量子力学试卷

模拟试卷一一、名词解释（本题40分，每小题5分）1．波粒二象性2、测不准原理3、定态波函数4、算符5、隧道效应6、宇称7、Pauli不相容原理8、全同性原理二、问答题（本题28分，每小题7分）1、波函数有哪些性质？2、变分法求能量的步骤有哪几步？3、对称波函数和反对称波函数有何区别，举例说明。4、以两个相同粒子（a,b）分配给3种状态为例，说明三种统计方法的不同。三、计算题（本题32分，每小题8分）1、试将笛卡尔坐标转化为球极坐标，写出推导过程。2、一粒子在一维势场axaxxxU，，，000)(中运动，求粒子的能级和对应的波函数。3、试根据热力学公式推导出麦氏关系。4、根据公式lllVaP证明，对于非相对论粒子：)()2(21222222zyxnnnLmmps，zyxnnn,,=0，±1，±2，…，有VUp32上述结论对玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都成立。答案：一、名词解释（本题40分，每小题5分）1．波粒二象性：一切微观粒子均具有波粒二象性（2分），满足hE（1分），hP（1分），其中E为能量，为频率，P为动量，为波长（1分）。2、测不准原理：微观粒子的波粒二象性决定了粒子的位置与动量不能同时准确测量（2分），其可表达为：2/Pxx，2/Pyy，2/Pzz（2分），式中（或h）是决定何时使用量子力学处理问题的判据（1分）。3、定态波函数：在量子力学中，一类基本的问题是哈密顿算符不是时间的函数（2分），此时，波函数)t,r(可写成r函数和t函数的乘积，称为定态波函数（3分）。4、算符使问题从一种状态变化为另一种状态的手段称为操作符或算符（2分），操作符可为走步、过程、规则、数学算子、运算符号或逻辑符号等（1分），简言之，算符是各种数学运算的集合（2分）。5、隧道效应在势垒一边平动的粒子，当动能小于势垒高度时，按经典力学，粒子是不可能穿过势垒的。对于微观粒子，量子力学却证明它仍有一定的概率穿过势垒（3分），实际也正是如此（1分），这种现象称为隧道效应（1分）。6、宇称宇称是描述粒子在空间反演下变换性质的相乘性量子数，它只有两个值＋1和－1（1分）。如果描述某一粒子的波函数在空间反演变换(r→－r)下改变符号，该粒子具有奇宇称(P＝－1)（1分），如果波函数在空间反演下保持不变，该粒子具有偶宇称(P＝＋1)（1分），简言之，波函数的奇偶性即宇称（2分）。7、Pauli不相容原理自旋为半整数的粒子（费米子）所遵从的一条原理，简称泡利原理（1分）。它可表述为全同费米子体系中不可能有两个或两个以上的粒子同时处于相同的单粒子态（1分）。泡利原理又可表述为原子内不可能有两个或两个以上的电子具有完全相同的4个量子数n、l、ml、ms，该原理指出在原子中不能容纳运动状态完全相同的电子，即一个原子中不可能有电子层、电子亚层、电子云伸展方向和自旋方向完全相同的两个电子（3分）。8、全同性原理：全同粒子的不可区分性（1分）使得其组成的体系中，两全同粒子相互代换不引起物理状态的改变（4分）。二、问答题（本题28分，每小题7分）1、波函数有哪些性质？答：波函数有以下性质：（1）波函数表示粒子运动的某一状态，与该状态对应的能量为E（1分）；（2）2代表几率密度，且1dv2（1分）；（3）波函数的标准条件为：单值、连续、有限（3分）；（4）服从态的迭加原理（1分）；（5）本征波函数具有正交性（1分）。2、变分法求能量的步骤有哪几步？答：（1）选取试探波函数,...),(21，,...,21为变分参数（1分）；（2）利用0**EdvdvHˆE求出Hˆ的平均值，,...),(EE21（2分）；（3）对E求参数,...,21的偏导，并令为0，联立求解参数,...,21,即可求得E取最小值时的变分参数,...,21（2分）；（4）设,...,21为一组近似波函数，取...1211＋＋代入0**EdvdvHˆE即可求出,...,21EE，其中最小的即为基态能量0E的上限（近似0E值）（2分）。3、对称波函数和反对称波函数有何区别，举例说明。根据全同粒子定义和全同性原理（1分），对于波函数）（nkiqqqq,..,...,,..,1，对调任意两个坐标后有：2121,..,...,,..,,..,...,,..,）（）（niknkiqqqqqqqq因此，）（）（）（）（niknkiniknkiqqqqqqqqqqqqqqqq,..,...,,..,,..,...,,..,,..,...,,..,,..,...,,..,1111，分别称为对称波函数和反对称波函数(2分)。自旋动量矩为整数的波色子，如光子，介子和氦原子等可用对称波函数描述（2分），而自旋动量矩为半整数的费米子，如电子，质子和中子等可用反对称波函数描述(2分)。4、以两个相同粒子（a,b）分配给3种状态为例，说明三种统计方法的不同。答：玻尔兹曼系统：粒子可分辨，每个个体量子态能容纳的粒子数不限（1分）；费米系统：粒子不可分辨，每个个体量子态最多能容纳一个粒子（1分）；波色系统：粒子不可分辨，每个个体量子态能容纳的粒子数不限（1分）。个体量子态微观状态数No.123M-BF-DB-A123456789ab//abab///ab/ba//ab//ab//baba111111111///111111111微观状态总数936（4分）三、计算题（本题32分，每小题8分）1、试将笛卡尔坐标转化为球极坐标，写出推导过程。解：假定平面上一点可以用二维极坐标),(R来标记，则它们与直角坐标的关系（1分）：xytanyxRRsinyRcosx22R于是可得到：Rcosy,Rsinx,sinRyyR,cosRxxR（1分）根据复合函数求导公式，如果设y,x，则（1分）(2)RcossinRyyRRy(1)RsincosRxxRRx进行二次求导，可得（2分）：(3)R1RR1RyxRcosRRcosRcossin2RcossinR2sinR)RcossinRcosRcosRRcossinR()RcossinRcossinRsinR()Rcos)(RsinRcoscosRsinR(sin)RcosRcosRsinR(y)RcossinR(yR)RcossinR(Ry)y(yR)y(RyRsinRsinRRcossin2RcossinR2cosR)Rsin)(RcosRsinsinRcosR(cos)RsinRsinRcosR(x)RsincosR(xR)RsincosR(Rx)x(xR)x(Rx22222222222222222222222222222222222222222222222222222222222将上述变换再在MON平面内重复进行一次，一个空间极坐标变化可分解为二个平面极坐标变换之综合，即（1分）rcoszrsinRzzRsinyRcosxrcoszsinrsinycosrsinx和zrYφRx因此，第二次变换中的r,,R,z就分别和第一次变换中的R,,y,x相当，故由(3)式即得（1分）：r1rr1rRz222222222（4）由（2）即得（1分）：rcossinrR（5）将（4）、（5）式代入（3）式，对)z,y,x(有：（1分）222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222sinr1)sin(sinr1)rr(rr1sinr1)sinrcosr1()r2rr(sinr1)sinrcosr1()r1rr1rr(rsin1)rcossinr(sinr1)r1rr1r(R1RR1RzyxR1)rcossinr(R1)zr1rr1r(R1RR1Ryx所以，22222222222222sinr1)sin(sinr1)rr(rr1zyx2、一粒子在一维势场axaxxxU，，，000)(中运动，求粒子的能级和对应的波函数。解：txU与)(无关，是定态问题。其定态S—方程（2分）)()()()(2222xExxUxdxdm在各区域的具体形式为（1分）Ⅰ：)()()()(20111222xExxUxdxdmx①Ⅱ：)()(2022222xExdxdmax②根据波函数的标准条件确定系数A，B，由连续性条件，得（2分）)0()0(12⑤)()(32aa⑥⑤0B⑥0sinkaA),3,2,1(0sin0nnkakaA∴xanAxsin)(2由归一化条件（2分）1)(2dxx得1sin022axdxanA由mnabaxdxanxam2sinsinxanaxaAsin2)(22222mEk),3,2,1(22222nnmaEn可见E是量子化的。（1分）对应于nE的归一化的定态波函数为axaxaxxeanatxtEinn,,00,sin2),(3、试根据热力学公式推导出麦氏关系。解：对一个体系而言，有热力学公式：（2分）TS-HGTS,-UFPV,UHW,QU对上式进行微分可得：（2分）(4)SdT-TdS-dHdG(3)SdT-TdS-dUdF(2)VdPPdVdUdH(1)PdVTdSδWδQdU将（1）式代入（2）、（3）和（4）式中，得：（2分）(7)SdT-VdPdG(6)SdT-PdVdF(5)VdPTdSdH根据状态函数的性质，对（1）、（5）、（6）和（7）有麦氏关系：（2分）)11()PS()TV()10()VS()TP((9)P)SV()PT((8))SP()VT(TPTVSVS4、根据公式lllVaP证明，对于非相对论粒子：)()2(21222222zyxnnnLmmps，zyxnnn,,=0，±1，±2，…，有VUp32上述结论对玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都成立。解：lllVaP=