实验-6-投篮的出手角度问题

实验6投篮的出手角度问题6.1实验问题篮球比赛中，比赛队员投篮命中率对于本队的取胜起着决定性作用。实践表明，影响投篮命中率有两个关键因素：出手角度和出手速度。在各种投篮方式中，罚球投篮（简称罚球）是最简单同时也是很重要的投篮方式。假设罚球时不考虑球出手后球自身的旋转及球碰蓝板或蓝框的情况，且篮球的中心到蓝框中心的水平距离为4.60m,蓝框中心的高度为3.05m，球的直径为24.6cm，蓝框直径为45.0cm，篮球运动员出手的高度为1.8~2.1m，出手速度为8.0~9.0m/s，请研究在此的情况下，怎样罚球才能命中率高。6.2符号说明L:篮球的中心到蓝框中心的水平距离,单位为米（m），这里L=4.60mH:蓝框中心的高度,单位为米（m），这里H=3.05md:球的直径,单位为厘米（cm），这里d=24.6cmD:蓝框直径,单位为厘米（cm），这里D=45.0cmh:篮球运动员出手的高度,单位为米（m），这里h=1.8~2.1mv:投篮出手速度,单位为米/秒（m/s），这里v=8.0~9.0m/sg：重力加速度，单位为米/秒2，这里取g=9.8m/s2α:投篮出手角度β：球入蓝框的入射角度Δx：球入蓝框时球心可以偏离（前后）的最大距离，单位为厘米（cm）。6.3问题分析按照由简到繁的方式，这里依次研究如下问题：1．不考虑篮球和球框的大小，将篮球和球框看作在其中心处的一个点，即用球心和框心代替代替篮球和蓝框，讨论球心命中框心且球入框的条件。2．考虑篮球和球框的大小，讨论球心命中框心且球入框的条件。3．在球心可以前后偏离框心时球入蓝框的条件下，讨论出手角度允许的最大偏差和出手速度允许的最大偏差；4．考虑在有空气阻力的影响条件下，讨论球心命中框心的条件5．用具体的计算结果给出提高命中率的指示6.4建模与求解1．不考虑篮球和球框的大小，忽略空气阻力的影响取球没出手时球心O为坐标系原点，x轴为水平方向，y轴为竖直方向建立如下坐标系于是球的运动可以看作一个质点的斜抛运动，设坐标（x(t),y(t)）是在球出手t时刻后将球心的坐标，由假设，可以得到如下运动参数方程：)1(2sin)(cos)(2⎪⎩⎪⎨⎧-⋅=⋅=gttvtytvtxaa在方程（1）中消去参数t，可以得到球心的运动轨迹为抛物线：aa222cos2tanvgxxy-=（2）如果球心命中框心，则有点（L,H-h）满足式（2），于是用x=L,y=H-h代入(2)有aa222cos2tanvgLLhH-=-（3）利用关系式sec2α=tan2α+1，将方程（3）化简为：0)(2tan2tan22222=--+-hHvgLLvgLaa（4）式（4）是关于tanα的一元二次方程，求出其根，即得到球心命中框心的如下条件：])2(211[tan2222vgLhHvggLv+--±=a（5）式（5）如果有解，应该有0)2(21222≥+--vgLhHvg（6）式（6）可以变为22222222222224)()()()(0))(())((0)(2hHLghHgvhHLghHgvhHLghHgvgLvhHgv-+±-≥⇒-+±≥--⇒≥-+---⇒≥+--因此，可以得出罚球时球心命中框心的出手速度v应该满足])([222hHLhHgv-++-≥（7）对给定出手高度h后，如果式（7）成立严格不等式])([222hHLhHgv-++-由式（5），只要给定出手高度h和出手速度v后，就有两个不同的出手角度α1，α2满足球心命中框心的条件。如果设α1α2，可以看出α1是h和v的增函数。如果式（7）成立等式，显然，此时对应的出手速度为最小出手速度，记为vmin，则有：])([min22hHLhHgv-++-=（8）易知最小出手速度vmin是出手高度h的减函数，且在vmin出手速度下，由式（5），原来的两个出手角度变为一个出手角度α0，它可以由公式gLv20mintan=a（9）算出。此外，为求得球入蓝框时的入射角度β，由函数导数的几何意义，球心的运动轨迹函数（2）在x=L处的导数与入射角度β有如下关系Lxdxdy=-=--=)tan(tanbpb将式（2）对x求导，并将x=L代入，有baatancostan22-=-==vLgdxdyLx整理后有LhH)(2tantan--=ab（10）因此对于出手角度α1，α2，相应就有两个入射角度β1、β2，因为α1α2，所以有β1β2。2.考虑篮球和球框的大小，同样忽略空气阻力的影响由于考虑了篮球的大小，则篮球入射角β受到篮球直径d大小的影响，如果入射角β太小，则球会碰到蓝框导致球不能入框（见图2）。利用三角函数关系容易得出球心命中框心且球入框的条件为Ddbsin(11)在本题给定的篮球直径d和蓝框直径D数据下，容易算出球心命中框心且球入框的入射角β33.1°。此外，通过简单的计算，可以得出球心前后偏离框心的最大距离Δx满足bsin22dDx-=Δ（12）3.出手角度和出手速度的最大偏差记出手角度和出手速度的允许的最大偏差的为Δα和Δv，因为出手角度和出手速度的最大偏差可以看作当罚球点到蓝框的水平方向距离L变为L±Δx引起的偏差，此时蓝框的高度是不发生变化的，于是式（2）可以用方程0tancos2222=-+-hHxvgxaa（13）代替。在式（13）中假设出手速度v不变，α可以看作是x的函数，将式（13）对x求微分，并令x=L代入，有dxgLvLvgLd)tan(cossin22aaaa--=用Δα和Δx代替dα和dx,得到出手角度允许的最大偏差Δα与Δx的关系xgLvLvgLΔ--=Δ)tan(cossin22aaaa（14）类似地，将式（13）中的出手速度v只看成是x的函数，将式（13）对x求微分，并令x=L代入，有得到出手速度的允许的最大偏差Δv与Δx的关系xvgLvgLvΔ-=Δ22cossinaa（15）4.考虑有空气阻力影响的情况这里只考虑水平方向的阻力，不考虑垂直方向的阻力，因为投篮时对球运动的阻力主要体现在水平方向上。通常水平方向的阻力与速度成正比，如果设比例系数为k,则篮球在水平方向上的运动可以由如下微分方程描述：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===+=acos0)0(0022vdtdxxdtdxkdtxdt这是常系数线性微分方程，用高等数学中的特征方程法可以求出它的解acos1)(vketxkt--=于是得到如下球的运动参数方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-⋅=-=-2sin)(cos1)(2gttvtyvketxktaa（16）注意到通常罚球时阻力并不大（阻力系数一般不超过0.05秒-1），而罚球后球的运动时间也很短（大约1秒左右），因此，我们可以把运动方程（16）中的e–kt在t=0处做泰勒展开并略去t的二次幂以上的项，就可以得到更为简洁的运动方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-⋅=⋅-⋅=2sin)(2coscos)(22gttvtytkvtvtxaaa（17）将此式与式（1）相比，可以看到阻力对x(t)的影响因子为(1-kt/2),因为k=0.05,t≈1，因此有阻力对命中率的影响约为0.05/2≤3%。此外，如果不考虑篮球和蓝框的大小，就有球心命中框心的条件为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--⋅=-⋅-⋅02sin02coscos22hHgttvLtkvtvaaa5.计算结果与分析为了得到关于最小出手速度和出手角度的计算结果，取在出手高度h=1.8~2.1(m)下，由式（8）和（9）编程计算出最小出手速度和相应的最小出手角度，程序为：H=3.05;l=4.60;Do[v=9.8*(H-h+Sqrt[l^2+(H-h)^2]);a0=ArcTan[v/9.8/l]*180/Pi//N;v=Sqrt[v];Print[h=,h,vmin=,v,a0=,a0],{h,1.8,2.1,0.1}]执行的计算结果为h=1.8vmin=7.67885a0=52.6012h=1.9vmin=7.59851a0=52.0181h=2.vmin=7.51861a0=51.429h=2.1vmin=7.43917a0=50.8344这里出手角度a0的单位为度，出手高度h的单位为米，速度单位为米/秒。这个计算结果说明最少出手速度和相应的最小出手角度都是随着出手高度的增加而有所减少，而出手速度一般不要小于8m/s。为了得到出手速度和出手高度对出手角度的计算结果，取出手速度v=8.0~9.0(m/s)和出手高度h=1.8~2.1(m)下，由式（5）和（10）编程计算出手角度α1和α2及对应的入射角度β1和β2，程序为：H=3.05;l=4.60;Do[v2=v^2;at=Sqrt[1-2*9.8*(H-h+9.8*l^2/(2v2))/v2];a1=v2*(1+at)/9.8/l;a2=v2*(1-at)/9.8/l;b1=a1-2*(H-h)/l;b2=a2-2*(H-h)/l;a1=ArcTan[a1]*180/Pi//N;a2=ArcTan[a2]*180/Pi//N;b1=ArcTan[b1]*180/Pi//N;b2=ArcTan[b2]*180/Pi//N;Print[v=,v,h=,h];Print[a1=,a1,a2=,a2,b1=,b1,b2=,b2],{v,8.0,9.0,0.5},{h,1.8,2.1,0.1}]执行的计算结果为v=8.h=1.8a1=62.4099a2=42.7925b1=53.8763b2=20.9213v=8.h=1.9a1=63.1174a2=40.9188b1=55.8206b2=20.1431v=8.h=2.a1=63.7281a2=39.13b1=57.4941b2=19.6478v=8.h=2.1a1=64.267a2=37.4017b1=58.9615b2=19.3698v=8.5h=1.8a1=67.6975a2=37.5049b1=62.1726b2=12.625v=8.5h=1.9a1=68.0288a2=36.0075b1=63.1884b2=12.7753v=8.5h=2.a1=68.3367a2=34.5214b1=64.1179b2=13.024v=8.5h=2.1a1=68.6244a2=33.0444b1=64.9729b2=13.3583v=9.h=1.8a1=71.0697a2=34.1327b1=67.1426b2=7.655v=9.h=1.9a1=71.2749a2=32.7614b1=67.7974b2=8.16635v=9.h=2.a1=71.47a2=31.3881b1=68.4098b2=8.73212v=9.h=2.1a1=71.6561a2=30.0127b1=68.984b2=9.34718这里出手角度a1和a2（对应公式中的α1和α2）及入射角度b1和b2（对应公式中的β1和β2）的单位为度，出手高度h的单位为米，速度单位为米/秒。从这个计算结果可以看出第二个入射角度β2均小于33.1度，它不满足式（11），因此在考虑篮球和蓝框大小时，出手角度只能是α1。此外，计算结果提示我们，在速度一定时，出手高度越大，出手角度应越大，但随着速度的增加，高度对角度的影响变小。高度对角度的影响在1度左右。出手高度一定时，速度越大，出手角度也应越大，速度的影响在7~9度之间。6.5思考与提高1．出手角度α1和α2会小于零吗？β1和β2会小于零吗？2.对出手高度分别为1.8和2.0米、出手速度分别为8.0,8.5,9.0米/秒，怎样编程计算出相应的出手角度允许的最大偏差Δα和相对偏差aaΔ及出手速度允许的最大偏差Δv相对偏差vvΔ?这些计算结果可以说明什么？