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《重叠问题》教学案例衡东城关三小刘丽华【教学内容】人教版小学数学三年级下册第九单元108页【教学目标】1.让学生经历集合图的产生过程，能借助直观图，利用集合的思想方法解决简单的实际问题，体验解决问题策略的多样性。2.使学生在解决实际问题的过程中体会集合的思想方法。3.培养学生善于观察、善于思考，养成良好的学习习惯。【教具、学具准备】课件、皮圈、20个磁片、11同样大小的长方形、两个板书圈【教学过程】一.游戏渗透，初步感知课前谈话：刘老师知道咱班的同学很聪明，特别是学数学善于观察，还善于发现问题和解决问题，并且还有数学小天才呢！想展示一下你们的聪明才智吗？好，请看智力游戏：（课件出示游戏一）两块磁片放入两个圈，每个圈内必须有一块磁片。指名置黑板演示。师：简单吧，再来一个。（课件出示游戏二）4块磁片放入两个圈中，每个圈内必须有2块磁片。指名置黑板演示。师：摆对了吗？看来难不住你们，再来个难一点的，（课件出示游戏三）3块磁片放入两个圈中，每个圈内必须有2块磁片。请一个学生上台演示。师：大家觉的他摆的符合游戏要求吗？生：符合。一共3片磁片，黄圈内有2块磁片，红圈内也有2块磁片。师：他摆的好，你也说的很好！他是怎样实现3块磁片放入两个圈中，每个圈内都有2块磁片的？（想了什么办法？仔细观察两个圈是怎么摆的？）生：交叉重叠放的。师：（竖起大拇指）你真是太聪明了，老师想采访你一个问题，你为什么要这样摆？生：这样摆的话，中间重叠部分里的磁片，既可以看作是黄圈里的，又可以看作是红圈里的。师：说的棒极了！他用了一个很重要的关联词“既……又……”像这样的两个圈交叉重叠，重叠部分的数量既属于其中的一个圈，又属于另一个圈，在数每个圈内的数量时，重叠部分被数了两次，而实际只有一次的数量，这种现象，数学里叫重叠问题，今天我们就来研究重叠问题。（板书课题：重叠问题）评析：简短的智力小游戏不仅把学生领进了一个轻松愉悦的学习时空，同时为韦恩图的探索埋下了很好的伏笔，有效的促进了知识的正迁移。（圆圈就代表着集合圈，磁片就代表着集合圈中的元素）二.创设情境，引发冲突1、出示通知。师：时间过的很快，七一党的生日马上就要到了，让我们一起来看一下，光明小学准备怎样庆祝党的生日。（课件出示通知）师：根据学校的通知要求，每个班一共要选多少人参加这两项比赛？生：（齐）11人！师：怎么算的？生：5+6＝11(人)。（板书算式5+6＝11(人)）师：你们同意这种做法吗？生：同意。师（稍顿）：真同意？生：同意！2、查看原始数据，引发冲突。师：果真是这样吗？（在算式后打问号）请看我从三（１）班记录的参加比赛的学生名单（课件出示两组学生名单），左边这几个同学就是参加书法比赛的那5个人，右边这几个同学就是参加绘画比赛的那6个人。书法比赛绘画比赛师：请仔细观察这份参赛的学生名单，参赛的总人数是11人吗？生：错了。师：怎么会错了呢？再仔细看看，谁来说说？通知为迎接党的生日，学校定于6月29日、30日下午分别举行书法、绘画比赛。要求：每班选5名同学参加书法比赛，6名同学参加绘画比赛。光明小学教导处2010年6月18日陈名王东曹帆刘玲周晓晓曹帆单奇周晓晓李丽朱宇王强李芳生：有重复的。师：你这里的“重复”是什么意思？生1：有的同学参加了两项比赛。生2：有的同学既参加了书法比赛又参加了绘画比赛。师：谁重复了？有几个人重复了？生：曹帆和周晓晓两个人重复了。师：因为有重复的，如果还是直接用5+6怎么样？生：不行了，那样的话曹帆和周晓晓就算了2次了。评析：北宋张载曾说：“有不知，则有知；无不知，则无知。”“于无疑处有疑，方是进矣。”这启迪我们，激起学生内心的疑问是引发学生主动求知的动力源泉。当教师问学生“每个班一共要选多少人参加这两项比赛？”的问题时，学生异口同声地作出了回答，声音响亮、语气肯定。“果真是这样吗？”，随着教师轻轻的一句反问，加上“学生名单”的适时呈现，学生的头脑里跃出一个大大的问号——过去求总数就是直接把各部分的数量加起来的呀，怎么在这里行不通了呢？新情况出现了，遇到新问题了，于是研究“重叠问题”变成了学生源自内心的学习需求。三.合作探究，整理成图师：刚才，我们通过仔细地查看三（1）班参赛的学生名单，发现有2个同学重复了，但是从这份名单中你能一下子就看出是哪2个人重复了吗？（生流露出困难的神情）有难度是吧？师：看来我这样记录不够清楚，大家想想办法，怎样重新设计一下这份名单能让我们看得更清楚一些?（课件出示要求:既要能让人很清楚地看出参加书法比赛的是哪5个人，参加绘画比赛的是哪6个人，又要能让人很明显地看出两项比赛都参加的是哪两个人。）请同学们思考一下（约10秒钟后），大家现在有办法了吗？先不急着说，请把你想到的方法在练习纸上表示出来，行吗？你可以自己画，如果感觉有些困难也可以和你小组内的同学合作完成。2、学生探究画法，师巡视，从中找出有代表性的作品准备交流。3、展示交流。师：我发现咱们班同学的画法很有创意，我从中选了几份，咱们共同来分享一下。我们不让画图的同学自己介绍，只把他们画的图让大家看，我觉得，不用自己介绍就能让别人看懂的方法那才是好方法。评析：这个过程中，我们被教师的语言魅力所感染。没有声嘶力竭的叫喊，没有故作惊人的造作，没有无病装病的呻吟，教师说得随意，学生听得轻松，教师问得精彩，学生答得从容。如“刚才，我们通过仔细地查看三（1）班参赛的学生名单，发现有2个同学重复了，但是从这份名单中你能一下子就看出是哪2个人重复了吗？”“你可以自己画，如果感觉有些困难也可以和你小组内的同学合作完成。”“我们不让画图的同学自己介绍，只把他们画的图让大家看，我觉得，不用自己介绍就能让别人看懂的方法那才是好方法。”随处可见教师语言功底，如清风徐来，波澜不惊。师（作品1）：我们来看这位同学的方法，他这样画的意思谁看懂了?书法比赛绘画比赛曹帆周晓晓曹帆周晓晓陈名王东王强单奇刘玲朱宇李丽生：他把曹帆和周晓晓都放在前面了，我们就能看出是他们俩重复了。师：那你觉得这种画法比刚才我的画法怎么样？生：这样能更清楚地看出谁重复了。师（作品2如下图）：我们再来看这位同学的方法，他这样表示你们觉得怎么样？书法比赛绘画比赛陈名曹帆单奇李丽王东刘玲曹帆王强周晓晓朱宇周晓晓生：他把重复的同学圈出来了，比刚才的方法更清楚。师（作品3如下图）：我们再来看这位同学的表示方法，大家觉得怎么样？书法比赛绘画比赛陈名王东王强单奇刘玲朱宇李丽两项比赛曹帆周晓晓生1：我觉得这种方法很好。能一下子就看出重复参加两项比赛的同学是曹帆和周晓晓。生2:而且重复的两个同学他只写了一次。师：他把参加两项比赛的同学单独放到一个圈里，更清楚了。而且重复的两个同学他只写了一遍，比刚才两边都要写的方法更简便了。可是参加书法比赛的是几个人？生：5个人。师：那为什么圈中只有3个人呀？生：下面那个圈内还有两个同学是两项比赛都参加的，所以他们也是参加书法小组的，加起来就是5个了。师：把参加书法比赛和参加绘画比赛的同学都分到了两个圈里，你觉得这样表示怎么样？清楚吗？生：我觉得还是放在一个圈里比较清楚。师：大家觉得呢？生齐：放在一个圈里更清楚。师：那我们能不能把这种方法改进一下？让参加书法比赛和参加绘画比赛的同学还在一个圈里呢？（学生思考）师请作品3的作者把参加书法比赛的那5个同学用一个圈圈出来，再把参加绘画比赛的那6个同学圈出来，此时出现了不规则的韦恩图“雏形”。书法比赛绘画比赛陈名王东王强单奇刘玲朱宇李丽曹帆周晓晓师：你们觉得这样表示怎么样？生1：这样表示很清楚。生2：我觉得这种方法很好，能一下子就看出参加书法比赛和参加绘画比赛的各是哪些人，还能很清楚地看出两项比赛都参加的是哪两个人。4、揭示韦恩图。师：同学们的表现这么精彩，让我不禁想起了一个人，他就是英国的逻辑学家韦恩，在100多年以前，他第一个想到了这样的图，因此这种图就以他的名字命名叫韦恩图（课件出示韦恩图）。你们真了不起，要是你们比韦恩早出生，或许是用你的名字命名呢！太不简单了，掌声表扬自己。5、整理画法，完成板书。师:下面我们把同学们创造出来的韦恩图搬到黑板上来。用一个圈来表示参加书法比赛的同学，再用一个圈来表示参加绘画比赛的同学（师边说边用红笔和蓝笔画了两个交叉的椭圆），还是两个圈，不同的是这两个圈不是分开的，而是有一部分重叠在一块的，利用两个圈重叠的这一部分我们恰好可以用来表示什么？生：既参加书法比赛又参加绘画比赛的。师：有几个人？是谁？生：曹帆和周晓晓。（板书：既……又……）（师贴两个小长方形表示人名）。评析：教师没有板书学生的姓名，而是用小长方形代替，向学生渗透了符号思想，也为日后进一步优化韦恩图（直接用数字表示）起了重要的“桥梁”作用。师：我们只把参加两项比赛的同学写了一遍，但是参加书法比赛的圈里有了吗？参加绘画比赛的圈里有了吗？这可真是一举——（生答）两得！师：参加书法比赛的除了曹帆和周晓晓。还有几个人？（生：3个人。）应该写在哪里？生：左边。师：（在左边月牙形里画3个小长方形）同是参加书法比赛的5个同学，这3个人与这2个人有什么不同？生：这3个同学是只参加书法比赛的。这两个人不但参加了书法比赛，还参加了绘画比赛。（板书：只……没……）师：那右边月牙形的这一部分表示什么？生：只参加绘画比赛的。（板书：只……没……）师：有几个人？生：4个。师：（在右边月牙形里画4个小长方形）同学们请看，我们只用了简单的两个圈，就清楚地表示出了这么多的信息，韦恩图好不好？韦恩的发明简单不简单？原来发明创造就这么简单！你们可以吗？其实我们每个人都可以有自己的创造！评析：寥寥数语让学生更进一步体会到简单之美！创造之美！数学之美！使学生相信“我们每个人都可以有自己的创造！”从而激发起学生强烈的创造意识！6、深化对韦恩图的认识。师：对于韦恩图各部分表示的意思你都明白吗？请同桌两个同学互相说一说。（学生同伴互说）四.数形结合，算法多样师：现在，你能不能根据韦恩图列算式来解决三（１）班一共有多少人参加了这两项比赛？整理算法：生1：5＋6－2＝9（人）生2：3＋2＋4＝9（人）生3：5－2＋6＝9（人）生4：6－2＋5＝9（人）师：现在我们能用这么多的方法算出三（1）班参加比赛的一共是9个人，是谁帮了我们的大忙啊？生：韦恩图。师：韦恩图确实好吧？评析：荷兰数学家弗赖登塔尔说过：“学习数学的唯一正确方法是实行再创造，也就是由学生把本人要学习的东西自己去发现或创造出来，教师的任务是引导和帮助学生去进行这种再创造工作，而不是把现成的知识灌输给学生。”此话虽有“矫枉过正”之嫌（把“再创造”视为学习数学的唯一正确方法），但他所推崇的“再创造”学习法确实有独特的教育价值。课堂上，教师先明确提出了要达成的学习目标——创造一种新的记录两组学生名单的方法，使其充分体现出重叠问题中信息的特殊性。尽管学生无法在一节课内“创造”出与前辈数学家同样的韦恩图，但他们对“重叠问题”的理解会因为自己的“创造”而变得更加深刻、丰富、灵动。在此基础上，通过教师的稍加点拨，“韦恩图”便浮出了水面！其后学生对韦恩图所表示信息的到位分析和流畅表达，解决课始问题时展现出的多样方法，与经历再创造过程所蓄积的学习智慧是息息相关的。五.开放拓展，优化算法师：刚才我们结合韦恩图计算出了三（1）班的参赛总人数，那光明小学其他的班参赛总人数可能是多少人呢？小组合作，完成表格,有困难可借助学具摆一摆。（每组有两个圈，11个长方形）参加书法比赛的人数参加绘画比赛的人数两项比赛都参加的人数参赛总人数(列式计算)展示汇报。师：还可以是多少人？生1：8人生2：11人生3：6至11人。师：什么情况下是11人？生：没有重复的情况下。师：也就是说我们一开始的做法有没有考虑重复的情况？（板书：无重复）师：至少是多少人？生：6人。师：什么情况下是6人？生：有5人重复了，参加书法比赛的同学全部参加绘画比赛。师（出示一大一小两个圈）：如果用这个小圈来表示参加书法比赛的同学，用这个大圈来表示参加绘画比赛的同学，我这样放表示的是哪种情况？（分开的）生：没有重复的。师：这样呢？（两圈有重叠部分）生：