量子力学导论11章答案

1第十一章量子跃迁11—1）荷电q的离子在平衡位置附近作小振动（简谐振动）。受到光照射而发生跃迁。设照射光的能量密度为，波长较长。求：（a）跃迁选择定则；（b）设离子原来处于基态，求每秒跃迁到第一激发态的几率。11—2）氢原子处于基态。收到脉冲电场的作用tt0。使用微扰论计算它跃迁到各激发态的几率以及仍然处于基态的几率（取0沿z轴方向来计算）。解：令ntiEnnnertCtr,（6）初始条件（5）亦即10nnC（5）用式（6）代入式（4），但微扰项'H中取初值1（这是微扰论的实质性要点！）即得tzeHedtdCintiEnnn101'以*n左乘上式两端并全空间积分，得tiEnnnetzedtdCi10再对积分，由00tt，即得10nnzietC1n（7）因此0t时（即脉冲电场作用后）电子已跃迁到n态的几率为[可直接代入P291式（23）、P321式（15）而得下式]21202nnnzetCP（8）根据选择定则0,1ml，终态量子数必须是10nnlm即电子只能跃迁到各np态1l，而且磁量子数0m。跃迁到各激发态的几率总和为nnnnnnzzezeP211212021'20'（9）其中01111zz（z为奇宇称）nnnnnzzz1121212112131arz（10）2a为Bohr半径，代入式（9）即得20'aePnn（11）电场作用后电子仍留在基态的几率为20'11aePnn（12）11—3）考虑一个二能级体系，Hamilton量0H表为（能量表象）21000EEH,21EE,设0t时刻体系处于基态，后受微扰'H作用，'H,求t时刻体系处于激发态的几率。解：0t时，体系'0HHH，其矩阵表示（0H表象）为21'0EEHHH（1）设H的本征函数为212211CCCCE（2）代入本征方程EEEH（3）得到00221211CEECCCEE（4）上式存在非平庸解的条件为022121EEEEEEEE由此解出EEEEEE221221421（5）令11E，22E，12（6）式（5）可以写成2222142E（5’）当EE，由式（4）求得31222242CC取11C，即得相应的能量本征函数（未归一化）为2222142E（7）当EE，类似可求得2222142E（8）0t时，体系的初始状态为EEt2201（9）其中2224（10）因此0t时波函数为tiEEtiEEeet22（11）以式（5’）、（7）、（8）代入上式，即得titietietitt212122212sin22sin2cos（12）体系处于2态的几率为2sin22222tt（13）11—4）自旋为21的粒子，磁矩为u，处于沿z轴方向的常磁场0B中，初始时刻粒子自旋向下1z。后来加上沿x轴方向的常磁场1B0B。求t时刻粒子测得自旋向上的几率。（磁矩算符uu，与外磁场的的作用.01'zxBBBuH）解：粒子的磁矩算符可表示成uu（1）为泡利算符，磁场对粒子的作用势为.01'zxBBBuH（2）在z表象中，H的矩阵表示为01100110010110BBBBuuBuBH（2’）4以下求H的本征值和本征函数，设本征函数为21211001CCCC（3）本征方程为EH，则21210110CCECCBBBBu（4）能级方程为0det0110uBEuBuBuBEHE（5）令00uB，11uB，2120（6）由式（5）容易解出E（7）将E之值代回式（4），即可求出如下本征函数：010101210121CCCCEE（8）注意，这两个本征函数并未归一化。将0t时的初始波函数按能量本征函数展开，21100t（9）因此，0t时波函数titieet2110sincos01sin01titti（10）注意t满足归一化条件1tt在时刻0t，测得粒子自旋“向上”1z的几率为ttiPz222121sinsin122120212021sintBBuBBB（11）本题可以视为11—3）题的一个实例。5