高一数学必修一1221函数的表示法

1．2.2函数的表示法第1课时函数的表示法1.掌握函数的三种表示方法——解析法、图象法、列表法.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当方法表示函数.1.求函数解析式的两种常用方法——换元法和待定系数法．(难点)2.函数图象的作法(重点)1．函数的概念及对应关系“f”的理解2．函数的三要素是______________________．3．函数图象的画法——①列表，②描点，③连线4．实数的绝对值|a|＝aa≥0－aa＜0定义域、对应关系、值域1．下列各图中，不能是函数f(x)图象的是()答案：C2．已知函数f(x－1)＝x2－3，则f(2)的值为()A．－2B．6C．1D．0解析：方法一：令x－1＝t，则x＝t＋1，∴f(t)＝(t＋1)2－3，∴f(2)＝(2＋1)2－3＝6.方法二：f(x－1)＝(x－1)2＋2(x－1)－2，∴f(x)＝x2＋2x－2，∴f(2)＝22＋2×2－2＝6.方法三：令x－1＝2，∴x＝3，∴f(2)＝32－3＝6.故选B.答案：B3．如果二次函数的图象开口向上且关于直线x＝1对称，且过点(0,0)，(3,3)则此二次函数的解析式为________．解析：设f(x)＝a(x－1)2＋c∵图象过点(0,0)，(3,3)∴a·0－12＋c＝0a3－12＋c＝3解得a＝1c＝－1∴二次函数的解析式为y＝(x－1)2－1＝x2－2x.答案：f(x)＝x2－2x4．作出下列函数的图象：(1)y＝1＋x(x∈Z)；(2)y＝x2－2x(x∈[0,3))．解析：(1)这个函数的图象由一些点组成，这些点都在直线y＝1＋x上，如图1所示：(2)因为0≤x＜3，所以这个函数的图象是抛物线y＝x2－2x介于0≤x＜3之间的一部分，如图2所示.求函数的解析式求下列函数的解析式(1)已知f(x)＝x2＋2，求f(x－1)，f(x＋2)；(2)已知f(x＋1)＝x2＋2x，求f(x)．由题目可以获取以下主要信息：①对应关系f对自变量x起作用，可用代入法求解.②对应关系f对(x＋1)起作用，需要寻找对应关系f怎样对自变量x起作用，可用配凑法或换元法求解.[解题过程](1)(代入法)：∵f(x)＝x2＋2∴f(x－1)＝(x－1)2＋2＝x2－2x＋3f(x＋2)＝(x＋2)2＋2＝x2＋4x＋6(2)方法一(换元法)：令x＋1＝t则x＝t－1∴f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1，∴f(x)＝x2－1方法二(配凑法)：∵x2＋2x＝(x＋1)2－1∴f(x＋1)＝(x＋1)2－1，∴f(x)＝x2－1[题后感悟](1)已知f(x)的解析式，如何求f(g(x))?①用g(x)代换f(x)中的x；②化简f(g(x))；③注明定义域，防止扩大或缩小自变量的范围．如f(x)＝1x，则f1x＝11x＝x，若不注明x的范围，会误认为f1x＝x的定义域为R，而实质上1x≠0.x取不到0，因此，f1x＝xx≠0.(2)求f(g(x))时，往往遵循先内后外的原则．(3)已知f(g(x))的解析式，如何求f(x)?①换元法：令g(x)＝t，解出x，即用t表示x，然后代入f(g(x))中即可求得f(t)，从而求得f(x)；②配凑法：将f(g(x))右端的代数式配凑成关于g(x)的形式，进而求出f(x)的解析式．1.(1)已知f(x)＝x2＋x－1，求f(x＋2)(2)已知f(x－1)＝x－2x，求f(x)解析：(1)∵f(x)＝x2＋x－1，∴f(x＋2)＝(x＋2)2＋(x＋2)－1＝x2＋5x＋5(2)方法一：∵f(x－1)＝(x)2－2x＝(x－1)2－1∴f(x)＝x2－1∵x－1≥－1∴f(x)＝x2－1(x≥－1)方法二：设t＝x－1，则x＝(t＋1)2(t≥－1)，f(t)＝(t＋1)2－2(t＋1)＝t2－1∴f(x)＝x2－1(x≥－1)已知f(x)是二次函数，且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，求f(x)的解析式．[策略点睛]2.(1)本例中若条件“f(x＋1)－f(x)＝x－1”变为“f(x＋1)＝f(x)＋2x”，求f(x)．(2)已知f(x)是一次函数，若f(f(x))＝4x＋8，求f(x)的解析式．解析：(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝2，得c＝2，由f(x＋1)＝f(x)＋2x得ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＋2＝ax2＋(b＋2)x＋2∴2a＋b＝b＋2a＋b＋2＝2∴a＝1b＝－1故所求函数的解析式为f(x)＝x2－x＋2.(2)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b.又f(f(x))＝4x＋8，∴a2x＋ab＋b＝4x＋8，∴a2＝4ab＋b＝8，解得a＝2b＝83或a＝－2b＝－8.∴f(x)＝2x＋83或f(x)＝－2x－8.函数图象的作法及应用画出下列函数的图象(1)y＝1－x(x∈Z)；(2)y＝2x2－4x－3(0≤x＜3)；(3)y＝1x，(x＞1)．(1)作函数的图象，首先应分析函数的定义域，再根据所学习的函数图象的形状与特点画出草图．(2)虚线画直线或抛物线或双曲线→据定义域截取→画实保留部分，擦去多余部分[解题过程](1)这个函数的图象由一些点组成，这些点都在直线y＝1－x上，(∵x∈Z，从而y∈Z)，这些点称为整点，如图(1)．(2)∵0≤x＜3，∴这个函数的图象是抛物线y＝2x2－4x－3介于0≤x＜3之间的一段弧，如图(2)．(3)当x＝1时，y＝1，所画函数的图象如图(3)．[题后感悟](1)描点法作函数图象的步骤：(2)作函数图象时应注意以下几点：①在定义域内作图；②图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象；③要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点与坐标轴的交点等．要分清这些关键点是实心点还是空心点．3.(1)本例(2)中，若将函数定义域改为[0，＋∞)，作出函数的图象并求其值域；(2)本例(3)中，若将函数定义域改为(－∞，－1)∪(0,1)，作出函数图象并求其值域．解析：(1)作出y＝2x2－4x－3x∈[0，＋∞)的图象(如图1)图1由图象知函数的值域为[－5，＋∞)．(2)作出y＝1x，x∈(－∞，－1)∪(0,1)的图象(如图2)图2由图象知函数的值域为(－1,0)∪(1，＋∞)．函数的三种表示方法的优缺点比较优点缺点解析法一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是通过解析式可以求出任意一个自变量所对应的函数值不够形象、直观、具体，而且并不是所有的函数都能用解析式表示出来列表法不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值它只能表示自变量取较少的有限值的对应关系图象法能形象直观地表示出函数的变化情况只能近似地求出自变量的值所对应的函数值，而且有时误差较大[注意]函数的三种表示方法相互兼容和补充，许多函数是可以用三种方法来表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主．◎已知f(x2＋2)＝x4＋4x2，求f(x)的解析式．【错解】∵f(x2＋2)＝x4＋4x2＝(x2＋2)2－4，设t＝x2＋2，则f(t)＝t2－4.∴f(x)＝x2－4.【错因】本题错解的原因是忽略了函数f(x)的定义域．上面的解法，似乎是无懈可击，然而从其结论，即f(x)＝x2－4来看，并未注明f(x)的定义域，那么按一般理解，就应认为其定义域是全体实数．但是f(x)＝x2－4的定义域不是全体实数．事实上，任何一个函数都由定义域、值域和对应关系f三要素组成．所以，当函数f(g(x))一旦给出，则其对应关系f就已确定并不可改变，那么f的“管辖范围”(即g(x)的值域)也就随之确定．因此，我们由f(g(x))求f(x)时，求得的f(x)的定义域就理应与f(g(x))中的f的“管辖范围”一致才妥．【正解】∵f(x2＋2)＝x4＋4x2＝(x2＋2)2－4，令t＝x2＋2(t≥2)，则f(t)＝t2－4(t≥2)，∴f(x)＝x2－4(x≥2).练规范、练技能、练速度