非齐次边界条件的处理1

教学重点：掌握非齐次边界条件问题转化为齐次边界条件问题的方法处理原则：利用叠加原理，把非齐次边界条件问题转化另一未知函数的齐次边界条件问题。3.3非齐次边界条件的处理20000(1)(),()(2)(),()(3)ttxxxxltttuauututuxux(一)一般处理方法例：自由振动问题0(,)()()()()()()0()()()()()()()()()(,)()[()()](4)xxlvxtAtxBtBttvtAtBttttvtAtlBttAtlxvxttttl可选取一个函数使之满足边界条件(2)20000(1)(),()(2)(),()(3)ttxxxxltttuauututuxux22000000(,)(,)(,)(5)0(),()(),()ttxxttxxxxxlxlttttttuxtvxtwxtwawvavvwtvwtvwxvwx利用叠加原理，令将(4)(5)代入(1)(2)(3)中(,)()[()()](4)xvxttttl2000''()[''()''()]0,0()(0)[(0)(0)]()'(0)['(0)'(0)]ttxxxxltttxwawtttlwwxwxlxwxl这样边界条件化为齐次的了，但是泛定方程却变为非齐次的，接着可参照非齐次方程的求解过程进行。02(),()(,)()()xxxxlututvxtAtxBtx若为第二类非齐次边界条件：可设这样无论弦振动方程是否齐次，边界条件是否齐次，最终可用分离变量法求解。0,0xxlAsint例：弦的端固定，端受迫作简谐振动弦的初始位移和初始速度都为，求解弦的振动。(,)()()()0,()sin/sin(,)vxtBtAtxBtAtAtlAtvxtxl设20000(1)0,(2)0,0(3)ttxxxxltttuauuuAsintuu解：22000(,)(,)(,)sin0,00,ttxxxxltttuxtvxtwxtAwawxtlwwAwwxl令接下来用求解非齐次泛定方程的方法求解。20,(,)()(,)()(,)0,(,)0,ttxxxxlxlAsintvxtxlXxsintvxtXxsintuxtvavuxtvvAsint（二）特殊处理方法——特解法因为求解的是弦在端受迫作简谐振动的情况下的振动它一定有一个特解，满足齐次方程(1)、非齐次边界条件(2)，且跟端同步振动，即具有形式的解。可设为的一个特解。即满足与具有相同的边界条件（），这样做可使(,)(,)(,)(,)uxtvxtwxtwxt中的满足齐次泛定方程、齐次边界条件。(,)()sin,vxtXxt设代入(1)(2)20000(1)0,(2)0,0(3)ttxxxxltttuauuuAsintuu220''00,xxlXXaXXA()cos()sin()(0)0,()sin()/sinXxCxDxaaXCllXlDADAaa(,)sinsinsinAxvxttlaa(,)(,)(,)sinsin(,),sinAxuxtvxtwxttwxtlaa令代入(1)(2)(3)得：20000(1)0,(2)0,0(3)ttxxxxltttuauuuAsintuu200000,0sin(/)0,sin(/)ttxxxxltttwa22221(,)()sin''()()0nnnnnxnawxtTtTtTtll由边界条件可设1(,)[cossin]sinnnnnananxwxtAtBtlll1(,0)sin00nnnnxwxAAl由初始条件，11222220sin(/)(,0)sinsin(/)2sin(/)2sin(1)sin(/)tnnlnnnanxAxawxBlllalAxanxAlaBdxnallallna112222211222221(,)sinsin2(1)sinsinsinsin2(1)nnnnnnnatnxwxtBllAlanatnxlnallnatnxllAlalna1222221sinsinsin(,)(,)(,)sin2(1)sinnnxnatnxAalluxtvxtwxttAlallnaa