量子力学第1章

第一章量子力学的诞生1.1设质量为m的粒子在谐振子势2221)(xmxV中运动，用量子化条件求粒子能量E的可能取值。提示：利用)]([2,,2,1,xVEmpnnhxdp)(xV解：能量为E的粒子在谐振子势中的活动范围为ax（1）其中a由下式决定：2221)(amxVEax。a0ax由此得2/2mEa，（2）ax即为粒子运动的转折点。有量子化条件hnamamdxxamdxxmEmdxpaaaa222222222)21(22得mnmnha22（3）代入（2），解出,3,2,1,nnEn（4）积分公式：cauauauduuaarcsin22222221.2设粒子限制在长、宽、高分别为cba,,的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。解：除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动。假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性碰撞。动量大小不改变，仅方向反向。选箱的长、宽、高三个方向为zyx,,轴方向，把粒子沿zyx,,轴三个方向的运动分开处理。利用量子化条件，对于x方向，有,3,2,1,xxxnhndxp即hnapxx2（a2：一来一回为一个周期）ahnpxx2/,同理可得，bhnpyy2/,chnpzz2/,,3,2,1,,zyxnnn粒子能量222222222222)(21cnbnanmpppmEzyxzyxnnnzyx,3,2,1,,zyxnnn1.3设一个平面转子的转动惯量为I，求能量的可能取值。提示：利用,,2,1,20nnhdpp是平面转子的角动量。转子的能量IpE2/2。解：平面转子的转角（角位移）记为。它的角动量.Ip（广义动量），p是运动惯量。按量子化条件,3,2,1,220mmhpdxpmhp，因而平面转子的能量ImIpEm2/2/222，,3,2,1m1.4有一带电荷e质量m的粒子在平面内运动,垂直于平面方向磁场是B,求粒子能量允许值.(解)带电粒子在匀强磁场中作匀速圆周运动,设圆半径是r,线速度是v,用高斯制单位，洛伦兹与向心力平衡条件是:rmvcBev2(1)又利用量子化条件,令p电荷角动量q转角nhmrvmrvdpdq220(2)即nhmrv(3)由(1)(2)求得电荷动能=mcnBemv2212再求运动电荷在磁场中的磁势能,按电磁学通电导体在磁场中的势能=cBrevcc*****2场强线圈面积电流场强磁矩,v是电荷的旋转频率,rvv2,代入前式得运动电荷的磁势能=mcnBe2(符号是正的)点电荷的总能量=动能+磁势能=E=mcnBe2(3,2,1n)1.5，1.6未找到答案1.7（1）试用Fermat最小光程原理导出光的折射定律2211sinsinnn（2）光的波动论的拥护者曾向光的微粒论者提出下述非难：如认为光是粒子，则其运动遵守最小作用量原理0pdl认为mvp则0pdl这将导得下述折射定律1331sinsinnn这明显违反实验事实，即使考虑相对论效应，则对自由粒子：2cEvp仍就成立，E是粒子能量，从一种媒质到另一种媒质E仍不变，仍有0pdl，你怎样解决矛盾？（解）甲法：光线在同一均匀媒质中依直线传播，因此自定点A到定点B的路径是两段直线：光程QBAQInn21设A，B到界面距离是a,b(都是常量)有2211secsecbaInn又AB沿界面的投影c也是常数，因而1，2存在约束条件：cbtgatg21（2）求(1)的变分,而将1,2看作能独立变化的,有以下极值条件0secsec22221111dtgbtgaIndn(3)再求（2）的变分0secsec222112cdbad(3)与(4)消去1d和2d得2211sinsinnn(5)[乙法]见同一图,取x为变分参数,取0为原点，则有:)(222221xcbxaInn求此式变分,令之为零,有：0)()(222221xcbxxcxaxxInn这个式子从图中几何关系得知,就是(5).(2)按前述论点光若看作微粒则粒子速度v应等于光波的群速度vG光程原理作0dlvG,依前题相速vvGpc2,而cncvvpG2,n是折射率,n是波前阵面更引起的,而波阵面速度则是相速度vp,这样最小作用量原理仍可以化成最小光程原理.0ndl前一非难是将光子的传播速度v看作相速度vp的误解.1.8对高速运动的粒子(静质量m)的能量和动量由下式给出:2221cvmcE(1)2221cvmvp(2)试根据哈密顿量2242pccmEH(3)及正则方程式来检验以上二式.由此得出粒子速度和德布罗意的群速度相等的关系.计算速度并证明它大于光速.(解)根据(3)式来组成哈氏正则方程式组:pqiiH,本题中vqi,ppi,因而224222242pccmpcpccmpv(4)从前式解出p(用v表示)即得到(2).又若将(2)代入(3),就可得到(1)式.其次求粒子速度v和它的物质波的群速度vG间的关系.运用德氏的假设:kp于(3)式右方,又用E于(3)式左方,遍除h:)(22242kkccm按照波包理论，波包群速度vG是角频率丢波数的一阶导数：22242kccmkvG=22422222422pccmpckccmkc最后一式按照（4）式等于粒子速度v，因而vvG。又按一般的波动理论，波的相速度vG是由下式规定kvp（是频率）利用（5）式得知cckcmvp22242（6）故相速度（物质波的）应当超过光速。最后找出vG和vp的关系，将（1）（2）相除，再运用德氏波假设：vGcvckpE22，vvGpc2（7）补充：1.1设质量为m的粒子在一维无限深势阱中运动，axaxxxV0,0,0,)(试用deBroglie的驻波条件，求粒子能量的可能取值。解：据驻波条件，有),3,2,1(2nnana/2（1）又据deBroglie关系/hp（2）而能量,3,2,12422/2/2222222222nmanamnhmmpE（3）[1]试用量子化条件,求谐振子的能量[谐振子势能2221)(xmxV](解)(甲法)可以用Wilson-Sommerfeld的量子化条件式:nhpdq在量子化条件中,令xmp为振子动量,xq为振子坐标,设总能量E则22222xmmPE)2(222xmEmp代入公式得:nhdxxmEm)2(222量子化条件的积分指一个周期内的位移,可看作振幅OA的四倍,要决定振幅a,注意在A或B点动能为0,2221amE,(1)改写为:nhdxxamaa222(2)积分得:nham2遍乘21得nhE2[乙法]也是利用量子化条件,大积分变量用时间t而不用位移x,按题意振动角频率为,直接写出位移x,用t的项表示:taxqsin求微分:tdtadxdqcos(4)求积分:tmaxmpcos(5)将(4)(5)代量子化条件:nhtdtmapdqT0222cosT是振动周期,T=2,求出积分,得nham2nnhE23,2,1n正整数#[2]用量子化条件,求限制在箱内运动的粒子的能量,箱的长宽高分别为.,,cba(解)三维问题,有三个独立量子化条件,可设想粒子有三个分运动,每一分运动是自由运动.设粒子与器壁作弹性碰撞,则每碰一次时,与此壁正交方向的分动量变号(如ppxx),其余分动量不变,设想粒子从某一分运动完成一个周期,此周期中动量与位移同时变号,量子化条件:ppnqpxaxxxxadxhd220(1)ppnqpybyyyybdyhd220(2)ppnqpzczzzzcdzhd220(3)pppzyx,,都是常数,总动量平方222zyxpppp总能量是:)(2122222zyxpppmmpE=])2()2()2[(21222chbhahmnnnzyx=])()()[(82222cbamhnnnzyx但3,2,1,,nnnzyx正整数.#[3]平面转子的转动惯量为,求能量允许值.(解)解释题意:平面转子是个转动体,它的位置由一坐标（例如转角）决定,它的运动是一种刚体的平面平行运动.例如双原子分子的旋转.按刚体力学,转子的角动量,但是角速度,能量是221E利用量子化条件,将p理解成为角动量,q理解成转角,一个周期内的运动理解成旋转一周,则有nhdpdq220(1)(1)说明是量子化的(2)nnh2(3,2,1n……..)(2)(3)代入能量公式,得能量量子化公式:2)(2212222nnE(3)#