全等三角形的性质和判定

1全等三角形的性质和判定要点一、全等三角形的概念能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.要点二、对应顶点，对应边，对应角1.对应顶点，对应边，对应角定义两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角.要点诠释：在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角.要点三、全等三角形的性质全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等.要点四、全等三角形的判定（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）全等三角形判定一（SSS，SAS）全等三角形判定1——“边边边”三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）.要点诠释：如图，如果''AB＝AB，''AC＝AC，''BC＝BC，则△ABC≌△'''ABC.要点二、全等三角形判定2——“边角边”1.全等三角形判定2——“边角边”两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.2要点诠释：如图，如果AB＝''AB，∠A＝∠'A，AC＝''AC，则△ABC≌△'''ABC.注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.2.有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.【典型例题】类型一、全等三角形的判定1——“边边边”1、已知：如图，△RPQ中，RP＝RQ，M为PQ的中点．求证：RM平分∠PRQ．证明：∵M为PQ的中点（已知），∴PM＝QM在△RPM和△RQM中，(),,RPRQPMQMRMRM已知公共边∴△RPM≌△RQM（SSS）．∴∠PRM＝∠QRM（全等三角形对应角相等）．即RM平分∠PRQ.举一反三：【变式】已知：如图，AD＝BC，AC＝BD.试证明：∠CAD＝∠DBC.3类型二、全等三角形的判定2——“边角边”2、已知：如图，AB＝AD，AC＝AE，∠1＝∠2．求证：BC＝DE．证明：∵∠1＝∠2∴∠1＋∠CAD＝∠2＋∠CAD，即∠BAC＝∠DAE在△ABC和△ADE中ABADBACDAEACAE∴△ABC≌△ADE（SAS）∴BC＝DE（全等三角形对应边相等）3、如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接（A、B、D三点共线，AB＝CB，EB＝DB，∠ABC＝∠EBD＝90°），连接AE、CD，试确定AE与CD的位置与数量关系，并证明你的结论．证明：延长AE交CD于F，∵△ABC和△DBE是等腰直角三角形∴AB＝BC，BD＝BE在△ABE和△CBD中490ABBCABECBDBEBD∴△ABE≌△CBD（SAS）∴AE＝CD，∠1＝∠2又∵∠1＋∠3＝90°，∠3＝∠4（对顶角相等）∴∠2＋∠4＝90°，即∠AFC＝90°∴AE⊥CD举一反三：【变式】已知：如图，PCAC，PBAB，AP平分∠BAC，且AB＝AC，点Q在PA上，求证：QC＝QB类型三、全等三角形判定的实际应用4、“三月三，放风筝”．下图是小明制作的风筝，他根据DE＝DF，EH＝FH，不用度量，就知道∠DEH＝∠DFH．请你用所学的知识证明．【答案与解析】证明：在△DEH和△DFH中，5DEDFEHFHDHDH＝＝∴△DEH≌△DFH(SSS)∴∠DEH＝∠DFH．一、选择题1.△ABC和△'''ABC中，若AB＝''AB，BC＝''BC，AC＝''AC.则（）A.△ABC≌△'''ACBB.△ABC≌△'''ABCC.△ABC≌△'''CABD.△ABC≌△'''CBA2.如图，已知AB＝CD，AD＝BC，则下列结论中错误的是（）A.AB∥DCB.∠B＝∠DC.∠A＝∠CD.AB＝BC3.下列判断正确的是（）A.两个等边三角形全等B.三个对应角相等的两个三角形全等C.腰长对应相等的两个等腰三角形全等D.直角三角形与锐角三角形不全等6.如图，已知AB⊥BD于B，ED⊥BD于D，AB＝CD，BC＝ED，以下结论不正确的是（）A.EC⊥ACB.EC＝ACC.ED＋AB＝DBD.DC＝CB二、填空题9.如图，在△ABC和△EFD中，AD＝FC，AB＝FE，当添加条件_______时，就可得△ABC≌△EFD（SSS）10.如图，AC＝AD，CB＝DB，∠2＝30°，∠3＝26°，则∠CBE＝_______.612.已知，如图，AB＝CD，AC＝BD，则△ABC≌，△ADC≌.三、解答题13.已知：如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，∠ADC＝∠BCD，AD＝BC，求证：CO＝DO．14.已知：如图，AB∥CD，AB＝CD．求证：AD∥BC．分析：要证AD∥BC，只要证∠______＝∠______，又需证______≌______．证明：∵AB∥CD（），∴∠______＝∠______（），在△______和△______中，),______(______),______(______),______(______∴Δ______≌Δ______（）．∴∠______＝∠______（）．∴______∥______（）．715.如图，已知AB＝DC，AC＝DB，BE＝CE求证：AE＝DE.全等三角形判定3——“角边角”两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.要点诠释：如图，如果∠A＝∠'A，AB＝''AB，∠B＝∠'B，则△ABC≌△'''ABC.要点二、全等三角形判定4——“角角边”1.全等三角形判定4——“角角边”两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.要点三、判定方法的选择1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表：已知条件可选择的判定方法一边一角对应相等SASAASASA两角对应相等ASAAAS两边对应相等SASSSS8类型一、全等三角形的判定3——“角边角”1、已知：如图，E，F在AC上，AD∥CB且AD＝CB，∠D＝∠B．求证：AE＝CF．证明：∵AD∥CB∴∠A＝∠C在△ADF与△CBE中ACADCBDB∴△ADF≌△CBE（ASA）∴AF＝CE，AF＋EF＝CE＋EF故得：AE＝CF举一反三：【变式】如图，AB∥CD，AF∥DE，BE＝CF.求证：AB＝CD.类型二、全等三角形的判定4——“角角边”2、已知：如图，AB⊥AE，AD⊥AC，∠E＝∠B，DE＝CB．求证：AD＝AC．9证明：∵AB⊥AE，AD⊥AC，∴∠CAD＝∠BAE＝90°∴∠CAD＋∠DAB＝∠BAE＋∠DAB，即∠BAC＝∠EAD在△BAC和△EAD中BACEADBECB=DE∴△BAC≌△EAD（AAS）∴AC＝AD举一反三：【变式】如图，AD是△ABC的中线，过C、B分别作AD及AD的延长线的垂线CF、BE.求证：BE＝CF.【答案】证明：∵AD为△ABC的中线∴BD＝CD∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠BED＝∠CFD＝90°，在△BED和△CFD中BEDCFDBDECDFBDCD（对顶角相等）∴△BED≌△CFD（AAS）∴BE＝CF103、已知：如图，AC与BD交于O点，AB∥DC，AB＝DC．（1）求证：AC与BD互相平分；（2）若过O点作直线l，分别交AB、DC于E、F两点，求证：OE＝OF.证明：∵AB∥DC∴∠Ａ＝∠Ｃ在△ABO与△CDO中AC(AOBCOD＝＝对顶角相等）AB=CD∴△ABO≌△CDO（AAS）∴AO＝CO，BO=DO在△AEO和△CFO中AC(AOECOF＝AO=CO＝对顶角相等）∴△AEO≌△CFO（ASA）∴OE＝OF.一、选择题1.能确定△ABC≌△DEF的条件是（）A．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠EB．AB＝DE，BC＝EF，∠C＝∠EC．∠A＝∠E，AB＝EF，∠B＝∠DD．∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E2．如图，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC全等的图形是（）图4－3A．甲和乙B．乙和丙C．只有乙D．只有丙113．AD是△ABC的角平分线，作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，下列结论错误的是（）A．DE＝DFB．AE＝AFC．BD＝CDD．∠ADE＝∠ADF4．如图，已知MB＝ND，∠MBA＝∠NDC，下列条件不能判定△ABM≌△CDN的是（）A．∠M＝∠NB．AB＝CDC．AM＝CND．AM∥CN6．如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，下面结论中错误的是（）A．△ADC≌△BCDB．△ABD≌△BACC．△ABO≌△CDOD．△AOD≌△BOC二、填空题7.如图,∠1＝∠2，要使△ABE≌△ACE，还需添加一个条件是.(填上你认为适当的一个条件即可).8.在△ABC和△'''ABC中，∠A＝44°，∠B＝67°，∠'C＝69°，∠'B＝44°，且AC＝''BC，则这两个三角形_________全等.（填“一定”或“不一定”）9.已知，如图，AB∥CD，AF∥DE，AF＝DE，且BE＝2，BC＝10，则EF＝________.11.如图,已知：∠1＝∠2,∠3＝∠4,要证BD＝CD,需先证△AEB≌△AEC,根据是，再证△BDE≌△，根据是．1212.已知:如图，∠B＝∠DEF，AB＝DE，要说明△ABC≌△DEF，（1）若以“ASA”为依据，还缺条件（2）若以“AAS”为依据，还缺条件（3）若以“SAS”为依据，还缺条件三、解答题13．阅读下题及一位同学的解答过程：如图，AB和CD相交于点O，且OA＝OB，∠A＝∠C．那么△AOD与△COB全等吗？若全等，试写出证明过程；若不全等，请说明理由．答：△AOD≌△COB．证明：在△AOD和△COB中，),(),(),(对顶角相等已知已知COBAODOBOACA∴△AOD≌△COB（ASA）．问：这位同学的回答及证明过程正确吗？为什么？14.已知如图，E、F在BD上，且AB＝CD，BF＝DE，AE＝CF，求证：AC与BD互相平分.1315.已知：如图,AB∥CD,OA＝OD,BC过O点,点E、F在直线AOD上,且AE＝DF.求证：EB∥CF.要点一、判定直角三角形全等的一般方法由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了.这里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理.要点二、判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.【典型例题】类型一、直角三角形全等的判定——“HL”1、已知：如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC．求证：（1）AB＝CD：（2）AD∥BC．证明：（1）∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABD＝∠CDB＝90°14在Rt△ABD和Rt△CDB中，ADBCBDDB＝∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL）∴AB＝CD（全等三角形对应边相等）（2）由∠ADB＝∠CBD∴AD∥BC..举一反三：【变式】已知：如图，AE⊥AB，BC⊥AB，AE＝AB，ED＝AC．求证：ED⊥AC．2、判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不