简单枚举

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简单枚举.主讲人:柯老师知识要点枚举是一种常见的分析问题、解决问题的方法。一般地,要根据问题要求,一一列举问题解答。运用枚举法解应用题时,必须注意无重复、无遗漏,因此必须有次序、有规律地进行枚举。运用枚举法解题的关键是要正确分类,要注意以下两点:一是分类要全,不能造成遗漏;二是枚举要清,要将每一个符合条件的对象都列举出来。【例题1】从小华家到学校有3条路可走,从学校到文峰公园有4条路可走。从小华家到文峰公园,有几种不同的走法?【思路导航】为了帮助理解题意,我们可以画出如下示意图。(2)(3)(5)(6)(7)(4)我们把小华的不同走法一一列举如下:(1)小华家学校文峰公园第一种走法:家(1)到学校(4)到文峰公园第二种走法:家(1)到学校(5)到文峰公园第三种走法:家(1)到学校(6)到文峰公园第四种走法:家(1)到学校(7)到文峰公园第五种走法:家(2)到学校(4)到文峰公园第六种走法:家(2)到学校(5)到文峰公园第七种走法:家(2)到学校(6)到文峰公园第八种走法:家(2)到学校(7)到文峰公园第九种走法:家(3)到学校(4)到文峰公园第十种走法:家(3)到学校(5)到文峰公园第十一种走法:家(3)到学校(6)到文峰公园第十二种走法:家(3)到学校(7)到文峰公园根据列举可知,从小明家经学校到文峰公园,走①路有4种不同走法,走②路有4种不同走法,走③路也有4种不同走法,共有4×3=12种不同走法。解:4×3=12(种)答:一共有12种走法。练习1:1.从甲地到乙地,有3条公路直达,从乙地到丙地有2条铁路直达。从甲地到丙地有多少种不同走法?2.新华书店有3种不同的英语书,4种不同的数学读物销售。小明想买一种英语书和一种数学读物,共有多少种不同买法?3.明明有2件不同的上衣,3条不同的裤子,4双不同的鞋子。最多可搭配成多少种不同的装束?【例题2】用红、绿、黄三种信号灯组成一种信号,可以组成多少种不同的信号?【思路导航】要使信号不同,要求每一种信号颜色的顺序不同,我们可以把这些信号进行列举。可以看出,红色信号灯排在第一个位臵时,有两种不同的信号,绿色信号灯排在第一个位臵时,也有两种不同的信号,黄色信号灯排在第一个位臵时,也有两种不同的信号,因而共有3个2种不同排列方法,即2×3=6种。红绿黄绿红黄黄红绿红黄绿绿黄红黄绿红练习2:1.用红、黄、蓝三种颜色涂圆圈,每个圆圈涂一种颜色,一共有多少种不同的涂法?○○○2.用数字1、2、3.可以组成多少个不同的三位数?分别是哪几个数?3.用2、3、5、7四个数字,可以组成多少个不同的四位数?【例题3】一个长方形的周长是22米,如果它的长和宽都是整米数,那么这个长方形的面积有多少种可能?【思路导航】由于长方形的周长是22米,可知它的长与宽之和为11米。下面列举出符合这个条件的各种长方形:长(米)109876宽(米)12345面积(平方米)1018242830练习3:1.一个长方形的周长是30厘米,如果它的长和宽都是整厘米数,那么这个长方形的面积有多少种可能值?2.把15个玻璃球分成数量不同的4堆,共有多少种不同的分法?3.3个自然数的乘积是18,问由这样的3个数所组成的数组有多少个?如(1.2.9)就是其中的一个,而且数组中数字相同但顺序不同的算作同一数组,如(1.2.9)和(2.9,1)是同一数组。【例题4】有4位小朋友,寒假中互相通一次电话,他们一共打了多少次电话?思路导航:把4个小朋友分别编号:A、B、C、D,A与其他小朋友打电话,应该打3次,同样B小朋友也应打3次电话,同样C、D应该各打3次电话。4个小朋友,共打了3×4=12次。但题目要求两个小朋友之间只要通一次电话,那么A打电话给B时,A、B两人已经通过话了,所以B没有必要再打电话给A,照这样计算,12次电话中,有一半是重复计算的,所以实际打电话的次数是3×4÷2=6次。练习4:1.6个小队进行排球比赛,每两队比赛一场,共要进行多少次比赛?2.有8位小朋友,要互通一次电话,他们一共打了多少次电话?3.小芳出席由19人参加的联欢会,散会后,每两人都要握一次手,他们一共握了多少次手?【例题5】一条铁路,共有10个车站,如果每个起点站到终点站只用一种车票(中间至少相隔5个车站),那么这样的车票共有多少种?思路导航:我们可以利用列举的方法:12345678910如果起点站是1.那么终点站只能是7、8、9或10;如果起站站是2.那么终点站只能是8、9或10;如果起点站是3.那么终点站只能是9或10;如果起点站是4,终点站只能是10;如果起点站是5、6时,就找不到与它至少相隔5站的终点站了;如果起点站是7,终点站只能是1;如果起点站是8,那么终点站是2或1;如果起点站是9,那么终点站是3、2或1;如果起点站是10,那么终点站是4、3、2或1。所以,起点到终点至少相隔5个车站的车票有:解:4+3+2+1+0+0+1+2+3+4=20种。练习5:1.上海、北京、天津三个城市分别设有一个飞机场,它们之间通航一共需要多少种不同的机票?2.一条公路上,共有8个站点。如果每个起点到终点只用一种车票(中间至少相隔3个车站),那么共有多少种不同的车票?3.在长江的某一航线上共有6个码头,如果每个起点终点只许用一种船票(中间至少要相隔2个码头),那么这样的船票共有多少种?

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