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第3章控制系统的时域分析•稳定性概念与充分必要条件•劳斯判据与赫尔维茨判据•稳态裕度稳•稳态误差的定义•稳态误差分析与计算•静态误差系数准•一阶系统的动态响应分析•二阶系统的动态响应分析•高阶系统的动态响应快第1节线性定常系统的时域响应对输出c(t)随时间变化的规律进行分析对输入r(t)分析?第1节线性定常系统的时域响应系统在输入信号r(t)作用下，输出c(t)随时间变化的规律，即微分方程的解，就是系统的时域响应。第1节线性定常系统的时域响应系统在输入信号r(t)作用下，输出c(t)随时间变化的规律可概括为，c(t)=c1(t)+c2(t)动态响应稳态响应系统结构，参数，初始条件系统结构，参数，输入信号第1节线性定常系统的时域响应稳态响应的概念从系统时域响应的两部分看，稳态分量(特解)是系统在时间t→∞时系统的输出，衡量其好坏是稳态性能指标：稳态误差。第1节线性定常系统的时域响应动态响应的概念系统响应的暂态分量是指从t=0开始到进入稳态之前的这一段过程，采用动态性能指标(瞬态响应指标)，如快速性、平稳性等来衡量。例1：如图是一个由电阻与电容构成的RC低通滤波电路，其中Ui为输入电压，UC为输出电压，求出该低通滤波电路的时域响应。解题步骤：（1）根据电路理论，列出系统的微分方程dttiCtURtUtUtiCCi)(1)()()()(（2）两边取拉普拉斯变换，得到因果关系式sUsIsCsURsUsUsICCCi)0()(1)()()()(解题步骤：（3）合并得到输出的拉普拉斯变换为RCsRCURCssUsUCiC1)0(1)()(（4）对系统进行拉普拉斯反变换，RCtCiCiCeURCssULRCsRCULRCssULtU)0(]1)([]1)0([]1)([)(111动态响应稳态响应第2节控制系统时域系统的性能指标（1）R=1KΩ，C=1uF,Uc(0)=1V（2）R=10KΩ，C=1uF,Uc(0)=2V稳态性能指标大家好，我叫稳态误差。我的英文名叫ess，私聊请拨：)]()([limtctretss稳态性能指标采用稳态误差ess来衡量，其定义为：当时间t趋于无穷时，系统输出响应的期望值与实际值之差。即)]()([limtctretss动态性能指标大家好，我叫上升时间。我的英文名叫tr，请看：上升时间：从零时刻首次到达稳态值的时间,即阶跃响应曲线从t=0开始第一次上升到稳态值所需要的时间。动态性能指标大家好，我叫峰值时间。我的英文名叫tp，请看：峰值时间tp：从零时刻到达峰值的时间，即阶跃响应曲线从t=0开始上升到第一个峰值所需要的时间.动态性能指标大家好，我叫最大超调量。我的英文名叫Mp，直播号：%100)()()(cctcMpp最大超调量Mp：阶跃响应曲线的最大峰值与稳态值的差与稳态值之比，即动态性能指标大家好，我叫调整时间。我的英文名叫ts，请看：动态性能指标大家好，我叫振荡次数。我的英文名叫N，请看：第3节线性定常系统的稳定性如果系统受到干扰（如电源、负载波动），偏离了平衡状态，而当扰动消失后，系统仍能逐渐恢复到原平衡状态，则称系统是稳定的或具有稳定性。第3节线性定常系统的稳定性如果系统不能恢复到原平衡状态甚至越偏越远，则称系统是不稳定的或不具有稳定性。几点注意：1、稳定性是控制系统的重要性能，是系统正常工作的首要条件。2、稳定性是控制系统的一种固有特性，只取决与系统的结构参数，与系统的输入无关。3、系统稳定性是指自由响应（零输入响应）下的稳定性，即讨论系统输入为零，初始偏差不为零时的稳定性。第3节线性定常系统的稳定性系统用微分方程描述，如何确定系统是否稳定？线性定常系统稳定的充分必要条件设n阶线性定常系统的微分方程为对上式作拉氏变换，得当R(s)=0，得到在初始状态影响下系统的时间响应(即零输入响应)为若pi为系统特征方程D(s)=0的根且当pi各不相同时，有若系统所有特征根pi的实部均为负值，即Re［pi］0则零输入响应(暂态响应)最终将衰减到零，这样的系统就是稳定的。反之，若特征根中有一个或多个根具有正实部时，则暂态响应将随时间的推移而发散，即这样的系统就是不稳定的。综上所述，系统稳定的充分必要条件是系统特征根的实部均小于零，或系统的特征根均在根平面的左半平面。结论综上所述，系统稳定的充分必要条件为：系统所有特征根（即传递函数极点）均为负实数或具有负的实部，即：或者称所有特征根位于S平面的开左半部分。为特征根iisnis,,)Re(10j0平面S例2一个系统的闭环传递函数为：试说明系统的稳定性。))()()(())(()()()(545498166jsjssssssRsCs数，该系统是稳定的。可见，其实部全部为负为：对应的四个特征根分别：解：系统的特征方程为549805454984321jsssjsjsss,,,))()()((思考：如图是一个由电阻与电容构成的RC低通滤波电路，其中Ui为输入电压，UC为输出电压，试问该低通滤波电路系统稳定吗？当输入电压Ui（s）=0时，有RCTeUtUTtCC,)0()(0)(CU第3节线性定常系统的稳定性一个问题特征方程的根无法直接求出，那怎么判断稳定性？3.1小节.劳斯判据(1)线性定常系统的劳斯判据设控制系统的特征方程式为首先，劳斯稳定判据给出控制系统稳定的必要条件是：控制系统特征方程式的所有系数均为正值，且特征方程式不缺项。其次，劳斯稳定判据给出控制系统稳定的充分条件是：劳斯表中第一列所有项均为正号。如果特征方程式所有系数都是正值，将多项式的系数排成下面形式的行和列，即为劳斯表。表中，系数b的计算，一直进行到后面的全部为零时为止。同样采用上面两行系数交叉相乘的方法，可以求出c、d、e、f等系数，这个过程一直进行到n+1行为止。其中第n+1行仅第一列有值,且正好是方程最后一项an。几点说明劳斯表是三角形。在展开的劳斯表中，为了简化其后的数值运算，可以用一个正数去除或乘某一行的各项，这时并不改变稳定性结论；如果必要条件不满足（即特征方程系数不全为正或缺项），则可断定系统是不稳定或临界稳定；如果必要条件满足，就需要列出劳斯表，检查表中第一列的数值是否均为正值，如果是，则系统稳定，否则系统不稳定，并且系统在复平面右半平面极点的个数等于劳斯表第一列系数符号改变的次数。例3：设控制系统的特征方程式为试用劳斯判据判别系统的稳定性。解题过程：（1）系统特征方程式的系数均大于零，并且没有缺项，所以稳定的必要条件满足。（2）列劳斯表解题过程：（3）由于该表第一列系数的符号变化了两次，所以该方程中有二个根在复平面的右半平面，因而系统不稳定。例4：已知三阶系统特征方程为试用劳斯判据判别系统稳定时，系数之间的关系。解题过程：（1）系统稳定的必要条件是特征方程式的系数均大于零，并且没有缺项，所以0,0,0,03210aaaa解题过程：（2）列劳斯表例5：已知系统特征方程试用劳斯判据判别系统的稳定性。解题过程：（1）系统稳定的必要条件是特征方程式的系数均大于零，并且没有缺项，所以满足必要条件解题过程：（2）列劳斯表例6：已知系统特征方程试用劳斯判据判别系统的稳定性。解题过程：（1）系统稳定的必要条件是特征方程式的系数均大于零，并且没有缺项，所以满足必要条件解题过程：（2）列劳斯表例7：已知系统特征方程试用劳斯判据判别系统的稳定性。解题过程：（1）系统稳定的必要条件是特征方程式的系数均大于零，并且没有缺项，所以不满足必要条件，系统不稳定解题过程：（2）列劳斯表有两种特殊情况需要说明：＊1.劳斯表中某一行的第一个元素为零，而该行其它元素并不为零，则在计算下一行第一个元素时，该元素必将趋于无穷大，以至劳斯表的计算无法进行。0212341022111-ssss有两种特殊情况需要说明：＊2.劳斯表中某一行的元素全为零。则表示在s平面内存在一些大小相等符号相反的实根或共轭虚根，系统是不稳定的。00222111234sss第一种情况，可用一个很小的正数ε代替为零的元素，然后继续进行计算，完成劳斯表。例如，系统的特征方程为其劳斯表如左:因为劳斯表第一列元素的符号改变了两次，所以系统不稳定，且有两个正实部的特征根。第二种情况，先用全零行的上一行元素构成一个辅助方程，再将上述辅助方程对s求导，用求导后的方程系数代替全零行的元素，继续完成劳斯表.它的次数总是偶数，它表示特征根中出现关于原点对称的的根的数目（这些根或为共轭虚根；或为符号相异但绝对值相同的成对实根；或为实部符号相异而虚部数值相同的成对的共轭复根；或上述情况同时存在。例如，系统的特征方程为，列劳斯表为由上看出，劳斯表第一列元素符号均大于零，故系统不含具有正实部的根，而含一对纯虚根，可由辅助方程解出。322101122220402sssss辅助方程辅助方程求导后的系数例8：已知系统特征方程试用劳斯判据判别系统的稳定性。解题过程：（1）系统稳定的必要条件是特征方程式的系数均大于零，并且没有缺项，所以满足必要条件解题过程：（2）列劳斯表劳斯表中第一列元素符号没有改变，系统没有右半平面的根，但由P(s)=0求得一对共轭虚根临界稳定例9：已知系统特征方程试用劳斯判据判别系统的稳定性。解题过程：（1）系统稳定的必要条件是特征方程式的系数均大于零，并且没有缺项，所以不满足必要条件，系统不稳定解题过程：（2）列劳斯表劳斯表中第一列元素符号改变一次，系统不稳定，且有一个右半平面的根，由P(s)=0得练习：√√