零点对二阶系统的影响

摘要：由于实际工作中对高阶系统的研究常常是将其降为二阶系统，因此分析二阶系统的单位阶跃响应，对于研究自动控制系统的暂态特性具有重要意义。大多数高阶系统中含有一对闭环主导极点，则该系统的动态响应就可以近似的用这对主导极点所描述的二阶系统来表达。本文将从根轨迹和频率特性两方面，对增加一闭环零点对二阶系统单位阶跃响应的影响。并探究了不同位置下闭环零点对系统的不同影响。关键词：闭环零点二阶系统根轨迹频率特性0章引言二阶系统是工程中常用到的系统，不仅仅是研究二阶系统本身，而且研究高阶系统也是将其化为二阶系统，因此二阶系统是个非常重要的系统。实际工程中欠阻尼二阶系统是最常用的，可以看成是稳定的系统，因此分析欠阻尼系统具有实际意义。二阶系统的单位阶跃响应最能反映二阶系统的本质特性。在实际生产中，二阶系统要满足工程最佳参数，而通过改变开环放大系数的方法会增大系统的稳态误差，为了满足这一要求的同时还能保证系统稳态的精度，常用设置零点的方法来做到。本文就是对闭环零点对二阶系统影响做了描述。1章二阶系统简单描述一个系统的阶次是由其最简闭环传递函数分母S的最高次项决定的。二阶系统就是S的最高次项为2的闭环传递函数所对应的系统典型。简单来说就是由二阶微分方程描述的系统就叫做二阶系统。二阶系统结构图见图1图1由图可知二阶系统开环传递函数为：二阶系统闭环传递函数为：在没有零点时，二阶系统的根轨迹，ζ及ωn为定值随着K值的增大，θ角也不断增大，由于，，，，（注公式）所以ζ一直在减小，导致上升时间增长，但调节时间增长，超调量增大，系统的平稳性降低。2章具有零点的二阶系统的根轨迹分析2.1增加零点对二阶系统的影响零点的二阶系统结构图见图2：具有零点的二阶系统的传递函数为：具有零点的二阶系统的开环传递函数为：当0kk1时，系统处于过阻尼状态，随着k的增大，θ角也不断增大，导致ζ在减小超调量在不断增大，调节时间保持不变，上升时间减少。当k=k1时，一对极点会合于实轴系统工作于系统处于临界阻尼状态,ζ=1，没有超调。当k1kk3时，系统处于欠阻尼状态k1kk2，随着k的增大，θ角也不断增大，导致ζ在减小，超调量在不断增大，调节时间在减小，上升时间在减小。K=k2时，θ取得最大值，ζ取得最小值。K2kk3，k随着k值的不断增大，θ在逐渐减小，ζ在逐渐增大，超调量在减小，调节时间在减小。当k=k3时，一对极点会合于实轴系统工作于系统处于临界阻尼状态,ζ=1，没有超调。当kk3时，系统处于过阻尼工作状态，随着k的不断增大系统的响应速度会越来越快。2.2零点位置的不同对二阶系统的影响在有不同零点时，二阶系统的根轨迹情况：同样保持ζ及ωn为定值（ζ=0.7ωn=1）增加的零点分别为Z1=1，及Z1=100。注释：图中蓝色及***的直线代表没有零点时的情况，橙色及紫色小圆曲线代表的是零点为-1时的根轨迹，红色及绿色的大圆曲线代表的是零点为-100时的根轨迹。现以零点为-1的根轨迹进行说明如图4所示：在θ角不变的情况下，随着ωn增大，极点将沿矢量方向延伸，于是它的实部和虚部都增大。是表征指数衰减的系数，它决定系统的系统调节时间。增大会加快系统的响应速度，而增，会增大系统的阻尼振荡角频率，其结果将促使系统以较快的速度达到稳定工作状态。在ωn不变的情况下，随着θ角的逐渐增大，系统的的超调量会一直增大，尤其是在没有零点的情况下，当θ角趋于90度时，ζ=0，会有一对复极点，分别到达虚轴，出现共轭虚根系统呈等幅震荡。如果闭环系统有两个负实极点-R1和-R2，那么单位阶跃响应是指数型。如果两个是实极点相距较远，则动态过程主要取决于离虚轴近的极点。一般R2≥5R1时，可忽略极点-R2的影响。如果增加的零点离虚轴太远时，那么它的衰减速度会很快，，响应速度也很快，那么对于系统的影响取决于离虚轴较近的零点。如果二阶开环系统没有零点，特征根靠近虚轴，动态品质指标较差；如果引进增加零点，则根轨迹随着k值的增大，将沿圆弧向左变化，之后会使系统的稳定性提高了，调节速度更加，动态指标得到显著改善。3二阶系统的频率特性3.1无零点的二阶系统频率特性振荡环节的传递函数为式中：T——时间常数；ζ——阻尼比,0≤ζ≤1；幅频特性为相频特性为图中为振荡环节的伯德图：以ωn=1，ζ=0.7为例幅值裕量=InfdB,相位裕量=Inf度。相位裕量反应的是系统的稳定性，而穿越频率ωc反应系统的快速性。对于稳定的最小相位系统，为使系统有满意的性能，相位裕度应在30度到60度之间，而增必要增加零点改变相位裕量和幅值裕量。3.2增加零点的二阶系统当增加零点后同样保持ζ及ωn为定值（ζ=0.7ωn=1）未加零点前为（data1）,增加的零点分别为Z1=1（data2），及Z1=100(data3)。-Z1=-1时幅值余量=-0.91515dB,相位裕量=7.7057度。-Z1=-100时幅值余量=-0.087296dB,相位裕量=0.79845度。从图中可以读出以下信息：由于增加了零点，系统的相位裕度增大，是系统更加稳定，同时也使得系统更加平稳。对于都增加了零点，由于所加零点距离虚轴的远近，对系统产生的影响是不相同的。离虚轴越近的零点对系统的影响也就越大。反之，离系统越远，对系统的影响也在逐渐减小。有零点的二阶系统，穿越频率越大系统的响应速度就越快。由于与存在以下关系随着的增大，也逐渐增大，并且每增大0.1，则增加10度。所以增大，也在跟着变大，又由于，所以超调量随的增大而逐渐减小。