钢结构板的屈曲理论

板的屈曲理论钢结构板受力时产生弹塑性变形，研究这类问题的基本思路是经过三个方面的分析：（1）力的平衡条件（2）几何变形协调条件（3）本构关系从而获得三类基本方程，再满足具体的边界条件，通过特定的求解方法求解。基本思路板的分类11~581111~~8010058tbtbt　　　　　薄板:　　　　　薄膜：板的厚度极小，抗弯刚度几乎降为零，板完全靠薄膜拉力来支厚板承荷载的作用。式中：为板厚，b为板：的最小板宽本章只介绍外力作用于等厚度中面内的薄板的屈曲问题。zzxzyxyxyzzxzyz1=0=p,,;xxyyxyxyabNNpNpc）基本假定、板很薄，微元体上的应力，和远小于应力，和，由他们产生的正应变和剪应变与都可忽略不计。，可用板中面的挠度代表沿厚度方向任何一点挠度；、与板的厚度相比，垂直于中面的挠度是微小的，这样一来，可以忽略中面因弯曲变形伸长而产生的薄膜力,这样微元体两侧的中面力相同、板为各向同性弹性体，应力与应变关系服从虎克定律。1小挠度理论1.1平衡方程2）力的平衡方程2222222222220xyyxxxyyMMM3zdz距中面为处的厚度板的变形）几何方程yuxvyvxuyuxvxyyx　　　　　//21ywzvxwzuwvu　　的关系与挠度、22222241()1()2(1)xyxyxxyyxyxyxyxywzxwzywzxyEEGE将此二式代入上三式有：）本构关系由广义虎克定律有：yxwEzywxwzEywxwzExyyx22222222222111表为挠度关系，并用几何关系　　可解出应力表达式222222222222222325)112(1)6)txxttyyttxyxytwwMzdzDxywwMzdzDxywMzdzDxyEtD　内力与挠度关系单位宽度上板元的弯矩和扭矩为：式中：　,为单位宽度板的抗弯刚度板受弯的挠曲微分方程式，将内力的公式代入力的平衡方程444222422422122xxyy有：2222222222222201)0,0,000,020,0300xxxxyx以的边界为例。简支边即在简支边有：）固定边）自由边，，7）边界条件2421144224442242242100sinsin2sinsinxxyxyxmnmnxmnnNPNNPwwDxmxnywAabmnxywpmmnnmmxnyAaabbDaab）单项均匀受压简支板板的中面力　　　微分方程变为：设满足边界条件的曲面方程为：式中和分别是板屈曲时在和方向的半波数对微分两次和四次后代入偏微分方程：110m1.2弹性屈曲荷载44224442242242222222222222222220xxcrxcrxcpmmnnmaabbDaaDmnDmbnapmabbambmbnakambDpkbp板的屈曲条件：令称为屈曲系数，可得：　　　　　　　当a/b4时，k接近最小值4。所以对于狭长的均匀受压的四边简支板，屈曲系数均可用最小值。板的屈曲应力：222/12(1)(/)rxkEtvbt对于单项均匀受压狭长的板，通过使用横向加劲肋来改变比值a/b从而提高屈曲系数并无明显效果，把加劲肋的间距取得小于2b又很不经济。对于很宽的薄板，可以采用纵向加劲肋来减少宽边b。221222222222-//(1)(14)(19)3219/62511/81/=2/3=23.9crxabpkDbkabk2）单向纯弯曲简支板采用瑞利里兹法求解板的屈曲荷载。令，屈曲荷载为　　　　　　屈曲系数当时，可得屈曲系数最小值为。22222235.344.0(/)4.05.34(/).985.6(/)5.68.98(/)xyyxxyyxcrxyssssssNNppDpkbkabkbaabkbaabkbaabkba）均匀受剪四边简支板采用伽辽金法求解板的屈曲荷载。板的中面内力：屈曲荷载为：式中：剪切屈曲系数，对于四边简支板：当时　　当时　对于四边固定的受剪板：当时　８　当时　对于比值a/b远大于1.0的受剪板件，可以在板的两侧设置横向加劲肋以缩小板的幅面尺寸，从而提高板的剪切屈曲系数。板弹性屈曲以后是否破坏，能否继续承载前面研究的薄板的屈曲问题都是建立在小挠度弹性理论基础上的，认为板屈曲时的挠度远小于其厚度，而中面在板屈曲时产生的薄膜拉力是微不足道的。当板边缘的支承构件具有较大的刚度时，有时板的屈曲应力虽不很高，但屈曲以后板并不破坏。板的挠度将发展到相当大的数值，在发展挠度的过程中，板的应力将出现重分布，板的中面会产生薄膜应力。板中的应力重分布和薄膜拉力的出现可延缓挠度的发展，实际上对板起着支持作用，从而大大提高板的承载力，使其超过板的分岔屈曲荷载。2大挠度理论zzxzyxyxyzzxzy1abc）基本假定、板很薄，微元体上的应力，和远小于应力，和，这样由他们产生的正应变和剪应变与都可忽略不计；、考虑中面因弯曲变形伸长而产生的薄膜力；、板为各向同性弹性体，应力与应变关系服从虎克定律。2.1平衡方程222422002xyxyyxxyxyxxyyxyxyNNNwNNxyNNyx2）力的平衡方程（推导同小挠度理论，只是、、中已包含因引起的薄膜力，故不再是常数）、、、四个未知量，只有三个平衡方程，需考虑几何、物理方程。22000000031122xyxyxyuvwwxxyyuvwwyxxy　）几何方程板弯曲后，微元体上任一点在和方向的位移由两部分组成，一部分由中面力产生中面位移；另一部分又板的挠度产生。　　00022222222222422224112(1)52xyyxxyxyxyxxyyxyxyvNvNNvNNEtEtEtFFFNttNttNttyxxyFwFwFwDwtxyyxxyxyFE4）物理方程　　　）基本微分方程为了简化计算过程，设法减少未知量，引入应力函数令　　　　卡门方程组222222　　　　　　　　　上述方程很难解出封闭解，如不用应力函数，只能数值积分法解得。或用基于势能驻值原理基础上的迦辽金法求得近似解。2.2单向均匀受压简支板的屈曲后强度2222222222222222222222216/16()/()/4/xcrxxcrxxxcrxxcrxxDmbaEtmbapfbambbambDmbapbambpppppbppfEtambmbappbftt注意到是单向均匀受压四边简支板的屈曲荷载，故可以通过算出板屈曲后强度的提高幅度。板采用伽辽金法解得：：的挠度为2222222/()/crxEtambmba2244422222222max444max4442()2cos/()12()2cos/()/2()0,/()12()/()1/2xcrxxxxcrxyxcrxxucrxuycrxuppFyNtpyambbppFmxNtxambmbaappybNpambambmabf板的纵向和横向面力:当时，如以代入得：　　　理论和实验研究表明，板越薄，临界力越低，屈曲后强度越高如果按照弹性屈曲的计算公式得到的屈曲应力超过材料的比例极限3板的弹塑性屈曲22222122221212min=/E0(2)crxtDpkbambkCCmbaCCEkmkCC　式中：与是与板支承条件有关的系数。为弹性模量折减系数。对于单向均匀受压的矩形板，求解的方法和最小屈曲求解系数由条件弹性板一样，屈曲荷此载：得到，时crxp比较上表可知，对于弹塑性屈曲荷载，只需要将弹性屈曲荷载乘以。板的屈曲理论在钢结构设计中到底如何应用？谢谢！