青岛科技大学高数试卷)09-10高数A(下)B卷

2009/20102高等数学A（下）（B卷）数理学院陈宁机自、测控、热能、应物等专业彭翠英（答案写在答题纸上，写在试题纸上无效）一、填空题（每小题3分，共15分）1．已知向量)4,1,3(a，向量)2,0,1(b，则ba.2．设xyz，则)1,1(dz.3．设积分曲线L为422yx，则曲线积分Lds2.4．已知bxdyaydx为某一函数),(yxf的全微分，则a与b的关系是.5.交换积分次序220),(xdyyxfdx.二、选择题（每小题3分，共15分）1．方程组14222zyx在空间表示（）()A圆()B椭圆()C椭圆柱面()D两条直线2．设)(xf为周期为2的函数，它在区间](，上定义为xxxxxf0,20,)(，则)(xf的傅立叶级数在2x处收敛于.()A0()B2()C3()D43．极限2200limyxxyyx.（A）=0(B)21(C)不存在(D)以上都不对4．将Ddxdyyxf),(化为极坐标系下的二次积分为，其中D为直线1,3,xxyxy所围成的三角形区域.(A)sin1034)sin,cos(rdrrrfd（B）sin1034)sin,cos(drrrfd课程考试试题学期学年拟题人:校对人:拟题学院（系）:适用专业:（C）cos1034)sin,cos(drrrfd（D）cos1034)sin,cos(rdrrrfd5．级数111nnn）（（）.()A发散()B条件收敛()C绝对收敛()D以上均不是三、（共21分）1、（7分）设)ln(22yxz，求yxzyzxz2,,.2、（7分）计算二重积分dxdyyxD，其中D是由2yx与yx所围成的闭区域。3、（7分）利用高斯公式计算曲面积分dxdyzydzdxxdydz)1(，其中是圆柱体)0(222hzayx的全表面的外侧。四、（共21分）1、（7分）利用格林公式计算Ldyyxdxyx)()(，其中L沿逆时针方向绕圆122yx一周.2、（7分）求锥面22yxz被柱面xz22所割下部分的曲面面积.3、（7分）设yzxu2，求：（1）函数u的梯度gradu；（2）u在点)1,1,2(M处沿（1,1,1）方向的方向导数.五、（共16分）1、（8分）求幂级数11nnnx的收敛半径、收敛域及和函数。2、（8分）求曲面0582zxxyx在点)1,3,2(处的切平面方程与法线方程。六、（共12分）1、（6分）判别级数1)133(nnnn的敛散性2、（6分）证明：函数)(2xyfxzn满足方程nzyzyxzx2，其中f可微.2009-2010学年2学期高等数学（A）（下）B卷试题标准答案一、填空题：（每小题3分，共15分）1.5；2.dydx；3.8；4.ba；5.ydxyxfdy020),(；二、选择题：（每小题3分，共15分）1).B2).A3).C4).D5).B三、（共21分）1.解：222yxxxz,222yxyyz----------------------4分)(4222yxxyyxz-------------------------------7分2.解：两曲线交点为（0,0），（1,1）------------------------------------------2分原式yyxdxdyy210------------------------------------------5分556)(21291023dyyy--------------------------------------------------------7分3．解：由题意知:1,,zRyQxP,3zRyQxP-------------2分根据高斯公式，得dxdyzydzdxxdydz)1(dxdydzzRyQxP)(------------4分dxdydz3ha23--------------------------------7分四、（共21分）1、解：由题意知:）（yxQyxP,,2yPxQ-------------2分由Green公式知:原式=dxdyyPxQD)(--------------------------4分22Ddxdy-------------------------------------7分2、解：面积dSS--------------------------------------2分曲面在xoy面的投影域D:1)1(22yx--------------------------4分DDdxdydxdyyxyyxxdSS21222222------6分2--------------------------7分3、解：（1）),,2(),,(22yxzxxyzzuyuxugradu----------------3分（2）)4,4,4()1,1,2(gradu，)1,1,1(31le------------------------5分34)1,1,1(31)4,4,4()1,1,2(lu-------------------------7分五、（共16分）1、解：11limlim1nnaaRnnnn，收敛半径为1----------------2分当1x时，级数发散，收敛域为（-1，1）----------------4分设幂级数在区间（-1，1）内的和函数为()sx，则)()()(1111nnnnnnxxnxxs-------------------------------6分)1,1[,)1(1)1(2xxxx-------------------8分2、解：曲平面的法向量为：)1,2,1()1,,82(xyxn，--------------------------4分切平面方程为0)1()3(2)2(zyx，整理得052zyx---------------------------6分法线方程为112312zyx-----------------------8分六、（共12分）1、证明：（1）nnnnnnn)1311(lim)133(lim------2分0)1311(lim31)13()13(ennnnn--------------5分根据级数收敛的必要条件，知原级数发散。---------------6分