点集拓扑复习资料

共3页第1页《点集拓扑》复习题一、概念叙述1、拓扑空间2、邻域、邻域系3、集合A的凝聚点4、闭包5、基子基6、子空间7、（有限）积空间8、隔离子集9、连通集10、连通集11、连通分支12、局部连通空间13、1A空间14、2A空间15、可分空间16、Lindeloff空间17、iT空间（1,2,3,4i）18、正则空间19、正规空间20、紧致空间21、可数紧空间22、列紧空间23、序列紧空间24、局部紧空间二、判断题1、有限集不可能有聚点（）2、拓扑空间X的子集A是闭集的充要条件是AA（）3、如果AB，则ABAB（）4、设Y是拓扑空间X的子空间，A是Y的子集，则A在Y中的导集是A在X中的导集与Y的交。（）５、若:fXY是同胚映射，则fXY（）６、离散空间中任意子集的导集都是空集（）７、拓扑空间中每个连通分支都是既开集又是闭集（）８、度量空间必是2A空间（）９、在lR中，,ab是开集（）１０、映射:fXY是连续映射的若拓扑空间Ｘ中序列ix收敛于xX，则扑拓空间Ｙ中相应序列ifx收敛于()fx（）１１、设Ｘ为拓扑空间，Ｃ为连通分支，Ｙ是Ｘ的一个连通子集，则YC（）１２、2A空间必为可分空间（）１３、正则且正规空间必为0T空间（）１４、紧致空间的闭子集必为它的紧致子集（）１５、设Ｘ是一个拓扑空间，AX，则点x是集合Ａ的一个凝聚点在Ax中有一个序列收敛于x（）１６、度量空间也是拓扑空间（）１７、如果一个空间中有每个单点集都是闭集，那么这个空间必是离散空间（）１８、拓扑空间X是一个连通空间当且仅当X中不存在既开又闭的非空真子集.()19、若拓扑空间中的子集A是连通集，则它的闭包A也是一个连通集。共3页第2页20、设A、B是拓扑空间X中的两个连通子集，则AB也是X的一个连通子集（）21、如果A、B是拓扑空间X中两个不交的开子集，则A、B必是X中隔离子集（）22、拓扑空间的可分性是一个可遗传性（）23、正规空间必是Hausdorff空间（）24、在一个紧致的2T空间中，一个集合是紧致子集它是一个闭集（）25、紧空间必是Lindelǒf空间（）26、度量空间中紧致集必是有界闭集（）27、正则空间必是Hausdorff空间（）28、设12XXX是空间1X、2X的积空间，A1X,2BX分别是1X、2X中闭集（）29、设A、B是拓扑空间X中两个子集，并且AB，则有dABdAdB（）30、若拓扑空间X是连通空间，则X必是局部连通空间（）三、填空1、设:fXY是同胚映射，则f必是一一映射，并且和都是连续的。2、设Y是拓扑空间,X的子集，Y的拓扑Y称为；拓扑空间,YY称为,X的。3、连通空间X中既开又闭的子集只能是和。4、设X是拓扑空间，若X的每一覆盖都有一个，则X是Lindelǒf空间。5、正规的空间或紧致的空间是4T空间。6、X是拓扑空间。若X的每一个开覆盖都有，则X是可数紧致空间。7、如果A是离散空间X中一个非空连通子集，则A必是。8、如果X是一个可数集，则X上的可数补拓扑空间必定是。9、设X是离散度量空间，X上度量为1,,,0,,xyxyxy则X中任一点x的球形邻域,1Bx。10、在拓扑空间X中，如果子集A是开集，B是闭集，则AB是BA是。11、设,X是实数集R上的可数补空间，A是X中一个可数集，B是X中一个不可数集，则dA，dB=。12、如果集合X上的任一拓扑，拓扑空间(,)X都是紧致空间，则共3页第3页X必是。13、在平面空间2R中，度量定义为任意两点12121122,,,,,,axxbyyabxyxy则以原点O为中心，0为半径的球形邻域0,B的图形是。14、积空间12XXX的子基元素的一般形式是或。15、设0,12,3Y是实数空间R的一个子空间，则Y的子集0,1是Y的。16、在实数空间R中，取A为整数集，B为有理数集，则A，B。17、设X=,,abc，X上拓扑,,,Xab，取子集Ab，则dA。18、如果X是平庸空间，则X必为紧致空间，它的每一个开覆盖，必有有限子覆盖1A=。四、单选题1、设X=,,abc，它的一个拓扑是（）A,,,,,,aababcB,,,,,bcabcC,,,,,,,abacabcD,,,,,abcabc2、设X是拓扑空间，F为所有闭集构成的族，则有（）．A若iAF1,2,i则有12nAAAFB若iAF1,2,i则有12nAAAFC,XFD若AF则XAF3、设X为拓扑空间，则对,ABX，必有（）．AXBAACABABDA是闭集4、设X为拓扑空间，xX，则有（）．Ax的任意邻域都是X的开集Bx的任意邻域都是X的闭集C包含x的开集都是x的邻域D若12,UU是x的邻域，但12UU不是x的邻域5、已知0,1是实数空间的一个开子空间，那么下列集合中是空间0,1中的开集是（）．A0,bB,abC,abD其中,0,1ab．6、设,,Xabc，是平庸拓扑，,X中两子集是隔离的是（）．Aa与bB,ab与,bcCa与,bcD与a7、下面命题中正确的是（）．A平庸空间是0T空间共3页第4页B在2T空间中，存在收敛于两个不同的极限点的序列C1T空间未必是0T空间D1T空间中每一单点集都是闭集8、若X是Hausdorff空间，则X必是（）．A正则空间B正规空间C3T空间D1T空间9、下面不连通的拓扑空间是（）．()A实数空间B平庸空间C包含多于两个点的离散空间D拓扑学家正弦曲线21,sin01SxRxx10、下面正确的命题是（）．()A设:fXY是连续映射，若X满足第二可数性公理（即X是2A空间），则Y也是2A空间。B2A空间必存在一个子空间不满足第二可数性公理。C若拓扑空间iX1in都是2A空间，则积空间12nXXX也是2A空间。D2A空间未必满足第一可数性公理。11、拓扑空间X中，,AB是隔离子集，则在子空间AB中子集A是（）．A开集，但不是闭集B闭集，但不是开集C既是开集，又是闭集D既不是开集，又不是闭集12、在实数空间中，子集0,1A，0,1B，0.1C，0,1D，其中可能有同胚关系的是（）．AA与BBC与DCA与CDB与D13、拓扑空间中“每一个序列至多收敛于一点”是“这个空间为Hausdorff空间”的（）。A充分条件B必要条件C充分必要条件D既不是充分条件，也不必要条件14、设0,12,3Y是实数空间R的一个子空间，则Y中的子集0,1是Y的（）．A开集，但不是闭集B闭集，但不是开集C既是开集，又是闭集D既不是开集，又不是闭集15、设,X集合R上的下限拓扑空间，则下述四个性质中，不正确的是（）AX是1A空间BX是2A空间CX是可分空间DX是Lindeloff空间16、拓扑空间X中“只有单点集”是“X为离散空间”的（）A充分条件B必要条件共3页第5页C充分必要条件D既不是充分条件，也不必要条件五、证明题1、设X是一个集合，令X，，则是X的一个拓扑．2、有理数集Q作为实数空间R的子空间是不连通的．3、包含不可数个点的离散空间不满足第二可数性公理．4、拓扑空间X的子集U是开集的充要条件是U是它的每一点的邻域．5、若X是1T空间，则X中的每个单点集都是闭集。6实数空间R不是一个紧致空间。7、包含不少于两个点的平庸空间不是0T空间。8、设X，为度量空间，如果X为有限集，证明：X，为离散空间。9、设X，为拓扑空间，证明：如果X的每一个子集A都满足dA，则X，是离散空间。10、设X为拓扑空间，:fXR（其中R为实数空间）是连续映射，证明X中的子集0AxXfx为开集。11、证明：正则的0T空间必是3T空间。12、证明：实数集R上的可数补拓扑空间必是一个Lindeloff空间。13、设,X是度量空间，证明：如果X有一个基只含有有限个元素，则X必为有限集，且,X是离散空间。14、证明：可分空间的任一个开子空间都是可分空间。