静力学第五章

1第五章摩擦(FRICTION)教学内容及基本要求：摩擦现象及其在工程中的重要性。滑动摩擦，静滑动摩擦定律，动滑动摩擦。摩擦角和自锁现象。考虑摩擦时物体和物体系统的平衡问题。滚动摩阻的概念。重点：正确区分静摩擦力和最大静摩擦力，正确理解滑动摩擦定律，考虑摩擦时物体和物体系统的平衡问题。难点：用摩擦角解物体和物体系统的平衡问题。学时分配：225-1滑动摩擦一、滑动摩擦工程实例：优点：没有摩擦，人不能行走，机器不能运转。机床卡盘靠摩擦夹紧工件，重力坝下在水压作用下靠摩擦防止坝身滑动。缺点：阻碍运动，消耗能量，损坏机件。目的：研究摩擦的规律，利用有利的一面，消除和减少有害的一面。分类：滚动摩擦动滑动摩擦静滑动摩擦滑动摩擦摩擦1、静滑动摩擦定律：实验：两接触物体之间存在相对滑动趋势时，在接触面之间产生的阻碍物体滑动的力叫静滑动摩擦力，简称静摩擦力(Staticfrictionforce)。用F表示。增大Q，在一定范围内物体仍保持平衡，表明F随的Q增大而增大。当力Q增大到某个值时，物体处于临界平衡状态，摩擦力达到最大值，称为最大静摩擦力，以maxF表示。静滑动摩擦定律：最大静摩擦力的大小与法向反力成正比。方向与相对滑动趋势相反。WWFTxN3NfFsmaxsf称为静滑动摩擦系数（简称静摩擦因数）(Coeffcientofstaticfriction)。大小与接触物体的材料、接触面的粗糙程度、温度、湿度等有关，而与接触面积的大小无关。通常情况下，静摩擦力随着主动力的不同而改变，它的大小由平衡方程确定，但介于零和最大值之间，即max0FF静摩擦力的方向与两物体间相对运动趋势的方向相反。注意：(1)、强调静摩擦力与一般约束反力的异同。(2)、正压力的大小，一般不等于物体的重量，也不能简单地把它看作是物体的重力在法线方向的分力；须由平衡方程确定。如：sincos:0QWNY(3)、静滑动摩擦力并不一定总是阻力。2、动滑动摩擦定律：当力Q增加到略大于maxF时，这时最大静摩擦力已不足以阻碍物体向前滑动。这时两接触物体之间存在相对滑动时，在接触面之间产生的阻碍相对滑动的力叫做动滑动摩擦力(Kineticfrictionforce)，以'F表示。动滑动摩擦定律：动滑动摩擦力的方向与两物体间相对速度的方向相反。大小与物体间的正压力成正比。即NfF'式中f称为动滑动摩擦因数（简称动摩擦因数）(Coeffcientofkineticfriction)，它除了与接触面的材料、表面粗糙度、温度、湿度有关以外，还与物体的滑动速度有关。在一般工程中，精确度要求不高时可近似认为动摩擦因数与静摩擦因数相等。二、摩擦角与自锁现象1、摩擦角yQFNW4水平面上的物体受主动力G和P，合力为Q。考虑摩擦时，支承面对物体的作用力不仅有法向反力N，还有摩擦力F。法向反力N和摩擦力F的合力R称为支承面对物体的全约束反力。它与接触面的法线成某一角度。NFtan当拉力P逐渐增大时，静摩擦力F也随着增大,角也相应增大，当拉力增大到maxP时，摩擦力达到最大值maxF，此时全约束反力为mR，它与法线间的夹角也达到最大值，称为摩擦角(Angleofstaticfriction)。sfNFmaxtan即sftan上式表明，静滑动摩擦系数等于摩擦角的正切。可见与f一样，也是表示物体材料摩擦性质的物理量。2、自锁现象由于静摩擦力F的大小不能超过最大静摩擦力maxF，故支承面全约束反力R与接触面法线的夹角也不可能大于摩擦角，即支承面的全约束反力R的作用线必定在摩擦角内，当物体处于将动未动的临界状态时，全约束反力R的作用线在摩擦角的边缘。由于静摩擦角的这一性质可知：如果作用于物体的主动力的合力Q的作用线在摩擦角之内，即，则不论这个力有多大，总有一个全反力R与之平衡，物体保持静止；反之，如果主动力的合力Q的作用线在摩擦角之外，即，则无论这个力怎样小，物体也不可能保持平衡。这种与力的大小无关而与摩擦角（摩擦因数）有关的平衡条件称为自锁条件，物体在这种条件下的平衡现象称为自锁现象(Self-lock)。摩擦角应用：测定静摩擦系数；螺旋千斤顶的自锁；斜键和机床的各种夹具的自锁。5-2考虑摩擦时物体的平衡GGQGPmaxPPFmaxFNRNmRR5考虑摩擦时物体的平衡，与无摩擦时物体的平衡，其分析方法和基本步骤基本相同。只不过在受力分析中必须考虑摩擦力。实际问题中经常碰到下述三类摩擦平衡问题。一、临界平衡状态下的平衡问题在考虑有摩擦的平衡问题中，常会碰到这样一类问题，它所要求的未知量，不管是力、距离或角度还是摩擦系数都要求其极端值。例如，求推动物体所需力的最小值；求使物体平衡时某力的最大值；求物体被卡住或能滑动时某段距离的大小；求能自锁时的倾角的大小；求摩擦系数最小值等。求解这类问题时，静摩擦力已达到其最大值，因为它们仍属平衡问题，故最大静摩擦力除了要满足平衡方程之外，还要满足静摩擦定律NfFsmax。即求解这类问题时，除了平衡方程外，还要利用补充方程联合求解。例5-1、如图所示，两根杠杆用铰链连接于C点，其间放有一个管子，假定管子与杠杆之间的摩擦系数为3.0sf，略去管子的重量。若使管子无滑动，求这时最大角是多少？解：选管子为研究对象，受力如图，建立如图所示的坐标系0,002cos2sin2cos2sin,002sin2cos2sin2cos,0rNfrNfmNfNNfNFNfNNfNFASASOBSBASAyBSBASAxF由NfFsmax可得BsBAsANfFNfF,解得04.333.0arctan2,3.02tansf二、非临界状态下的平衡问题yQPPPAFBFArBAANFrBBNF22AN22BNyCx6求解这类问题时，通常都是直接指出当物体静止时，某个力的大小及其范围，所以极易判别。如图所示，倾角为的斜面上放重为P的物体，已知m，求使物体静止不动时力Q的值。这就是要求物体静止不动时，Q值的范围。求解这类问题一般从以下两方面着手：（1）把此问题分为两种临界状态来处理；（2）把此问题分为两种趋势来处理。例5-2、如图所示，在互相垂直的斜面上放一均质杆AB。设各接触面的摩擦角均为，求平衡时AB杆与斜面AC的交角。解：以杆AB为研究对象，受力如图，建立如图所示的坐标系。设bAB2。此问题有两种可能：第一种情况：A端向上而B端向下。选D点为矩心20sincoscossin,010sincoscossin,0bNbFbNbFmNFNFFBBAADBBAAxF将tantanBBAANFNF及代入2,1两式40sincostancossintan30sincostancossintanBABANNNN或6sincostancossintan5sincostancossintanBABANNNN将式式56得cossincoscossincoscossincossincoscoscossinsincoscoscossinsinyAFAANBPBFBN090Cx7整理化简后得：cossincossin故2A端不向上移动必须2。第二种情况：A端向下而B端向上。这种情况只是与第一种情况tan反号，即cossincossin故2因此22例5-3、物体重为P，放在倾角为的斜面上，它与斜面间的摩擦系数为sf，如图所示。当物体处于平衡时，试求水平力Q的大小。解：由经验知，力Q太大，物块将上滑；力Q太小，物体将下滑；因此力Q的数值必在一范围内。先求力Q的最大值。当力Q达到此值时，物体处于将要向上滑动的临界状态。在此情形下，摩擦力F沿斜面向下，并达到最大值。受力如图a，建立如图所示的坐标系NfFPQNFFPQFsyxmaxmaxmaxmax0cossin,00sincos,0解得tan1tanmaxssffPQ再求Q的最小值。当力Q达到此值时，物体处于将要向下滑动的临界状态。在此情形yymaxQxminQxmaxF'maxFNNPP8下，摩擦力沿斜面向上，并达到另一最大值，用'maxF表示此力，物体受力如图b。NfFPQNFFPQFsyx'min'maxminmax0cossin,00sincos,0解得tan1tanminssffPQ综合上述两个结果可知：只有当力Q满足如下条件时，物体才能处于平衡。tan1tantan1tanssssffPQffP若引用摩擦角的概念，即tansf。上式可改写为tantanPQP如果斜面的倾角小于摩擦角，即时，上式左端成为负值，即minQ为负值；说明不需要力Q的支持，物块就能静止在斜面上，而且无论力P多大，也不会破坏平衡状态，这就是自锁现象。本题也可用几何法求解。但必须应用摩擦角和全约束反力的概念。由图a可见，物块在有上滑动趋势的临界状态时，可将法向反力和最大静摩擦力用全约束反力R来代替，这时物块在max,,QRP三个力作用下平衡，由汇交力系平衡的几何条件，可画得如图所示的封闭的力三角形。按三角公式解得tanmaxPQ同样可画得，物块在有向下滑动趋势的临界状态时的受力图，作封闭的力三角形，按三角公式解得。tanminPQmaxQPRminQPRmaxF'maxFRmaxQRminQPP9综合上述两个结果，同样可得物体的平衡范围，即tantanPQP三、判断物体所处状态的问题此类问题一般从题意中很易看出。比如，人沿梯子上爬，问人能否爬到顶端而不致使梯子滑倒？求解这类问题时，常假定在该情况下是处于平衡的。列平衡方程，计算静摩擦力F，法向反力N及最大静摩擦力NfFsmax。然后将F与maxF进行比较，若maxFF，则关于平衡的假设是正确的，且静摩擦力即为所求的F；若maxFF时，则假设是错误的，物体已处于运动状态，且这时的动摩擦力应根据NfF解得；若F得负值，但其绝对值maxFF，则物体处于平衡状态的假设是正确的，只是静摩擦力F的方向假设错了。也就是说，把物体相对滑动的趋势假设错了，但物体是静止不动的。这类问题的特点是：作用于物体的所有外力以及静摩擦系数sf皆已知，故可由平衡方程求出F与N，再用公式NfFsmax求出maxF，以便进行比较，最后判断物体所处的状态。例5-4、物块A和B叠放在水平固定面上。两者重量都是N10；两物块间以及物块B和固定面之间的摩擦系数都是2.0。设在物块A上施加大小等于N5的力P，这力的方向偏向下方，并与水平面成倾角030。试分别判断两物体能否运动？并求各物块受到的摩擦力。解：以物块A为研究对象，受力如图b030sin,00PGNFAAy解得NNA5.12于是物块BA,间的临界摩擦力NNfFAsAB5.25.122.0maxPPAG'AN030030BG'ABFABFANBNBF10现在NPPx3.4330cos0可见maxABxFP，故物块A相对于物块B滑动。这时物块BA,间的摩擦力是NFAB5.2。再取物块B为研究对象（如图c）受力如图0,0'BAByGNNF解得NNB5.22故物块B与支承面间的临界摩擦力NNfFBB5.45.222.0max