重积分练习题

第1页共13页第6章重积分练习题习题6.11．设xoy平面上的一块平面薄片Ｄ，薄片上分布有密度为),(yxu的电荷，且),(yxu在Ｄ上连续，请给出薄片上电荷Q的二重积分表达式．2．由平面1342zyx，0x，0y，0z围成的四面体的体积为V，试用二重积分表示V．3．由二重积分的几何意义计算DdyxR222，222:RyxD．4．DdyxfI),(．yyxD2:22，写出I的累次积分式．第2页共13页5．交换下列累次积分的积分顺序：⑴aaxadyyxfdx220),(．⑵31301020),(),(yydxyxfdydxyxfdy．6．计算下列二重积分：⑴Dyxde23．2||,2||:yxD．⑵Ddyx)(22．1||||:yxD．⑶Ddxdyyx221．10,10:yxD．⑷Ddxdyyx)2(21．2,:xyxyD．第3页共13页7．运用极坐标变换计算下列二重积分：⑴Ddxdyyx22．1:22yxD．⑵Ddxdyyx)(22．yyxD6:22．⑶Ddyx)1ln(22．4:22yxD，0x，0y．第4页共13页8．现有一平面薄片，占有xy平面上的区域D，在点),(yx处的面密度为),(yxu，且),(yxu在D上连续，求该平面薄片的重心表达式．9．学习（或复习）物体转动惯量的相关物理知识．探究均匀薄片转动惯量的二重积分表达式，然后计算斜边长为a的等腰直角梯形关于一直角边的转动惯量．习题6.21．在直角坐标系中计算下列三重积分：⑴dxdydzzxyV42．31,20,10:zyxV．第5页共13页⑵dxdydzzyxV)sin(．V由平面0x，0y，0z，2zyx围成．2．在柱面坐标系下计算三重积分dxdydzyxV)(22，其中V由旋转抛物面)(2122yxz及平面2z所围成的立体．3．在球面坐标系中计算三重积分dxdydzzyxzyxV222222cos，222224:zyxV．第6页共13页4．运用三重积分求半径为R的球体的体积．5．运用三重积分求球面zzyx2222和锥面（以z轴为轴，顶角为90）所围部分的体积．6．求曲面zzyx8)(2222围成部分的体积．第7页共13页习题6.31．求球面16222zyx被平面1z和2z所夹部分的面积．2．一段铁丝刚好围成三角形ABC，其中)0,0(A、)0,1(B、)1,0(C，三边上点),(yx处的线密度为yx，求这段铁丝的质量．3．求zds，为圆锥螺线tzttyttxsincos．第8页共13页4．求dsyx22，其中为圆周xyx222．5．计算Lxdyydx，其中L是由点)0,1(沿上半圆122yx到)0,1(．6．)0,0(A，)1,1(B在抛物线2xy上，一质点从A移动到B沿上．在点),(yx处所受的力F等于该点到原点的距离，且指向原点，求力F所作的功半圆．7．利用格林公式计算：dyyxdxyx)()(222，为区域10x，xyx2的正向边界曲线．第9页共13页8．计算ydxxdyxy22，其中为圆周122yx．9．计算球面的质量m，已知球半径为1，球面上各点密度等于这点到铅直直径的距离．10．计算SdSzyx)(．4:222zyxS，0z．11．计算SzdS．S是平面1zyx在第一卦限部分．第10页共13页12．计算Szdxdyydxdzxdydz．S为球面1222zyx的外表面．13．用高斯公式计算上面第12题．复习题六一、判断题（正确的打“√”，错误的打“×”）1．若0),(yxf，则Ddxdyyxf),(的几何意义是以区域D为底、曲面),(yxfz为曲顶的曲顶柱体的体积．（）2．若设}11,10|),{(yxyxD，则0dxdyxeDxy．（）3．若设D是由1yx、1yx和0y所围成的区域，则有dxdyxyDdyxydxxx1011．（）4．101ln0),(),(eeexydxyxfdydyyxfdx．（）5．若设L是围成区域D的边界曲线，则dyyxQdxyxPL),(),(dyQxPD)(．（）二、填空题1．设}2||,1|||),{(yxyxD，则Ddxdy．2．设}14|),{(22yxyxD，则Ddxdy．第11页共13页3．设}|),{(222RyxyxD，由重积分的几何意义得DdyxR222．4．若drrrfrddyyxfdxaaxa000)sin,cos(),(22，则),(．5．设L为椭圆14922yx的正向边界，Lydyxdxcos3．三、选择题1．若D是由kxy)0(k，0y和1x围成的三角形区域，且Ddxdyxy1512，则k（）A．1B．354C．3151D．3522．将极坐标系下的二次积分drrrfrdIsin200)sin,cos(化为直角坐标系下的二次积分，则I（）A．11111122),(yydxyxfdyB．202222),(xxxxdyyxfdxC．112222),(yyyydxyxfdyD．11111122),(xxdyyxfdx3．二次积分20142),(xdyyxfdx交换积分次序为（）A．2014),(ydxyxfdyB．2040),(ydxyxfdyC．1040),(ydxyxfdyD．1024),(ydxyxfdy4．若D是由2xy和2yx所围成的区域，L为区域D的正向边界，则Ldxydyx222131=（）A．143B．91C．41D．52415．若L是围成平面内一闭区域D的正向边界曲线，则曲线积分Lxydyxdxxe2可化为二重积分（）A．Dxydxex)2(2B．Dxydexx)2(2第12页共13页C．Dxyxydexe)(2D．Dxyxydexe)(2四、解答题1．区域D是由抛物线yx，直线0x和0223yx围成，计算Dxdxdy的值2．设}|),{(222yxyxD，求二重积分Ddxdyyx22sin3．计算dyyedxyyexLx)1cos()sin(，其中Ｌ是圆周xyx422，且正向为逆时针方向第13页共13页4．求半径为R，高为H)(RH的球冠面积5．求两个底面半径相等的直交圆柱面222Ryx与222Rzx所围成的立体的体积