静坐标系到动坐标系的坐标变换矩阵T为𝑇=T1⋅𝑇2⋅𝑇3∙𝑇4⋅𝑇5⋅𝑇6=[𝑐𝑜𝑠𝑞2𝑐𝑜𝑠𝑞3−𝑐𝑜𝑠𝑞1𝑠𝑖𝑛𝑞3+𝑠𝑖𝑛𝑞1𝑠𝑖𝑛𝑞2𝑐𝑜𝑠𝑞3𝑠𝑖𝑛𝑞1𝑠𝑖𝑛𝑞3+𝑐𝑜𝑠𝑞1𝑠𝑖𝑛𝑞2𝑐𝑜𝑠𝑞3𝑞4𝑐𝑜𝑠𝑞2𝑠𝑖𝑛𝑞3𝑐𝑜𝑠𝑞1𝑐𝑜𝑠𝑞3+𝑠𝑖𝑛𝑞1𝑠𝑖𝑛𝑞2𝑠𝑖𝑛𝑞3−𝑠𝑖𝑛𝑞1𝑐𝑜𝑠𝑞3+𝑐𝑜𝑠𝑞1𝑠𝑖𝑛𝑞2𝑠𝑖𝑛𝑞3𝑞5−𝑠𝑖𝑛𝑞2𝑠𝑖𝑛𝑞1𝑐𝑜𝑠𝑞2𝑐𝑜𝑠𝑞1𝑐𝑜𝑠𝑞2𝑞60001](2-11)2.3平台的位置反解当已知输出件的位置和姿态而求解机构输入件的位置时，称为机构位置的反解。并联机构的运动分析可以确定某些构件运动所需的空间，校检它们的运动是否干涉。平台的位置反解，即当给定上平台在空间中的位置和姿态时求解各个液压气缸活塞杆的伸缩量（即位移量）。液压汽缸活塞杆的伸缩量可以由液压气缸的上、下铰支点之间的距离减去上、下铰支点间的初始距离来确定。上、下铰支点间的距离公式为l𝑖=√∑(𝑔𝑘𝑖−𝑏𝑘𝑖)23𝑘=1(𝑖=1，2，3，4，5，6)(2-12)式中：𝑔𝑘𝑖为液压气缸上端铰支点在动坐标系下的坐标变换到静坐标系下所得各点相对应的坐标，其计算公式为G=[𝑔𝑖𝑗]4𝑥6=𝑇∙𝐴(2-13)𝑏𝑘𝑖为液压气缸下铰支点在静坐标系中各点相对应的坐标。液压气缸活塞杆伸缩量为∆l=𝑙𝑖−𝑙0(𝑖=1，2，3，4，5，6)(2-14)2.4反解模型的建立Simulink是Matlab软件的扩展，它是实现动态系统建模和仿真的一个软件包，它与Matlab语言的主要区别在于，其与用户的交互接口是基于Windows的模型化图形输入，其结果是使得用户可以把更多的精力投入到系统模型构建，而非语言编程上。为了创建动态系统模型，Simulink提供了一个建立模型方块图的图形用户接口(GUI)，这个创建过程只需要单击和拖动鼠标操作就能完成，它提供了一种更快捷、直接明了的方式，而用户可以立即看到系统的仿真效果，以下是利用Simulink建立运动平台反解模型的建模过程。转换矩阵T模型，用MATLABFunction模块实现矩阵运算并将结果输出，在MATLABFunction模块中输入T矩阵，输入端是给定的参考姿态Q=(q1,q2,q3,q4,q5,q6)，如图所示图2.3矩阵T模型矩阵B模块，使用MATLABFunction模块，在模块中输入B矩阵公式。输入端是上平台的铰支点所在圆的半径Rb，和铰支点的分布角b。如图所示图2.4矩阵B模型矩阵A模块，使用MATLABFunction模块，在模块中输入A矩阵公式。输入端是上平台的铰支点所在圆的半径Rt，和铰支点的分布角a。如图所示图2.5矩阵A模型根据计反解算公式（2-13）、（2-14）、（2-15）建立反解模型，l0为上、下平台各铰支点间的初始长度，输出为各个液压气缸的伸缩量（即移位量）l𝑖，如图所示:图2.6反解过程模型其中Mod子系统模块用来求上、下平台各铰支点间的距离，输出为各液压气缸伸缩后的长度，即各个杆的长度，其模型如图所示图2.7Mod子系统模型参考运动姿态模块，主要由TopPlatReference子系统和Mux模块组成，如图所示图2.8参考姿态模型其中TopPlatReference子系统模型，可以根据平台所要求的运动来规定，在动坐标的初始位置时，动坐标系原点在静坐标系下为[𝑞4𝑞5𝑞6]=[000+𝐻]，所以在q6中加上数值为H的常数模块，如图所示图2.9TopPlatReference子系统模型反解过程的总体模型如图2.10所示，图2.10(b)是将反解算法过程封装成子系统后的总体模型。图2.10(a)反解总体模型图2.10(b)封装后的反解总体模型3用SimMechanics模块集构建平台SimMechanics机构系统模块集可以对各种运动副连接的刚体进行建模与仿真，能实现对机构系统进行分析与设计的目的。它包括下面几个模块组：刚体模块组、约束与驱动模块组、辅助工具模块组、运动副模块组、检测与驱动模块组。驱动模块用来添加Simulink输入量，有3种驱动方式，即构件驱动、铰连接副驱动和驱动执行器驱动。使用这些模块可以方便的建立复杂的机械系统的图形化模型，进行机械系统的单独分析或与任何Simulink设计的控制器及其它动态系统相连接进行综合仿真。本文首先根据6-DoF并联结构平台的连接关系建立仿真模型，然后进行调试及仿真。6-DoF并联机构运动平台的SimMechanics的总体模型框图如图3.1所示，主要由上平台、下平台及6条驱动腿子系统组成，6条驱动腿子系统通过胡克铰与上、下平台相连接。下平台固定不动，用ground模块来表示，其参数设置比较简单，只需填写各铰点在世界坐标系中坐标即可；上平台是一个刚体，用Body模块来表示，Body模块的参数设置主要分两部分：上部分设置刚体的质量与惯量，下部分设置刚体的坐标系。对上平台来说，由于它与6条驱动腿相连接，所以除了中心点（质心CG），还需设置6条驱动腿与上平台连接的铰点处的坐标系。上平台安装有传感器用于检测上平台运动。图3.16-DoF运动平台的SimMechanics的模型驱动腿子系统结构框图如图3.2所示，它由驱动腿的上部分刚体、下部分刚体以及它们与上下平台相连接的上、下铰点，中间用一移动副连接，该移动