零点存在定理的教案

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教案课题:零点存在定理授课人:一、内容及内容解析:本章位于全书的第3章,零点主要是解决方程求解的问题,应用函数思想的方法,把方程与函数相结合,它在较难方程的求根方面有巨大的贡献,而零点存在定理能确定零点的存在范围,从而近似的确定零点的值,也即方程的近似根.各个内容之间的联系:方程的根零点零点存在定理二分法二、三维目标:知识与技能:会使用零点存在定理解决问题,准确确定根的范围,并且使用二分法找到相应方程的近似解.过程与方法:通过分析零点附近的值的关系,得到0)()(bfaf的特点,并且通过辨析引出定理,得到定理后,还要针对定理中的每一项进行辨析,得知定理中的每一项必不可少.通过定理我们知道了零点存在的区间,为了得到零点的值我们又引入了二分法,从而能近似的求解出零点.情感态度价值观:让学生了解到每一点数学知识都是环环相扣的,并初步体会到函数思想的巧妙转化,感受到方程与函数的联系,并且得出另一种解方程的方法,让学生体会到数学教学的巧妙之处和知识与知识的紧密联系.三、教学难点与重点:[难点]二分法的使用及对定理的理解.[重点]定理的使用及求解方程的近似根.四、设计教学上节课我们学习了零点的定义,所以我们知道了如果画出了函数图像,我们就能知道函数是不是有零点,那么如果有些方程的相应函数我们不会画图像怎么办?我们还能知道函数有没有零点吗?通过今天的学习,我们就可以不画图像直接知道函数是否有零点.1、引入定理通过之前的例题,我们知道函数的零点可能有若干个,为了使问题简化,我们首先考虑函数只有一个零点的情况.请大家思考:若函数y=f(x)是连续不断的函数,且有一个零点,则函数零点两端的函数值有何特征?因为函数只有一个零点,所以函数图象与x轴只有一个交点。那函数图象与x轴会有哪些位置关系呢?不难想到(无非是两种情况):一种为函数图象不穿过x轴;另一种是函数图象穿过x轴。(1)大家先看第一种情况,函数零点附近函数值有何特征呢?(同学回答)这种情况下,零点附近函数值同号。那我在零点两端各选一个代表a,b,则它们对应的函数值f(a)、f(b)的乘积大于0;(2)我们再看另一种情况,此时零点附近函数值有何特征呢?(图像在PPT上显示动画过程,让学生观察出图像穿过x轴的过程,然后知道零点附近的值相反.)无论怎么穿过,都有零点左右函数值异号,同样,我在零点两端各选一个代表a,b,则它们对应的函数值f(a)、f(b)的乘积就小于0.【分析】(1)如果函数的图象是连续不断的一条曲线,满足f(a)f(b)0,那么函数在区间(a,b)内一定有零点吗?①(不一定)那好,你能给大家举一个反例吗?②(一定)好,你先请坐。其他同学有不同意见么?如果函数有零点,说明函数图象一定与x轴有交点。条件告诉我们f(a)f(b)0,那我不妨设f(a)、f(b)同时为正,大家请看,通过这两个点的函数图象一定能与x轴有交点么?显然是不一定的,比如我举的这个反例。这就说明满足这样条件的函数,不能确定函数一定有零点。(2)如果函数的图象是连续不断的一条曲线,满足f(a)f(b)0,那我就不妨设f(a)小于0,f(b)大于0,那么函数在区间(a,b)内一定有零点吗?大家可以在纸上画一画,试试看。①(一定)好,那其他同学呢?都同意他的观点吗?②(不一定)你能为大家说明一下你的理由么?由于函数的图象是连续不断的,并且端点函数值异号,所以无论怎么画,函数图象一定会与x轴有交点,从而说明函数怎么样?——一定有零点!这样,我们就得到了判断函数是否有零点的方法,即函数零点存在性定理:2、零点存在定理若函数y=f(x)的图象在区间[a,b]上是连续不断的一条曲线,且有f(a)f(b)0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点。即:存在实数c属于(a,b),使得f(c)=0,其中c为方程f(x)=0的根。现在我有一个问题:若函数满足在[a,b]上有f(a)f(b)0,一定能推出(a,b)之间有零点吗?(思考)如果可以请说明理由,不能的话请同学们举个反例.在这个反例中,f(a)0,f(b)0,f(0)=0.5我们来看,这个定理是我们通过结合函数图象探究而得的,而至于它的严格证明,需要到大学阶段再去研究。这样,我们通过引入函数的零点,将方程与函数建立起了联系,并且为我们提供了一种新的解决方程问题的途径。此前我们学习过的一元一次方程以及一元二次方程都有公式解,但是对于高次方程、超越方程等其他形式的方程而言,通常没有求根公式。而通过函数零点存在性定理,就可以去研究这样一般形式方程根的问题了。【例】求函数62ln)(xxxf的零点个数.【解析】因为,0)3(,0)2(ff所以在)3,2(之间有零点,又因为函数f(x)在),0(上是单调递增的,所以这个函数只有一个零点.根据零点存在定理,我们知道函数是否有零点,但是如果我们想知道零点的值怎么办呢?接下来,我们要学习一个新的求根方法-----二分法.3、二分法(求根的近似值)我们就以上面的例子来研究,即如何求62ln)(xxxf的零点呢?一个最直观的想法就是:如果我们把零点存在的范围)3,2(尽量缩小,那么在一定的精确范围内,我们就可以得到零点的近似值.那我们如何缩小范围呢?显然最简单、最可行的方法就是“取中点”.接下来,我们解答上面的例子来看看二分法是如何运用的.【解析】应用零点存在定理,我们知道了62ln)(xxxf在)3,2(之间有一个零点.接下来我们要用“取中点”的方法缩小零点存在的范围.取)3,2(的中点2.5,用计算器计算0084.0)5.2(f,而0)3(f,那么0)3()5.2(ff,所以在)3,5.2(之间有零点,即缩小了零点所在的范围.再取区间)3,5.2(的中点2.75,用计算器计算0512.0)75.2(f,而0)5.2(f,即:0)75.2()5.2(ff,所以在)75.2,5.2(之间有零点.我们可以看出零点存在的范围越来越小了,如果一直取下去,零点存在的范围会越来越小,这样,在一定的精确度下,我们就可以在有限次重复步骤之后,将所得的零点存在的区间内任意一点作为函数零点的近似值.我们把上面例题缩小区间的过程画在表格中:如果当精确度为0.01时,由于|2.5390625-2.53125|=0.00781250.01,所以我们可以将2.532作为函数62ln)(xxxf的零点近似值,也即方程062lnxx的近似根.通过这道例题,我们总结一下使用二分法求近似根(给定精确度)的步骤:1、确定区间[a,b],验证0)()(bfaf,给定精确度;2、求区间1),(xba的中点;3、计算的值;)(1xf(1)就是函数的零点;则若11,0)(xxf(2)),(,,0)()(1011xaxxbxfaf此时零点则令若;(3)).,(,,0)()(1011bxxxabfxf此时零点则令若4、判断是否达到精确度:即若||ba,则零点的近似值是a(或b);否则重复2-4步.【课堂练习】1、借助计算器,用二分法求方程xxlg3在区间(2,3)的近似解.(精确到0.01)2、借助计算器,用二分法求函数xxxf2ln)(在区间(2,3)内的零点.(精确到0.1)【作业】.43P1096431108P、,和、、、,

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