重积分的计算方法探讨

重积分的计算方法探讨一、二重积分的计算方法二重积分的基本计算方法有两种，一是化累次积分的方法,二是极坐标的方法。1.化累次积分计算二重积分X型区域D1(x)y2(x)axbdxdyyxfdyxfbaxxD]),([),()()(21Y型区域D1(x)y2(x)cyddcyyDdxyxfdydyxf)()(21),(),(例1计算dxyD其中D是由直线y1、x2及yx所围成的闭区域【解法一】把D看成是X型区域1x21yx于是211][xDdxxydydxy2132112)(21]2[dxxxdxyxx89]24[212124xx，【注】积分还可以写成211211xxDydyxdxxydydxdxy【解法二】也可把D看成是Y型区域1y2yx2于是212][yDdyxydxdxy2132122)22(]2[dyyydyxyy89]8[2142yy例2计算dyxyD221D是由直线y1、x1及yx所围成的闭区域【解】画出区域D可把D看成是X型区域1x1xy1于是122112211xDdyyxydxdyxy1131112322)1|(|31])1[(31dxxdxyxx21)1(32103dxx也可D看成是Y型区域:1y11xy于是111222211yDdxyxydydyxy2利用极坐标计算二重积分有些二重积分积分区域D的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便且被积函数用极坐标变量、表达比较简单这时我们就可以考虑利用极坐标来计算二重积分dyxfD),(若积分区域D可表示为D:1()2()则dfdddfD)()(21)sin,cos()sin,cos(例3计算Dyxdxdye22其中D是由中心在原点、半径为a的圆周所围成的闭区域【解】在极坐标系中闭区域D可表示为:0a02于是DDyxddedxdye222deddeaa020200]21[][22)1()1(212220aaede注此处积分Dyxdxdye22也常写成22222ayxyxdxdye例4求球体x2y2z24a2被圆柱面x2y22ax所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积【解】由对称性立体体积为第一卦限部分的四倍DdxdyyxaV22244其中D为半圆周22xaxy及x轴所围成的闭区域在极坐标系中D可表示为02acos20于是20cos2022224444aDdadddaV)322(332)sin1(33222032ada二、二重积分的计算技巧3.改变累次积分的次序计算二重积分有些题目若把积分区域视为X型积分比较困难，甚至积不出来，但视为Y型区域就好积多了。化累次积分时，除了看积分区域外还应看被积函数。例5计算二重积分2ddDyxyxy，其中D是由直线,1,0yxyx所围成的平面区域.【解】积分区域如右图.因为根号下的函数为关于x的一次函数，“先x后y”积分较容易，所以把D视为Y型区域12200ddddyDyxyxyyyxyx3112220002122dd339yyxyyyyy.例6：(1)求1012xydyedx(2)dtttxfx0sin)(，计算0)(dxxf【评】这两个几分直接计算都是困难的，但交换累次积分的顺序后计算就简单多了。4.分割积分区域计算二重积分绝对值函数、分段函数、取整函数，max()，min()往往在积分区域的不同部分有不同的取值，应根据被积函数合理分割积分区域，以正确计算积分例7设二元函数222,1,1(,),12,xxyfxyxyxy计算二重积分(,)Dfxyd，其中{(,)2}.Dxyxy【解】由区域的对称性和被积函数的奇偶性有1),(4),(DDdyxfdyxf其中1D为D在第一象限的部分.设}1010|),{(11xxyyxD，,}0,021|),{(12yxyxyxD，112),(DDdxdyxfxdxxdx10210102)1(dxxx121,1212221),(DDdyxdyxfcossin2cossin220drd)12ln(2.因此1),(4),(DDdyxfdyxf)12ln(2431.例7设}0,0,2),{(22yxyxyxD，]1[22yx表示不超过221yx的最大整数.计算二重积分Ddxdyyxxy.]1[22【分析】首先应设法去掉取整函数符号，为此将积分区域分为两部分即可.【解】令}0,0,10),{(221yxyxyxD，}0,0,21),{(222yxyxyxD.则Ddxdyyxxy]1[22=122DDxydxdyxydxdydrrddrrd2021310320cossin2cossin=.874381【评】对于二重积分（或三重积分）的计算问题，当被积函数为分段函数时应利用积分的可加性分区域积分.而实际考题中，被积函数经常为隐含的分段函数，如取绝对值函数),(yxf、取极值函数)},(,,(max{yxgyxf以及取整函数],([yxf等等.5.利用函数的奇偶性化简二重积分设函数),(yxf在区域D上连续，则（1）如果),(yxf关于x是奇函数，并且D关于Y轴对称,则Ddxdyyxf0),(；（2）如果),(yxf关于x是偶函数，并且D关于Y轴对称,则右左DDDdxdyyxfdxdyyxfdxdyyxf),(2),(2),(。评论：还有两条类似的结论，（1）能简化二重积分的计算。例8:设区域22(,)1,0Dxyxyx，计算二重积分221dd.1Dxyxyxy【分析】由于积分区域D关于x轴对称，故可先利用二重积分的对称性结论简化所求积分，又积分区域为圆域的一部分，则将其化为极坐标系下累次积分即可.【解】积分区域D如右图所示.因为区域D关于x轴对称，函数221(,)1fxyxy是变量y的偶函数，函数22(,)1xygxyxy是变量y的奇函数.则112222220011ln2dd2dd2dd1112DDrxyxyrxyxyr22dd01Dxyxyxy，故22222211ln2dddddd1112DDDxyxyxyxyxyxyxyxy.【评注】:只要见到积分区域具有对称性的二重积分计算问题，就要想到考查被积函数或其代数和的每一部分是否具有奇偶性，以便简化计算.例9求Ddyyx)(22，其中D是由圆422yx和1)1(22yx所围成的平面区域(如图).【分析】首先，将积分区域D分为大圆}4|),{(221yxyxD减去小圆}1)1(|),{(222yxyxD，再利用对称性与极坐标计算即可.【解】令}1)1(|),{(},4|),{(222221yxyxDyxyxD，由对称性，0Dyd.21222222DDDdyxdyxdyxcos20223220220drrddrrd.)23(916932316所以，)23(916)(22Ddyyx.三、重积分的计算1、用函数奇偶性化简三重积分对称性：若关于xy(yz或zx)面对称，而),,(zyxf是z(x或y)的偶（奇）函数，则1),,(2),,(dVzyxfdVzyxf（0),,(dVzyxf）。例10、①设10,10,11:zyx，求dVxey2sin32；②设1,10:22yxz，求dVyxez3tan322。解：①dVdVxedVxeyy2sin2sin3232积分区域关于yoz面对称，32sinxey为x的奇函数，故0sin32dVxey故原式41122②关于xoz面对称，322tanyxez为y的奇函数，故0tan322dVyxez故31133tan3tan2322322dVdVyxedVyxezz2．用直角坐标计算三重积分在直角坐标系中，可化三重积分为三次积分。设积分域如图，则可表示为Dyxyxzzyxz),(),(),(21故),(),(21),,(),,(yxzyxzDdzzyxfdxdydVzyxf①①式称为计算三重积分的先一后二法。①式可进一步化为),(),()()(2121),,(),,(yxzyxzxyxybadzzyxfdydxdVzyxf②②式即为计算三重积分的三次积分法。也可表示为21),(czcDyxz，故zDccdxdyzyxfdzdVzyxf),,(),,(21③③式称为计算三重积分的先二后一法或切片法。注：用直角坐标计算三重积分的关键是根据积分区域的形状以及被积函数的特点选择适当的积分组合与次序。例11、求xdxdydz，为三个坐标面及平面12zyx所围成的区域。解：10210210)(),(210:xxyyxzDyxyxz先一后二故2101021021010)21(xyxxdyyxxdxdzdyxdxxdxdydz48141322141241)1(1032210102dxxxxdxyyxxx例12、求xyzdxdydz，为球面1222zyx及三个坐标面所围第一卦限部分。解：)(201010)(),(10:2222极坐标先一后二ryxzDyxyxz故DyxDdxdyyxxyzdzxydxdyxyzdxdydz221012122drrrdrdrrrrd10532010220sincos211sincos214816141sin2121202例13、求dxdydzzyxIdxdydzzI2221)(,，由1222222czbyax围成。解：)(1:),(:222222先二后一czcczbyaxDyxzccDccdzczbczazdxdydzzIz2222221113022215412abcdzczzabc由对称性，cabdxdydzybcadxdydzx3232154,154dxdydzzxyzxyzyxI2222222因为关于zoxyozxoy,,面对称，而zxyzxy,,