非线性泛函分析试卷

第1页共2页西安理工大学研究生试卷考试科目非线性泛函分析命题教师审题教师考试时间2006年11月30日19：00时——21：30时考试方式闭卷学号姓名成绩注：1.命题纸上一般不留答题位置。字、图清楚，请勿超出边框，以便复印。2.考试试题及试卷由任课教师保管三年后才能销毁。一回答下列问题:1（5分）泛函分析中出现了很多收敛概念，其含义是什么？有什么用处？2（5分）泛函中有三个重要定理，它们是什么？各有什么用？3（5分）Banach空间中的分析学的内容是什么？Frechet导数,G导数是什么？它与普通的导数有什么不同？4（5分）详述2[,]Lab空间及其在泛函分析中的重要性。二（10分）对于内积空间H中的规范正交集12,,neee和H中的x，证明函数121(,,)nniiifxe当且仅当(,)(1,2,,)iixein时达到极小值。三（10分）设H是Hi1bet空间，,1nen是其中的规范正交系。证明级数1nnnae按H的范数收敛等价于弱收敛。第2页共2页四（15）认X，Y是线性赋范空间，:TXY是线性算子，则T不是有界的当且仅当存在,0nnxXx使得nTx五（15分）设X和Y是赋范线性空间，:TXY是有界线性算子，且T是满射，若存在正数b，使得对一切xX，都有Txbx证明：1:TYX存在，它也是有界线性算子，并且11Tb六（10分）求函数()fxx在由2(),(),(2),(21)0,1xxxxL张成的空间上的投影，其中100.5101()()10.5100xxxxx其它其它七（10分）设1()[,]uLJab，证明lim()sin0banuxnxdx八（10分）证明：有限维线性赋范空间中的范数都等价，举例说明在无穷维线性赋范空间此结论不一定成立。