量子力学试题B答案

试题编号：重庆邮电大学2008-2009学年第二学期量子力学试卷（期末）（B卷）（闭卷）题号一二2.12.22.32.4总分得分评卷人一、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1、A,B两束光，A的波长9310Am，B的波长10410Bm，请问哪束光的能量更高？A.2、微观粒子的波函数应满足的三个标准条件是单值性，连续性，有限性.3、一粒子的波函数2()3xxxe，请问该粒子是否处在动量的本征态？否.4、粒子穿过方势垒，请问透射系数随着势垒的加高减小还是增大？减小..5、假如两力学量算符具有共同的本征函数，则此这个算符是否对易？对易.6、对易关系2ˆ[,]0zLL，ˆˆˆ[,]xyzLLiL，ˆˆˆ[,]xLyiz.7、已知,xxpi,则xxp2.8、算符在其自身表象中的表示是否为对角矩阵？是.9、已知泡利算符分量1001z，x,y的矩阵表达式分别为0110x，00yii.10、写出氧原子（原子序数8z）的电子排布:224122ssp.二、解答题（本大题共6小题，共70分）1、(10分)一粒子在一维势场,0,()0,0,xUxxaxa中运动，求粒子的能级和对应的波函数。解：一位无限深势阱中，定态薛定谔方程)()(2)(222xEUdxxd（1）（2分）在阱外，0,xxa,)(xU，若波函数ox)(,由(1)式得22dxd,这是没有意义的。因此,在阱外必有0)(x。（2分）在阱内,ax0,,0)(xU令222Ek,由(1)式得0222kdxd.(2)上式的通解是kxBkxAxcossin)(,(3)BA,是两个待定常数.由于)(x在边界处连续,有,0)0(B且0)(sinakaA.由于0A,否则只能有零解,故ank,,2,1n.将粒子波函数kxAxsin)(代入归一化条件adxxx01)()(,积分得aA2,所以,归一化波函数为axnaxnsin2)(.(4)（5分）粒子能量为22222Ena.(5)（3分）2、(10分)粒子状态处于一维谐振子的基态22221/2(,)xitxte试求平均值x和动量的几率分布函数。（利用积分公式：2xedx）解：平均值x为222222*22221/21/2()()0xixittxxxxxdxexedxxedx（4分）因为动量的本征函数为1()2ipxpxe，所以dxxxpcp)()()(*212212iixtPxeedx2212212iixtPxeedx2222221()22212ippixteedx2222221()22212pipixteeedx22222122pitee222221pite（4分）动量几率分布函数为2221)()(2pepcp（2分）3、(20分)有二个物理量，它们的矩阵表示为：0101012010xL,1000002001zL(1)如果测量zL，得到的可能的值是什么？解：zL的久期方程为002000.().()022002123022，，∴ˆzL的本征值为022，，（3分）(2)求zL的本征函数。解：ˆzL的本征方程1122331000002001aaaaaa（1分）其中123aaa设为ˆzL的本征函数。当01时，有1231000000020010aaa1133000020aaaa=由归一化条件222201(0,,0)0aaa，所以21a∴1010（2分）当22时，有11223310000022001aaaaaa112233300,0aaaaaaa由归一化条件12*111(,0,0)00aaa，所以11a∴2100（2分）当32时，有11223310000022001aaaaaa112123300,0aaaaaaa由归一化条件233301(0,0,)0aaa，所以31a∴3001（2分）(3)求xL的本征值。解：xL的久期方程为00202202233210，，∴xLˆ的本征值为，，0（3分）(4)求xL的本征函数。解：xLˆ的本征方程3213210101010102aaaaaa其中设xLˆ的本征函数321aaa.（1分）当01时，有0000101010102321aaa000022132312aaaaaaa，∴1100aa由归一化条件2111*1*10020),0,(1aaaaa.取211a112012（2分）当2时，有3213210101010102aaaaaa13321232123122221)(2121aaaaaaaaaaaaa∴1112aaa由归一化条件21111*1*1*142),2,(1aaaaaaa.取211a∴2121212。（2分）当3时，有3213210101010102aaaaaa13321232123112221)(2121aaaaaaaaaaaaa∴1112aaa由归一化条件21111*1*1*142),2,(1aaaaaaa.取211a∴3121212。4、(10分)设一体系未受微扰作用时有三个能级：0012,EE，现在受到微扰/ˆH的作用，微扰矩阵元为/abHba，a和b都是实数，用微扰公式求能量12,EE至二级修正值。解：因为/abHba，由微扰论公式2(0)(0)(0)||mnnnnnmnmHEEHEE（2分）可得2200111111100002112200211100001212||||||mmmmmmHHEEHEaEEEEHbEaEaEEEE(4分)2200222222200001222200122200002121||||||mmmmmmHHEEHEaEEEEHaEbEbEEEE(4分)5、(10分)证明轨道角动量满足22zzLLLLL.（其中xyLLiL）证明：222222222222222222()()().zzzxyxyzzxxyyxyzzxxyyxyzzxzyzzxzyzzxyLLLLLLiLLiLLLLiLLiLLLLLLiLLLLLLLLiiLLLLLLLLLLLL6、(10分)简述量子力学的基本假设。答：(1)微观体系的状态用波函数完全描述。（2分）(2)体系的状态波函数满足薛定鄂方程：ˆiHt.（2分）(3)力学量与力学量算符关系的假设：力学量用厄密算符表示，它的本征函数组成完全系，当体系处于波函数()x时，()x可用某力学量算符ˆF的本征函数()n展开，()nnnxc，测量力学量ˆF所得的数值必是算符ˆF的本征值之一n，测得n的几率为2nc.（4分）(4)全同性原理：在全同粒子组成的体系中，两全同粒子相互调换不改变体系的状态.（2分）