简单枚举

简单枚举.主讲人：柯老师知识要点枚举是一种常见的分析问题、解决问题的方法。一般地，要根据问题要求，一一列举问题解答。运用枚举法解应用题时，必须注意无重复、无遗漏，因此必须有次序、有规律地进行枚举。运用枚举法解题的关键是要正确分类，要注意以下两点：一是分类要全，不能造成遗漏；二是枚举要清，要将每一个符合条件的对象都列举出来。【例题1】从小华家到学校有3条路可走，从学校到文峰公园有4条路可走。从小华家到文峰公园，有几种不同的走法？【思路导航】为了帮助理解题意，我们可以画出如下示意图。（2）（3）（5）（6）（7）（4）我们把小华的不同走法一一列举如下：（1）小华家学校文峰公园第一种走法：家（1）到学校（4）到文峰公园第二种走法：家（1）到学校（5）到文峰公园第三种走法：家（1）到学校（6）到文峰公园第四种走法：家（1）到学校（7）到文峰公园第五种走法：家(2)到学校(4)到文峰公园第六种走法：家（2）到学校（5）到文峰公园第七种走法：家（2）到学校（6）到文峰公园第八种走法：家（2）到学校（7）到文峰公园第九种走法：家（3）到学校（4）到文峰公园第十种走法：家（3）到学校（5）到文峰公园第十一种走法：家（3）到学校（6）到文峰公园第十二种走法：家（3）到学校（7）到文峰公园根据列举可知，从小明家经学校到文峰公园，走①路有4种不同走法，走②路有4种不同走法，走③路也有4种不同走法，共有4×3=12种不同走法。解：4×3=12（种）答：一共有12种走法。练习1：1.从甲地到乙地，有3条公路直达，从乙地到丙地有2条铁路直达。从甲地到丙地有多少种不同走法？2.新华书店有3种不同的英语书，4种不同的数学读物销售。小明想买一种英语书和一种数学读物，共有多少种不同买法？3.明明有2件不同的上衣，3条不同的裤子，4双不同的鞋子。最多可搭配成多少种不同的装束？【例题2】用红、绿、黄三种信号灯组成一种信号，可以组成多少种不同的信号？【思路导航】要使信号不同，要求每一种信号颜色的顺序不同，我们可以把这些信号进行列举。可以看出，红色信号灯排在第一个位臵时，有两种不同的信号，绿色信号灯排在第一个位臵时，也有两种不同的信号，黄色信号灯排在第一个位臵时，也有两种不同的信号，因而共有3个2种不同排列方法，即2×3=6种。红绿黄绿红黄黄红绿红黄绿绿黄红黄绿红练习2：1.用红、黄、蓝三种颜色涂圆圈，每个圆圈涂一种颜色，一共有多少种不同的涂法？○○○2.用数字1、2、3.可以组成多少个不同的三位数？分别是哪几个数？3.用2、3、5、7四个数字，可以组成多少个不同的四位数？【例题3】一个长方形的周长是22米，如果它的长和宽都是整米数，那么这个长方形的面积有多少种可能？【思路导航】由于长方形的周长是22米，可知它的长与宽之和为11米。下面列举出符合这个条件的各种长方形：长（米）109876宽（米）12345面积（平方米）1018242830练习3：1.一个长方形的周长是30厘米，如果它的长和宽都是整厘米数，那么这个长方形的面积有多少种可能值？2.把15个玻璃球分成数量不同的4堆，共有多少种不同的分法？3.3个自然数的乘积是18，问由这样的3个数所组成的数组有多少个？如（1.2.9）就是其中的一个，而且数组中数字相同但顺序不同的算作同一数组，如（1.2.9）和（2.9，1）是同一数组。【例题4】有4位小朋友，寒假中互相通一次电话，他们一共打了多少次电话？思路导航：把4个小朋友分别编号：A、B、C、D，A与其他小朋友打电话，应该打3次，同样B小朋友也应打3次电话，同样C、D应该各打3次电话。4个小朋友，共打了3×4=12次。但题目要求两个小朋友之间只要通一次电话，那么A打电话给B时，A、B两人已经通过话了，所以B没有必要再打电话给A，照这样计算，12次电话中，有一半是重复计算的，所以实际打电话的次数是3×4÷2=6次。练习4：1.6个小队进行排球比赛，每两队比赛一场，共要进行多少次比赛？2.有8位小朋友，要互通一次电话，他们一共打了多少次电话？3.小芳出席由19人参加的联欢会，散会后，每两人都要握一次手，他们一共握了多少次手？【例题5】一条铁路，共有10个车站，如果每个起点站到终点站只用一种车票（中间至少相隔5个车站），那么这样的车票共有多少种？思路导航：我们可以利用列举的方法：12345678910如果起点站是1.那么终点站只能是7、8、9或10；如果起站站是2.那么终点站只能是8、9或10；如果起点站是3.那么终点站只能是9或10；如果起点站是4，终点站只能是10；如果起点站是5、6时，就找不到与它至少相隔5站的终点站了；如果起点站是7，终点站只能是1；如果起点站是8，那么终点站是2或1；如果起点站是9，那么终点站是3、2或1；如果起点站是10，那么终点站是4、3、2或1。所以，起点到终点至少相隔5个车站的车票有：解：4＋3＋2＋1＋0＋0＋1＋2＋3＋4=20种。练习5：1.上海、北京、天津三个城市分别设有一个飞机场，它们之间通航一共需要多少种不同的机票？2.一条公路上，共有8个站点。如果每个起点到终点只用一种车票（中间至少相隔3个车站），那么共有多少种不同的车票？3.在长江的某一航线上共有6个码头，如果每个起点终点只许用一种船票（中间至少要相隔2个码头），那么这样的船票共有多少种？