上半连续和下半连续教案

函数的上、下半连续性一、上、下半连续性的定义设函数fx在集合E上有定义，0xE为E的一个聚点。fx在0x处连续，用语言描述，即：0,0,当0,xExx时，有00fxfxfxA若将此条件减弱，在不等式A中，只使用其中的一个不等式，那么就得到半连续。定义设fx在0x及其附近有定义，所谓fx在0x处上半连续，是指：0,0,当0,xExx时，恒有0fxfx。fx在0x处下半连续，是指：0,0,当0,xExx时，恒有0fxfx。推论fx在0x及其附近有定义，则fx在0x处连续的充要条件是，fx在0x处既上半连续又下半连续。例1Dirichlet函数1,0,\xQDxxRQ①在有理点处上半连续，但不下半连续。②在无理点的情况恰恰相反。例2考虑函数,fxxDxxR。①当0x时，跟Dx的结论一样，②当0x时，跟Dx的结论相反，③当0x时，既上半连续又下半连续，因而在0x处连续。例3Riemann函数1,00,pxqqqRxx当为既约整数，当无理数①在无理点处既上半连续又下半连续。②在有理点处上半连续，但不下半连续。二、上、下半连续性的等价描述定理1设fx在集合E上有定义，0x为E的一个聚点且0xE。则如下断言等价：1、fx在0x处上半连续（即：0,0,当0,xExx时，恒有0fxfx）2、0_____0limxxfxfx3、0:,nnnxxExx，必有_____0limnxfxfx证明：12明显，因0,0,当0,xExx时，有0fxfx对上式取极限，并注意0的任意性，即得2。23由0__________00limmaxlim,nnnnxxnfxfxxExxxx，000limminlim,nnnnxxnfxfxxExxxx直接可得。31（用反证法）设fx在0x处不上半连续，则00110,0,,0nnnnxExxnn，使得00nfxfx。这与已知条件3矛盾。当且仅当fx集合E中处处上（下）半连续时称fx在E中上（下）半连续。定理2设E为闭集，fx在E上有定义，则fx在E中上半连续的充要条件是：,c，集合:FcxEfxc为闭集。证明必要性为了证明Fc为闭集，即要证明0,nnxFcxx，必有0xFc，此时nxE，而E为闭集，所以0xE。要证0xFc，只要证0fxc。事实上，由nxFc知nfxc1,2,n，从而有____limnfxc。因fx在上半连续，根据定理1有00limlimnxxnfxfxfxc充分性（反证法）若fx不在E中上半连续，则至少存在一点0xE，fx在0x不上半连续，即010,,,nnxEn01nxxn，但00nfxfx。取数c，使000fxcfx，于是根据Fc的定义0,nxFcxFc但0nxx（当n），F为闭集，应有0xFc矛盾，证毕。注（1）上半连续与下半连续是对偶的概念。一方有什么结论，另一方也有相应的结论。定理2的对偶结论留给学生做为习题。（2）定理2给出了半连续的又一等价形式，其中未用语言，只用了闭集的概念。这为半连续推广到一般拓扑空间，作了准备。三、上、下半连续的性质1、运算性质定理3（1）若在,ab，函数fx,gx上、下半连续，则它们的和fxgx亦在,ab中上、下半连续。（2）若在,ab上fx上下半连续，则-fx在,ab中为下、上半连续。（3）若在,ab上，函数fx及gx0，且上半连续（或fx及gx0，且下半连续）则它们的积fx·gx在,ab上为上半连续。若fx0上、下半连续，gx0为下（上）半连续，则fx·gx下（上）半连续。（4）若在,ab上，fx0上（下）半连续，则1fx在,ab上为下（上）半连续。这里只对（1）中上半连续的情况进行证明，证法1（利用半连续的定义）因fx,gx上半连续，0,,0,0,xab当0,,xxxab时有00,22fxfxgxgx所以00fxgxfxgx故fxgx在,ab上上半连续。证法2（利用上半连续的等价描述）因fx,gx在,ab中上半连续，0,xab有00__________00lim,limxxxxfxfxgxgx（定理1）但000_______________00limlimlimxxxxxxfxgxfxgxfxgx故fxgx在,ab中上半连续。2、保号性上半连续函数有局部保负性（即：若fx在0x处上半连续，0fx0，则0，使得00,xxx时有fx0）。同样，下半连续函数有局部保正性，这些由定义直接可得。3、无介值性半连续函数，介值定理不成立。例如：11,0210,12xfxx当当在0,1上fx是上半连续的，但0,11,0aff，无0,1x使得fx=a。4、关于fx的界定理4有界闭区间上的上半连续函数，必有上界，且达到上确界，具体来说，若fx在,ab上上半连续，则（1）fx在,ab上有上界（0M使fx,,Mxab）。（2）fx在,ab上达到上确界（即0,xab使得0,supxabfxfx）证明先证明（1）（反证法）若fx无界，则,nxab，使得1,2nfxnn由致密性原理，在nx中存在收敛的子序列knx，使0knxx（当k）。因,ab为闭的，故0,xab，但knkfxn，当k时，knfx，所以0_____limxxfx。但fx在,ab上上半连续，应有0_____0limxxfxfx，故0fx=+矛盾。下证（2）因fx上有界，supxEfxM，若fx在,ab上达不到上确界，则,,,0xabfxMMfx所以1Mfx在,ab上上半连续（定理3），从而有上界，即0,M使,xab有1MMfx即：1fxMM这与supxEMfx矛盾。证法2利用有限覆盖定理进行证明。思考题：对于下半连续相应的定理如何叙述？若把闭区间改为任意的闭集合，结论是否正确。事实上，上面的定理4可做如下推广。定理：假定X为紧集，f是上半连续的，则f在X上必有最大值。证明：因f是上半连续的实值函数故Xx1，)(xf必在1x的某一邻域)(1xN内有上界，故Xx1，)(xf必在1x的某一邻域)(1xN内有上确界，设)(xf在1x的邻域)(1xN内的上确界为1xM构造邻域簇....}3,2,1),({ixNi，显然)(iixNX而由条件X为紧集，故存在自然数k使得：)(1ikixNX用ixM分别表示)(xf在)(ixN中的上确界，其中ki,...3,2,1令}......,max{21kxxxMMMM显然M必为)(xf在X上的最大值。定理5若函数fx在,ab内半连续，则必存在内闭区间,,ab，使fx在,上保持有界。证：以下半连续为例进行证明。设fx在,ab内下半连续，来证,,ab使得fx在,上有界，用反证法，设,,ab，fx总在,上无上界，于是：1、1,xab使得11fx，因fx下半连续，故10（不妨令112），使得11111,,xxab且1x有1fx2、因fx在任何内闭区间上无上界，所以对1，21x使得22fx进而由fx的下半连续性，知20（不妨令2212）使得222221,xxx时，有2fx。3、如此继续下去，我们得到一串闭区间：123n，区间长2202nnn（当n时）且在每个区间n上，恒有fxn。4、根据区间套定理1,2nn。因此f，矛盾。我们已经知道，连续函数单调序列的极限不一定是连续的。例如nnfxx在0,1上连续，当n增加时单调下降有极限1,10,01xfxx但极限函数fx在0,1上不连续。定理6（保半连续性）设函数nfx在E上有定义，且上半连续1,2,nnfxfx，即：121nnfxfxfxfxxE且limnnfxfx。则fx在E上上半连续。证明（我们的任务在于证明：0,0,0xE，当0,xExx时有0fxfx）1、0xE，因00limnnfxfx，所以0，0N，当nN时有00nfxfx2、将n固定，因nfx在E上上半连续，所以0，当0,xExx时有0nfxfx。3、又nfxfx，nfxfx，故更有0fxfx这就证明了fx在E上上半连续。下面，我们提出相反的问题：是否半连续函数一定可以作为连续函数的单调极限呢？回答是肯定的。定理7设fx在,ab上有定义，且上半连续，则存在一个递减的连续函数序列121nfxfxfx使得limnnfxfx（即：上半连续函数，总可用连续函数从上方逼近）证明首先构造函数序列nfx，然后证明nfx连续，，有下界，从而limnnfxx存在记为g，然后证明gxfx。1、构造（nfx）对于固定的x与n，函数nxx是x的连续函数，所以上半连续，已知fx是上半连续的，fxnxx是x的上半连续函数（定理3），从而在,ab上有上界，且达到上确界（定理4），即*,xab使得**,maxxabfxnxxfxnxx（1）（注意*x实际与,nx有关，**nxxx）今定义,maxnxabfxfxnxx（2）下面证明nf满足各项要求。2(证明nfx连续）由（1）、（2）式知*,,nfxfxnxxfxnxxxab（3）从而****nnnnnnfxfxxnxxxfxxnxxxnxxfxnxx所以nnfxfxnxx此式对任意的,,xxab都成立，x，x互换也成立，因而得nnfxfxnxx此式表明nfx在,ab上连续。3、（证明nf）设mn，则**nmmfxfxxnxxx（由式