高一数学数列部分经典习题及答案

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.数列一.数列的概念:(1)已知*2()156nnanNn,则在数列{}na的最大项为__(答:125);(2)数列}{na的通项为1bnanan,其中ba,均为正数,则na与1na的大小关系为__(答:na1na);(3)已知数列{}na中,2nann,且{}na是递增数列,求实数的取值范围(答:3);二.等差数列的有关概念:1.等差数列的判断方法:定义法1(nnaadd为常数)或11(2)nnnnaaaan。设{}na是等差数列,求证:以bn=naaan21*nN为通项公式的数列{}nb为等差数列。2.等差数列的通项:1(1)naand或()nmaanmd。(1)等差数列{}na中,1030a,2050a,则通项na(答:210n);(2)首项为-24的等差数列,从第10项起开始为正数,则公差的取值范围是______(答:833d)3.等差数列的前n和:1()2nnnaaS,1(1)2nnnSnad。(1)数列{}na中,*11(2,)2nnaannN,32na,前n项和152nS,求1a,n(答:13a,10n);(2)已知数列{}na的前n项和212nSnn,求数列{||}na的前n项和nT(答:2*2*12(6,)1272(6,)nnnnnNTnnnnN).三.等差数列的性质:1.当公差0d时,等差数列的通项公式11(1)naanddnad是关于n的一次函数,且率为公差d;前n和211(1)()222nnnddSnadnan是关于n的二次函数且常数项为0.2.若公差0d,则为递增等差数列,若公差0d,则为递减等差数列,若公差0d,则为常数列。3.当mnpq时,则有qpnmaaaa,特别地,当2mnp时,则有2mnpaaa.(1)等差数列{}na中,12318,3,1nnnnSaaaS,则n=____(答:27)(2)在等差数列na中,10110,0aa,且1110||aa,nS是其前n项和,则A、1210,SSS都小于0,1112,SS都大于0B、1219,SSS都小于0,2021,SS都大于0C、125,SSS都小于0,67,SS都大于0D、1220,SSS都小于0,2122,SS都大于0(答:B)4.若{}na、{}nb是等差数列,则{}nka、{}nnkapb(k、p是非零常数)、*{}(,)pnqapqN、232,,nnnnnSSSSS,…也成等差数列,而{}naa成等比数列;若{}na是等比数列,且0na,则{lg}na是等差数列.等差数列的前n项和为25,前2n项和为100,则它的前3n和为。(答:225)5.在等差数列{}na中,当项数为偶数2n时,SSnd偶奇-;项数为奇数21n时,SSa奇偶中,21(21)nSna中(这里a中即na);:(1):奇偶SSkk。如(1)在等差数列中,S11=22,则6a=______(答:2);(2)项数为奇数的等差数列{}na中,奇数项和为80,偶数项和为75,求此数列的中间项与项数(答:5;31).6.若等差数列{}na、{}nb的前n和分别为nA、nB,且()nnAfnB,则2121(21)(21)(21)nnnnnnanaAfnbnbB.如设{na}与{nb}是两个等差数列,它们的前n项和分别为nS和nT,若3413nnTSnn,求nnba(答:6287nn)7.“首正”的递减等差数列中,前n项和的最大值是所有非负项之和;“首负”的递增等差数列中,前n项和的最小值是所有非正项之和。法一:由不等式组000011nnnnaaaa或确定出前多少项为非负(或非正);法二:因等差数列前n项是关于n的二次函数,故可转化为求二次函数的最值,但要注意数列的特殊性*nN。(1)等差数列{}na中,125a,917SS,问此数列前多少项和最大?并求此最大值。(答:前13项和最大,(2)若{}na是等差数列,首项10,a200320040aa,200320040aa,则使前n项和0nS成立的最大正整数n是(答:4006)8.如果两等差数列有公共项,那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列,且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数.注意:公共项仅是公共的项,其项数不一定相同,即研究nmab.四.等比数列的有关概念:1.等比数列的判断方法:定义法1(nnaqqa为常数),其中0,0nqa或11nnnnaaaa(2)n。(1)一个等比数列{na}共有21n项,奇数项之积为100,偶数项之积为120,则1na为____(答:56);(2)数列{}na中,nS=41na+1(2n)且1a=1,若nnnaab21,求证:数列{nb}是等比数列。2.等比数列的通项:11nnaaq或nmnmaaq。设等比数列{}na中,166naa,21128naa,前n项和nS=126,求n和公比q.(答:6n,12q或2)3.等比数列的前n和:当1q时,1nSna;当1q时,1(1)1nnaqSq11naaqq。如(1)等比数列中,q=2,S99=77,求9963aaa(答:44)特别提醒:等比数列前n项和公式有两种形式,为此在求等比数列前n项和时,首先要判断公比q是否为1,再由q的情况选择求和公式的形式,当不能判断公比q是否为1时,要对q分1q和1q两种情形讨论求解。4.提醒:(1)等比数列的通项公式及前n和公式中,涉及到5个元素:1a、q、n、na及nS,其中1a、q称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个,便可求出其余2个,即知3求2;(2)为减少运算量,要注意设元的技巧,如奇数个数成等比,可设为…,22,,,,aaaaqaqqq…(公比为q);但偶数个数成等比时,不能设为…33,,,aqaqqaqa,…,因公比不一定为正数,只有公比为正时才可如此设,且公比为2q。如有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个成等比数列,且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和为12,求此四个数。(答:15,,9,3,1或0,4,8,16)5.等比数列的性质:(1)当mnpq时,则有mnpqaaaa,特别地,当2mnp时,则有2mnpaaa.(1)在等比数列{}na中,3847124,512aaaa,公比q是整数,则10a=___(答:512);(2)各项均为正数的等比数列{}na中,若569aa,则3132310logloglogaaa(答:10)。(2)若{}na是等比数列,则{||}na、*{}(,)pnqapqN、{}nka成等比数列;若{}{}nnab、成等比数列,则{}nnab、{}nnab成等比数列;若{}na是等比数列,且公比1q,则数列232,,nnnnnSSSSS,…也是等比数列。当1q,且n为偶数时,数列232,,nnnnnSSSSS,…是常数数列0,它不是等比数列.(1)已知0a且1a,设数列{}nx满足1log1logananxx(*)nN,且12100100xxx,则101102200xxx答:100100a);(2)在等比数列}{na中,nS为其前n项和,若140,1330101030SSSS,求20S的值(答:40)(3)若10,1aq,则{}na为递增数列;若10,1aq,则{}na为递减数列;若10,01aq,则{}na为递减数列;若10,01aq,则{}na为递增数列;若0q,则{}na为摆动数列;若1q,则{}na为常数列.(4)当1q时,baqqaqqaSnnn1111,这里0ab,但0,0ab,这是等比数列前n项和公式的一个特征,据此很容易根据nS,判断数列{}na是否为等比数列。若{}na是等比数列,且3nnSr,则r=(答:-1)(5)mnmnmnnmSSqSSqS.如设等比数列}{na的公比为q,前n项和为nS,若12,,nnnSSS成等差数列,则q的值为_____(答:-2)(6)在等比数列{}na中,当项数为偶数2n时,SqS偶奇;项数为奇数21n时,1SaqS奇偶.(7)如果数列{}na既成等差数列又成等比数列,那么数列{}na是非零常数数列,故常数数列{}na仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。设数列na的前n项和为nS(Nn),关于数列na有下列三个命题:①若)(1Nnaann,则na既是等差数列又是等比数列;②若RbanbnaSn、2,则na是等差数列;③若nnS11,则na是等比数列。这些命题中,真命题的序号是(答:②③)五.数列的通项的求法:⑴公式法:⑵已知nS(即12()naaafn)求na,用作差法:11,(1),(2)nnnSnaSSn。①已知{}na的前n项和满足2log(1)1nSn,求na(答:3,12,2nnnan);②数列{}na满足12211125222nnaaan,求na(答:114,12,2nnnan)⑶已知12()naaafn求na,用作商法:(1),(1)(),(2)(1)nfnfnanfn。如数列}{na中,,11a对所有的2n都有2321naaaan,则53aa______(答:6116)⑷若1()nnaafn求na用累加法:11221()()()nnnnnaaaaaaa1a(2)n。如已知数列{}na满足11a,nnaann111(2)n,则na=_______(答:121nan)⑸已知1()nnafna求na,用累乘法:121121nnnnnaaaaaaaa(2)n。如已知数列}{na中,21a,前n项和nS,若nnanS2,求na(答:4(1)nann)⑹已知递推关系求na,用构造法(构造等差、等比数列)。特别地,(1)形如1nnakab、1nnnakab(,kb为常数)的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后,再求na。①已知111,32nnaaa,求na(答:1231nna);②已知111,32nnnaaa,求na(答:11532nnna);(2)形如11nnnaakab的递推数列都可以用倒数法求通项。①已知1111,31nnnaaaa,求na(答:132nan);②已知数列满足1a=1,11nnnnaaaa,求na(答:21nan)注意:(1)用1nnnSSa求数列的通项公式时,你注意到此等式成立的条件了吗?(2n,当1n时,11Sa);(2)一般地当已知条件中含有na与nS的混合关系时,常需运用关系式1nnnSSa,先将已知条件转化为只含na或nS的关系式,然后再求解。如数列{}na满足11154,3nnnaSSa,求na(答:14,134,2nnnan)六.数列求和的常用方法:1.公式法:①等差数列求和公式;②等比数列求和公式,特别声明:运用等比数列求和公式,务必检查其公比与1的关系,必要时需分类讨论.;③常用公式:1123(1)2nnn,222112(1)(21)6nnnn,33332(1)123[]2nnn.如(1)等比数列{}na的前n项和Sn=2n-1,则2232221naaaa=___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