静电学一章习题答案

静电学一章习题答案习题7—1半径为R的均匀带电球体的静电场中各点的电场强度的大小E与距球心的距离r的关系曲线为：［］习题7—2半径为R的均匀带电球面，总电量为Q，设无穷远处电势为零，则该带电体所产生的电场的电势U随离球心的距离r变化的分布曲线为：［］习题7─3如图所示，一个带电量为q的点电荷位于立方体的A角上，则通过侧面abcd的电场强度通量等于：［］解：可以设想再补上与图示立方体完全相同的七个立方体，使得点电荷位于一个边长扩大一倍的新的立方体的中心，这样，根据高斯定理，通过这个新立方体的六个面的总电通量为0q，通过其中任何一个面的电通量为)6(0q，而因原abcd面只是新立方体一个面的四分之一，故通过abcd面的电场强度通量为)24(0q。［选择答案(C)］习题7─4如图所示，两个同心的均匀带电球面，内球面半径为R1、带电量Q1，外球面半径为R2、带电量为Q2。设无穷远处为电势零点，则在内球面里面，距球心为r的P点处的电势为：［］(A)rQQ0214。(B)20210144RQRQ。ErRE∝1/r2(A)OErROE∝1/r2(B)EOrRE∝1/r2(C)ErORE∝1/r2E∝1/r(D)习题7―1图UrOU∝1/rR(A)UrORU∝1/r(B)UrORU∝1/r(C)UrORU∝1/r2(D)UrORU∝1/r2(E)习题7―2图Aabcdq习题7―3图R1R2rPOQ1Q2习题7―4图(C)0。(D)1014RQ。解：根据场强叠加原理，内球面单独在P点产生的电势为10114RQUP外球面单独在P点产生的电势为20224RQUP因此，P点最终的电势为2021012144RQRQUUUPPP［所以选择答案(B)］［注：对典型电荷分布的场，应用叠加原理可以非常方便地求得结果。］习题7—5有N个电量均为q的点电荷，以两种方式分布在相同半径的圆周上：一种是无规则的分布，另一种是均匀分布，比较这两种情况下在过圆心O并垂直于圆平面的Z轴上任一点P的场强与电势，则有：［］(A)场强相等，电势相等。(B)场强不等，电势不等。(C)场强分量EZ相等，电势相等。(D)场强分量EZ相等，电势不等。解：因为电势是标量，而且仅与点电荷到场点的距离有关，所以各点电荷在P点产生的电势都相等，与点电荷在圆周上的位置无关，这样一来，根据电势叠加原理，两种情况下的电势都一样，都是rNqrqUNiP01044对于场强，因为它是矢量，即不仅有大小还有方向，各点电荷产生的场强方向与其在圆周上的位置有关，也就是说，P点的场强应当与各点电荷在圆周上的分布有关，所以两种情况下的场强是不同的。但是，由于P点对于圆周上的各点是对称的，各点电荷场强的Z分量(标量)大小与其在圆周上的位置无关，因此，两种情况下P点的场强分量EZ都相同。综上，应该选择答案(C)。习题7—6如图所示，边长为a的等边三角形的三个顶点上，放置着三个正的点电荷，电量分别为q、2q、3q，若将另一点电荷Q从无穷远处移到三角形的中心O处，外力所作的功为：［］XYZPO习题7―5图(A)aqQ0432(B)aqQ0434(C)aqQ0436(D)aqQ0438解：根据电势叠加原理，三角形的中心O处的电势为aqaqqqUO0043660sin)32(432因为无穷远处电势为零，所以外力的功为aqQQUUUQAAOO0436)(电外因此，应当选择答案(C)。习题7—7如图所示，在坐标(a，0)处放置一点电荷+q，在坐标(－a，0)处放置另一点电荷－q。P点是Y轴的一点，坐标为(0，y)，当ya时，该点场强的大小为：［］(A)204yq(B)202yq(C)302yqa(D)304yq解：由图示，两个点电荷在P点产生的场强的Y分量相抵消，P点最终的场强只是两场强X分量的叠加，因此，P点的场强为3023220222202)(2)(42yqaayqaayaayqEP所以应该选择答案(C)。习题7—8设有一“无限大”均匀带正电荷的平面，取X轴垂直带电平面，坐标原点在带电平面上，则其周围空间各点的电场强度E随距离平面的位置坐标x的变化的关系曲线为(规定场强方向沿X轴正方向为正，反之为负)：［］解：“无限大”均匀带正电荷的平面产生的场强大小是与到平面的距离x无关的常量，但是平面两侧的场强方向不同：在x0区间，场强方向与X轴正向相同，应为正；反之在x0区间，场强方向与X轴正向相反，应为负。所以，应该选择答案(C)。aaaq2q3qO习题7―6图Oa–a–qqXYP(0，y)习题7―7图XEO(A)XEOE∝x(B)XEO(C)XEOxE1(D)习题7―8图习题7—9图中所示曲线表示某种球对称静电场的场强大小E随径向距离r变化的关系，请指出该电场是由下列哪一种带电体产生的。［］(A)半径为R的均匀带电球面。(B)半径为R的均匀带电球体。(C)点电荷。(D)外半径为R，内半径为R/2的均匀带电球壳体。解：容易看出该电场是由半径为R的均匀带电球面产生的，所以，应该选择答案(A)。习题7—10真空中一半径为R的球面均匀带电Q，在球心O处有一带电量为q的点电荷，如图所示。设无穷远处为电势零点，则在球内离球心O为r的P处的电势为：［］(A)rq04(B)RQrq041(C)rQq04(D)RqQrq041解：根据电势叠加原理，P点的电势应为均匀带电球面和球心处的点电荷各自单独存在时所产生电势的叠加，即RQrqRQrqUP0004144所以，应该选择答案(B)。习题7─11把一个带电量为+Q的球形肥皂泡由半径r1吹胀到r2，则半径为R(r1Rr2)的高斯球面上任一点的场强大小E由变为；电势由变为(选无穷远为电势零点)。解：在吹胀过程中，高斯球面上任一点先在球形肥皂泡外，后在肥皂泡内，而带电的球形肥皂泡可看作均匀带电球面，因此，高斯球面上任一点的场强大小由204RQE变到E=0；该点的电势由RQU04RrEOE∝1/r2习题7―9图ORrPqQ习题7―10图变到204rQU［注：从本题求解可以看出，我们应该对均匀带电球面的场强和电势公式非常熟悉才行］习题7—12点电荷q1、q2、q3和q4在真空中的分布如图所示，图中S为闭合曲面，则通过该闭合曲面的电通量SdE＝，式中E是点电荷在闭合曲面上任一点产生的场强的矢量和。解：根据静电场高斯定理，通过该闭合曲面的电通量等于被闭合曲面包围的电荷之代数和的0分之一，即SdE=)(112100qqqii高斯定理中的E是高斯面上任一点的场强，它是由高斯面内、外的所有电荷共同产生的，即由q1、q2、q3和q4共同产生的。习题7—13在点电荷+q和－q的静电场中，作出如图所示的三个闭合面S1、S2、S3，则通过这些闭合面的电场强度通量分别为Φ1=；Φ2=；Φ3=。解：根据高斯定理容易知道，通过三个闭合曲面的电通量分别为0q、0、0q。习题7─14如图，A点与B点间距离为2l，OCD是以B为中心、以l为半径的半圆路径，A、B两处各放有一点电荷带，电量分别为+q和-q，则把另一带电量为Q(Q0)的点电荷从D点沿路径DCO移到O点的过程中，电场力所作的功为。解：放在A、B两处的点电荷+q和-q是场源电荷，设无穷远处为电势零点，则D点的电势为lqlqlqUUUD00064)3(4Sq1q2q3q4习题7―12图S1S2S3﹣q﹢q习题7―13图l2lABCD﹣q﹢q习题7―14图O同理，O点的的电势为0OU因此，把另一带电量为Q(Q0)的点电荷从D点沿路径DCO移到O点的过程中，电场力作的功为lqQUUQAOD06)(［注：由于静电场是保守场，在静电场中移动电荷电场力作的功与移动的路径无关。］习题7—15A、B为真空中两个平行的无限大的均匀带电平面，已知两平面间的电场强度大小为E0，两平面外侧电场强度大小都为E0/3，方向如图，则A、B两平面上的电荷面密度分别为A；B。解：如图，设向右为正方向，且A、B两平面上的电荷面密度均大于零，则根据场强叠加原理Ⅰ区：0003122EBAⅡ区：00022EBA联立以上二式可得00003432EEBA［注：用Ⅱ、Ⅲ区列式联立求解亦可］习题7—16两根平行的“无限长”均匀代正电直线1、2，相距为d，其电荷线密度分别为1和2，则场强等于零的点与直线1的距离为。解：设场强等于零的点与直线1的距离为a，则有)(220201ada可解得211da习题7—17两个平行的“无限大”均匀带电平面，其面电荷密度分别为和E0E0/3E0/3习题7―15图12ad12习题7―16图2，如图所示，则A、B、C三个区域的电场强度分别为EA=；EB=；EC=。(设方向向右为正)解：此题应当应用叠加原理，每个区域的电场强度等于每个均匀带电平面单独存在时产生的场强的矢量和。设自左向右的方向为正，则有A区域内任一点的场强：00023222AEB区域内任一点的场强：0002222BEC区域内任一点的场强：00023222CE习题7—18图中虚线所示为一立方形的高斯面，已知空间的场强分布为：Ex=bx，Ey=Ez=0，高斯面边长a=0.1m，常数b=1000N/(C•m)。试求该闭合面中包含的静电荷。解：根据高斯定理，可有axaxSiiSdESdESdEq2000axaxbxabxa220203030302bababa10001.01085.8312C1085.812习题7─19一细玻璃棒被弯成半径为R的半圆形，沿其上半部分均匀分布有电量+Q，沿其下半部分均匀分布有电量－Q，如图所示，求圆心O处的电场强度。解：如图所示，在半圆形玻璃棒的上半部分取一线元Rddl，其位置处相应的半径与X轴负向的夹角为，其带电量QdRdlQdldq2)(2，其在O点产生的元场强的大小为ABC2习题7―17图XYZOaaaa习题7―18图EddRddlOdExdEyXY+Q–QR习题7―19图2022024RQdRdqdE其方向如图所示。由于各个线元产生的元场强方向不一致，因此需把Ed分解2022sinsinRdQdEdEy由于电荷分布的对称性，最终O点场强的X分量0xE。因此，圆心O处的电场强度的Y分量为20220202sin2RQdRQdEEyy把O处的电场强度写成矢量式为jRQjEEy202习题7─20在真空中有一长为l=10cm的细杆，杆上均匀分布着电荷，已知其电荷线密度mC10015/.，在杆的延长线上，距杆的一端为d=10cm的一点上，有一电量为C100250.q的点电荷，如图所示，试求该点电荷所受的电场力。解法Ⅰ：沿细杆方向建立X轴方向向左，坐标原点就在q0所在处，在细杆上x处取线元dx，其带电为dxdq，线元在q0所在处产生的元场大小为202044xdxxdqdE整个细杆在q0所在处产生的电场大小为)(4)11(440020lddllddxdxdEEldd点电荷q0所受的电场力为N99.820.010.01085.814.34100.210.0100.1)(41255000lddqlEqF解法Ⅱ：沿细杆方向建立X轴方向向左，坐标原点就在q0所在处，在细杆上x处取