量子试题及习题

量子力学习题第一章绪论1.1由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m与温度T成反比，即mT=b(常量）；并近似计算b的数值，准确到二位有效数字。1.2在0K附近，钠的价电子能量约为3eV，求其德布罗意波长。1.3氦原子的动能是E=3kT/2（k为玻耳兹曼常数），求T=1K时，氦原子的德布罗意波长。1.4利用玻尔－索末菲的量子化条件，求：（1）一维谐振子的能量；（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。已知外磁场H=10特斯拉，玻尔磁子MB=9×10-24焦耳/特斯拉，试计算动能的量子化间隔E，并与T=4K及T=100K的热运动能量相比较。1.5两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对。如果两光子的能量相等，问要实现这种转化，光子的波长最大是多少？第二章波函数和薛定谔方程2.1由下列两定态波函数计算几率流密度：(1)1=eikr/r,(2)2=e-ikr/r.从所得结果说明1表示向外传播的球面波，2表示向内（即向原点）传播的球面波。2.2一粒子在一维势场axaxxxU00,,0,)(中运动，求粒子的能级和对应的波函数。2.3求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置。2.4一粒子在一维势阱axaxUxU,0,0)(0中运动，求束缚态(0EU0)的能级所满足的方程。2.5对于一维无限深势阱(0xa)中的定态n(x)，求x、2x和x，并与经典力学结果比较。2.6粒子在势场xaaxxVxV00,0,,)(0中运动，求存在束缚态(E0)的条件(，m，a，V0关系)以及能级方程。2.7求二维各向同性谐振子[V=21k(x2+y2)]的能级，并讨论各能级的简并度。2.8粒子束以动能E=mk222从左方入射，遇势垒00,,0)(0xxVxV求反射系数、透射系数。EV0及EV0情形分别讨论。2.9质量为m的粒子只能沿圆环（半径R）运动，能量算符22222ˆddmRH，为旋转角。求能级(En)及归一化本征波函数n()，讨论各能级的简并度。第三章基本原理3.1一维谐振子处在基态tixex222122)(，求：(1)势能的平均值2221xU；(2)动能的平均值22pT；(3)动量的几率分布函数。3.2设t=0时，粒子的状态为(x)=A[sin2kx+21coskx]，求此时粒子的平均动量和平均动能。3.3在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为a，如果粒子的状态由波函数(x)=Ax(a-x)描写，A为归一化常数，求粒子能量的几率分布和能量的平均值。3.4证明：如归一化的波函数(x)是实函数，则xpx=i/2；如=(r)（与，无关），则rr=3/2。3.5计算对易式[x,Ly]，[pz,Lx]，并写出类似的下标轮换式(xy,yz,zx)。3.6证明算符关系pipLLprirLLr223.7设F为非厄米算符(F+F)，证明F可以表示成A+iB的形式，A、B为厄米算符。求A、B与F、F+之关系。3.8一维谐振子(V1=21kx2)处于基态。设势场突然变成V2=kx2，即弹性力增大一倍。求粒子在V2场中的能级以及此粒子在新势场的基态中出现的几率。3.9有线性算符L、M、K，[L,M]=1，K=LM。K的本征函数、本征值记为n、n(n=1,2,...)。证明：如函数Mn及Ln存在，则它们也是K的本征函数，本征值为(n1)。3.10证明：如H=2p/2m+V(r)，则对于任何束缚态p=0。3.11粒子在均匀电场中运动，已知H=2p/2m-qx。设t=0时x=0，xp=p0，求x(t)，xp(t)。3.12粒子在均匀磁场B=(0,0,B)中运动，已知H=2p/2mLz，=qB/2mc。设t=0时p=(p0,0,0)，求t0时p。3.13粒子在势场V(r)中运动，V与粒子质量m无关。证明：如m增大，则束缚态能级下降。第四章中心力场4.1证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在球极坐标中的分量是Jer=Je=0,Je=2sinmnlrme。4.2由上题可知，氢原子中的电流可以看作是由许多圆周电流组成的。(1)求一圆周电流的磁矩。(2)证明氢原子磁矩为)()(22CGSSIcmemeMMz原子磁矩与角动量之比为)()(22CGSSIceeLMzz这个比值，称为回转磁比率。4.3设氢原子处于状态),,()(23),()(21),,(11211021YrRYrRr求氢原子能量、角动量平方及角动量z分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。4.4利用测不准关系估计氢原子的基态能量。4.5对于类氢离子的基态100，求概然半径（最可几半径）及,r2r。4.6对于类氢离子的nlm态，证明T=21V=En。4.7对于类氢离子的基态100，计算x,px，验证不确定关系2xpx。4.8单价原子中价电子（最外层电子）所受原子实（原子核及内层电子）的库仑作用势可以近似表示成10,)(2022raererV试求价电子能级。与氢原子能级比较，列出主量子数n的修正数公式。[提示：将V(r)中第二项与离心势合并，记成222/)1(rll，计算(ll)之值，...]。第五章表象理论5.1设n，k是厄米算符Hˆ的本征态矢，相应于不同的本征值。算符Fˆ与Hˆ对易。证明kFn=0。5.2质量为的粒子在势场V(x)中作一维运动，设能级是离散的。证明能量表象中求和规则2)(222nxiknkenEE(为实数)。5.3对于一维谐振子的能量本征态n，利用升、降算符计算T、V、x、p。5.4设J为角动量，n为常矢量，证明[J,n·J]=in×J5.5对于角动量J的jm态（2J,Jz共同本征态），计算Jx、Jy、Jx2、Jy2等平均值，以及Jx、Jy。5.6设n（单位矢量）与z轴的夹角为，对于角动量J的jm态，计算Jn（即n·J的平均值）。5.7以lm表示2L，Lz共同本征态矢。在l=1子空间中，取基矢为11,10,11,建立2L，Lz表象。试写出Lx及Ly的矩阵表示（3阶），并求其本征值及本征态矢（取=1）。*5.8对于谐振子相干态(a=,为实数)，计算EEnn，，，，ppxx，，，。第六章微扰理论6.1如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为r0，电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。6.2转动惯量为I、电偶极矩为D的空间转子在均匀电场中，如果电场较小，用微扰法求转子基态能量的二级修正。6.3设一体系未受微扰作用时只有两个能级E01及E02，现在受到微扰'ˆH的作用。微扰矩阵元为H’12=H’21=a,H’11=H’22=b;a,b都是实数。用微扰公式求能量至二级修正值。6.4一电荷为e的线性谐振子受恒定弱电场作用，设电场沿正x方向：(1)用微扰法求能量至二级修正；(2)求能量的准确值，并和(1)所得结果比较。6.5设在t=0时，氢原子处于基态，以后由于受到单色光的照射而电离。设单色光的电场可以近似地表示为sint，及均为常量；电离后电子的波函数近似地以平面波表示。求这单色光的最小频率和在时刻t跃迁到电离态的几率。6.6基态氢原子处于平行板电场中，若电场是均匀的且随时间按指数下降，即00;0,,00ttet求经过长时间后氢原子处在2p态的几率。6.7计算氢原子由第一激发态到基态的自发发射几率。6.8求线性谐振子偶极跃迁的选择定则。6.9粒子（质量）在无限深势阱0xa中运动，处于能量本征态n(x)。后受到微扰作用，H’=x,(a)求跃迁选择定律(nn’，n’n=?)；(b)利用定态微扰论，求能级En的一级修正。6.10用变分法求氢原子(V=e2/r)或三维各向同性谐振子(V=212r2)的基态能量近似值（二者选一）。(a)取试探波函数为(,r)=Aexp(r);(b)取试探波函数为(,r)=Bexp(2r2)。6.11质量为的粒子在势场V(x)=kx4(k0)中作一维运动。试用变分法求基态能量近似值。建议取试探波函数(,r)=Aexp(2r2)。6.12某量子力学体系处于基态1(x)。t0后受到微扰作用，H’(x,t)=F(x)et/，试证明：长时间后(t)该体系处于激发态n(x)的几率为]/)/[(222121EEFnn第七章自旋7.1证明izyxˆˆˆ。7.2求在自旋态)(21zs中，xSˆ和ySˆ的测不准关系：?22yxSS7.3求01102ˆxS及002ˆiiSy的本征值和所属的本征函数。7.4求自旋角动量在(cos，cos，cos)方向的投影cosˆcosˆcosˆˆzyxnSSSS的本征值和所属的本征函数。在这些本征态中，测量zSˆ有哪些可能值？这些可能值各以多大的几率出现？zSˆ的平均值是多少？7.5设氢原子的状态是。),()(23),()(2110211121YrRYrR(1)求轨道角动量z分量zLˆ和自旋角动量z分量zSˆ的平均值；(2)求总磁矩SeLeMˆˆ2ˆ(SI)的z分量的平均值（用玻尔磁子表示）。7.6求电子的总角动量算符2J，Jz的共同本征函数。7.7在Sz表象中，证明iiieeez00。7.8对于电子的JSL，，,证明（取1）222)1)((41)12(JJJJLS7.9电子的总磁矩算符是)2(2SLcmeeSL对于电子角动量的ljj态(mj=j)计算z的平均值(结果用量子数j表示出来)。第八章多粒子体系8.1一体系由三个全同的玻色子组成，玻色子之间无相互作用。玻色子只有两个可能的单粒子态。问体系可能的状态有几个？它们的波函数怎样用单粒子波函数构成？8.2设两电子在弹性辏力场中运动，每个电子的势能是U(r)=212r2。如果电子之间的库仑能和U(r)相比可以忽略，求当一个电子处在基态，另一个电子处于沿x方向的第一激发态时，两电子组成体系的波函数。8.3某体系由两个全同粒子组成，单粒子自旋量子数为s。求体系总自旋态中对称态与反对称态的数目。8.4某体系由三个粒子组成，单粒子状态为,,,...,写出体系波函数的可能类型（忽略粒子间相互作用）。(a)全同玻色子；(b)全同费密子；(c)不同粒子。量子力学考试题（共五题，每题20分）1、扼要说明：（a）束缚定态的主要性质。（b）单价原子自发能级跃迁过程的选择定则及其理论根据。2、设力学量算符（厄米算符）F，G不对易，令K＝i（FG-GF），试证明：（a）K的本征值是实数。（b）对于F的任何本征态，K的平均值为0。（c）在任何态中2F+2G≥K3、自旋/2的定域电子（不考虑“轨道”运动）受到磁场作用，已知其能量算符为SHˆˆH＝zS+νxS（，ν0，»ν）（a）求能级的精确值。（b）视νxS项为微扰，用微扰论公式求能级。4、质量为m的粒子在无限深势阱（0xa）中运动，处于基态。写出能级和波函数，并计算平均值x，xp，xxp5、某物理体系由两个粒子组成，粒子间相互作用微弱，可以忽略。已知单粒子“轨道”态只有3种：a(r)，b(r)，c(r)，试分别就以下两种情况，求体系的可能（独立）状态数目。（i）无自旋