非线性动力学试题及在电力电子中的应用

1、根据极点类型画出平面系统的相图(1)图形如下(2)图形如下(3)图形如下(4)极限环和焦点如下2、解：令002axydtdyxydtdx得平衡点为x=0,y=0,即（0,0）为平衡点，因此平衡点的线性化矩阵为1000A令det(A-λI)=0,得01，12，其相应的特征向量为Tv]0,1[1，Tv]1,0[2，所以其中心子空间为})0,1{(TcE，稳定子空间为})1,0{(TsE。由于特征值出现零解，非线性系统的中心流形为}0)(,0)(),(),,{(ODhOhxhyyxWc且满足2)()]([)(axxhxxhdxxdh设)()(4332210xOxxxxh，带入上式，并比较x的同次幂，可得0310aaa，aa2于是有：)(42xOaxxydtdx原点（0,0）的稳定性为：a0时，原点（0,0）是渐进稳定的；a0时，原点（0,0）不稳定；a=0时，要利用)(xhy的更高项近似来判断。3、解：令cos()xrt，sin()yrt，假设系统的振荡周期为2T，可以得到1r，因此满足系统方程的一组周期解为：cosxt，sinyt。将该周期代入Floqent稳定性判据中得到loquet乘子为1,21.00970.0267i，即：1,21.01011，根据Floquet理论所描述，Floquet乘子与系统分岔行为的关系：当有且仅有一对复数共轭的Floquet乘子穿越出单位圆时，系统发生Neimark-Sacker分岔。所以该系统是不稳定的。4、解：令0021011nnnnnxyaayyx得平衡点为：000211024)1(1xyaaax其Jacobian矩阵为：11111012nnnnnnnnnxxxyxayyxyJ=由于离散系统含两个参数0a和1a，设1a=1，则离散系统平衡点为000022ayax在平衡点（02a，02a）处，则有行列式1410a=0，即有0402a当025610a时，系统的特征值有两个不等的正实根。这时可以判断（02a，02a）是不稳定结点。在平衡点（-02a，-02a）处，则有行列式1410a=0，即有0402a这时系统有一个正特征值和一个负特征值，该平衡点是鞍点。因此在0a=0是鞍结分岔点。图11a=0.3时，0a变化时分岔图从分岔图中可以看出，当0a在0.38出现分岔，而在0.9左右时会出现倍周期分岔，在此以后逐步出现n2倍倍周期分岔，然后进入混沌状态。5、解：把该系统改写为二维的形式为3)cos(xxbytdtdyydtdx由于系统中有两个参数b和ω，所以分析时先给一个参数取值，然后另一个参数变化时，画出分岔图形。当b=0.3时，ω变化时，Duffing系统分岔图图1b=0.3时，ω变化时，Duffing系统分岔图当ω=1时，ω变化时，Duffing系统分岔图图1ω=1时，b变化时，Duffing系统分岔图6、非线性动力学理论在电力电子电路中的应用随着科学技术的发展，非线性问题出现在许多学科之中。传统的线性化方法已不能满足解决非线性问题的要求，“非线性动力学”也就由此产生。非线性动力学联系到许多学科，如力学、数学、物理学、化学、甚至某些社会科学等。直接分析非线性动力学问题解的行为(尤其是长时期行为)成为研究非线性动力学问题的一种必然手段。电力电子电路是一个强非线性时变系统,人们会很自然地想到用非线性方法来分析与设计电路。为了方便起见,电力电子电路通常被描述成分段线性的开关式电路,在不同的时间段里有着不同的拓扑。一般而言,电路的拓扑个数是固定的,而且每个拓扑都以周期的方式工作。同时,为了加快电力电子系统的设计周期,简化模型也是非常必要的。但是简化的模型总是以牺牲精确度为代价的。众所周知,闭环的稳定性与瞬态响应是电力电子系统设计中的两个基本要点，一个能够直接进行频域分析的模型具有明显的优势。因此，电力电子系统建模技术的研究大多都集中于如何获得一个适合于频域分析的线性模型上。例如，状态空间平均法就是一个满足上述要求被开关式变换器广泛采用的建模方法。在实际应中,这些平均模型几乎都被线性化，直接进行拉普变换或是频域分析，同时可以方便地进行变换器控制级的设计与动态特性的评估。电力电子工程师们经常会遇到诸如次谐波振荡、周期跳跃、拟周期运动、分叉以及混沌等现象。大多数电源工程师们在调试开关式调节器时会发现:当电路的一些参数发生变化的时候，如输入电压与反馈增益，系统的输出会变得杂乱无章。对于这些奇异现象一般采取的措施是通过调节电路元件的参数来避免它们的发生。长期以来，确定论以及线性论的知识结构指导我们的思路，因此这些现象依然保持着某种神秘，没有得到应有的重视。事实上，如果线性化的模型能够保证达到设计要求，那么似乎没有必要来研究诸如混沌及分叉等非线性现象。但是，在电力电子技术逐渐走向成熟，行各业对电力电子系统与设备在功能、可靠性及性能上的要求日益高涨的今天，深入研究电力电子电路中的非线性现象是非常有必要的,甚至是刻不容缓的。一方面,非线性现象的研究给我们所观察到的不规则的电路行为提供了合理的解释；另一方面,如果这种非线性的运行模式(混沌运行模式)能被透彻地理解，那么可以利用许多未曾使用过的非线性控制策略来解决许多实际的工程应用问题。文献[1]首次提出开关功率变换器中的非线性现象。从此以后，开关功率变换器的复杂动力学行为的研究在世界各地迅速展开，刚开始研究对象主要是DC/DC变换器，文献[2-4]对Buck、Boost变换器分叉行为进行了研究，发现在DC/DC开关功率变换器系统中存在不稳定，次谐波和混沌现象；文献[5]研究了用离散时间映射的方法分析DC/DC变换器的分叉和混沌，电压控制模式的Buck变换器的二次分叉和高周期轨道，并分析了非光滑动力学系统；文献[6]通过对工作在三态运行模式下的Boost和Buck变换器工作状态进行了研究，以迭代映射来建立变换器的数学模型，观察变换器分叉和混沌现象行为，通过解析方法确定倍周期分叉点，通过判断迭代映射关于不动点的雅克比矩阵的特征值来确定倍周期分叉发生的位置，给出其中关于倍周期分叉条件的理论研究成果，并用电路实验证实此结论。后来，AC/DC变换器的非线性行为也开始被研究，文献[7-8]研究了PFCBoost变换器工作在平均电流控制模式下的快标不稳定现象；文献[9]研究了峰值电流模式PFCBoost变换器分叉行为；文献[10-14]用非线性离散模型研究PFCBoost变换器中的分叉和混沌,功率因数校正Boost变换器中快时标分叉的实验研究,平均电流控制型Boost功率因数校正器中的中频振荡现象分析。除了对低阶的开关功率变换器非线性现象进行研究，最近，对高阶变换器的非线性动力学行为研究也越来越多。文献[15]对滞环电流模式控制Cuk变换器非线性现象进行了研究，运用实验方法来研究Cuk变换器的混沌现象；文献[16-17]研究了基于滑模控制的SPEIC变换器非线性动力学行为和稳定性分析；对并联的变换器的非线性动力学行为研究也越来越多，文献[18-19]研究了并联Buck和Boost变换器的分叉行为，通过简单的平均模型研究并联Boost变换器低频分叉现象；文献[20]对多级并联电流反馈型DC/DC升压变换器的分叉与混沌进行了研究。参考文献[1]BrockettRW，WoodJR．Understandingpowerconverterchaoticbehaviormechanismsinprotectiveandabnormalmodes[C]．1lthAnnualInternationalPowerElectroniCSConference(Powcrcon’84)，1984，4：1-15．[2]HamillDC，JeffriesDJ．Subhannonicsandchaosinacontrolledswitched-modepowerconverter[J]．IEEETransactionsonCircuitsandSystems-I,1988,35(8):1059-1061．[3]HamillDC,DearieJHB，AstonPJ．Someapplicationsofchaosinpowerconverters[C]．IEEColloquiumonUpdateonPowerElectronicTechniques,HamillDC,1997,1-5.[4]BanerjeeS，ChakrabartyKNonlinearmoddingandbifurcationsintheboostconverter[J]．IEEETransactionsonPowerElectronics，1998，l3(2)：252-260．[5]BcmardoM，BuddC，ChampneysA．Grazing,skippingandsliding：analysisofthenon-smoothdynamicsofthedc／dcbuckconverter[J].Nonlinearity,1998,11:859-890.[6]TseCK．F1ipbifurcationandchaosinthree-stateboostswitchingregulators[J].IEEETransactionsonCircuitsandSystems-I,1994,41(1)：16-23．[7]DrangaO，TseCKIuHHC．Bifurcationbehaviorofapower-factor-correctionboostconverter[J]．InternationalJournalofBifurcationandChaos,2003，13(10)：3107-3114．[8]IuHHC，ZhouY，TseCK．Fast-scaleinstabilityinapfeboostconverterunderaveragecurrent-modecontrol[J]．InternationalJournalofCircuitTheoryandApplications，2003，3l(6)：611-624．[9]RenHP，LiuD．Bifurcationbehavioursofpeakcurrentcontrolledpfcboostconverter[J]．ChinesePhysics,2005,14(7):1352-1358．[10]DaiD，LiS，MaX，eta1．Slow-scaleinstabilityofsingle-stagepower-factorcorrectionpowersupplies[J]．IEEETransactionsOilCircuitsandSystems-I,2007,54(8):1724-1735．[11]ZhangH，MaX，XueB，eta1．Studyofintermittentbifurcationsandchaosinboompfcconvertersbynonlineardiscretemodels[J]．Chaos，SolitonsandFractals，2005,23(2):431444．[12]马西奎,刘伟增，张浩.快时标意义下BoostPFC变换器中的分岔与混沌现象分析[J]．中国电机工程学报,2005,25(5)：61-67．[13]刘伟增，张浩，马西奎．基于频闪映射的BoostPFC变换器中的间歇性分岔和混沌现象分析[J].中国电机工程学报,2005,25(1)：43-48．[14]王发强，张浩，马西奎，等．平均电流控制型Boost功率因数校正变换器中的中频振荡现象分析[J]．物理学报，2009，58(10)：6