《变化率与导数》优质课比赛课件

函数是高中数学的主干内容，导数作为选修内容引入新课程，为研究函数提供了有力的工具，对函数的单调性、极值、最值等问题都得到了有效而彻底的解决.用导数方法研究函数问题是数学学习的必然也是高考命题的方向.而本节课是学习导数的第一课时，俗话说，万事开头难，这个头开好了，能为今后的深入学习和探究打下良好的知识基础和心理基础.导数是如何定义的？变化率与导数问题1气球膨胀率在吹气球的过程中,可发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度,如何描述这种现象呢?结论：随着气球体积逐渐变大,它的平均膨胀率逐渐变小.(1)(0)0.62(dm/L),10rr当v由01时，气球的平均变化率：(2)(1)120.16(dm/L)21rrv当由时，气球的品均变化率：3343VV()(V).34rrr由气球体积（一）平均变化率2121()()rVrVVV思考：当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?问题2高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系如果用运动员在某段时间内的平均速度描述其运动状态,那么:v在0≤t≤0.5这段时间里,在1≤t≤2这段时间里,);m/s(05.405.0)0()5.0(hhv);m/s(2.812)1()2(hhv2()4.96.510httt问题2.平均速度.思考：求t1到t2时的平均速度．2121()()StStvtt平均变化率令Δx=x2–x1,Δf=f(x2)–f(x1),则211121()()()()fxfxfxxfxfxxxx2121()()fxfxxx思考：平均变化率：表示的几何意义？211221()()fxfxfxfxxx平均变化率：式子称为到的平均变化率几何画板演示：[选修2-2]导数与变化率.gsp平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态.65049t计算运动员在这段时间的平均速度，思考下面的问题：（1）运动员在这段时间里静止吗？（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究讨论：（二）、导数的概念在高台跳水运动中，平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态.我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.又如何求瞬时速度呢?平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势.如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?105.69.4)(2ttth求：从2s到(2+Δt)s这段时间内平均速度(2)(2)13.14.9hhthvtttΔt0时，在[2+Δt,2]这段时间内Δt0时,在[2,2+Δt]这段时间内1.139.4tv1.139.4tv当Δt=–0.01时,当Δt=0.01时,当Δt=–0.001时,当Δt=0.001时,当Δt=–0.0001时,当Δt=0.0001时,Δt=–0.00001,Δt=0.00001,Δt=–0.000001,Δt=0.000001,平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势.如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?105.69.4)(2ttth…………149.13v0951.13v1049.13v10049.13v099951.13v100049.13v1000049.13v13.051v13.09951v13.0999951v当Δt趋近于0时,即无论t从小于2的一边,还是从大于2的一边趋近于2时,平均速度都趋近与一个确定的值–13.1.1.13)2()2(lim0ththt从物理的角度看,时间间隔|Δt|无限变小时,平均速度就无限趋近于t=2时的瞬时速度.因此,运动员在t=2时的瞬时速度是–13.1.v表示“当t=2,Δt趋近于0时,平均速度趋近于确定值–13.1”.v从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度13.14.9hvtt探究:1.运动员在某一时刻t0的瞬时速度怎样表示?2.函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率怎样表示?5.68.9)5.68.99.4(lim)5.68.9()(9.4lim)()(lim000020000ttttttttthtthttt定义:函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是xfxxfxxfxxlim)()Δ(lim0000称为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作)(0xf或,即0|xxy0000(Δ)()()lim.xfxxfxfxx一概念的两个名称.瞬时变化率与导数是同.3的具体取值无关.与xxf)(.20.其导数值一般也不相同的值有关，不同的与000)(.1xxxf定义:函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是xfxxfxxfxxlim)()Δ(lim0000称为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作)(0xf或,即0|xxy0000(Δ)()()lim.xfxxfxfxx由导数的定义可知,求函数y=f(x)的导数的一般方法:1.求函数的改变量2.求平均变化率3.求值);()(00xfxxff.lim)(00xfxfx;)()(00xxfxxfxf题1将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热.如果第xh时,原油的温度(单位:)为f(x)=x2–7x+15(0≤x≤8).计算第2h和第6h,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.C解:在第2h和第6h时,原油温度的瞬时变化率就是)2(f).6(f和xfxf)2()2(根据导数的定义,37)(42xxxxx所以,.3)3(limlim)2(00xxffxx同理可得.5)6(f在第2h和第6h时,原油温度的瞬时变化率分别为–3和5.它说明在第2h附近,原油温度大约以3/h的速率下降;在第6h附近,原油温度大约以5/h的速率上升.CC题1将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热.如果第xh时,原油的温度(单位:)为f(x)=x2–7x+15(0≤x≤8).计算第2h和第6h,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.C练习:计算第3h和第5h时原油的瞬时变化率,并说明它们的意义.2.求函数的平均变化率的步骤:(1)求函数的增量Δf=Δy=f(x2)－f(x1);(2)计算平均变化率.fx1.求函数的改变量2.求平均变化率3.求值);()(00xfxxff.lim)(00xfxfx;)()(00xxfxxfxf3.由导数的定义可知,求函数y=f(x)的导数的一般方法:课堂小结1.平均变化率1212)()(xxxfxf1212)()(xxxfxffx