第8讲(电气及其自动化专业)

第8讲稳态误差•稳定性概念与充分必要条件•劳斯判据与赫尔维茨判据•稳定裕度稳•稳态误差的定义•稳态误差分析与计算•静态误差系数准•一阶系统的动态响应分析•二阶系统的动态响应分析•高阶系统的动态响应快知识点一：稳态误差的定义稳态误差是控制系统控制精度的一种度量，是稳态性能指标。1）稳态误差存在的前提？控制系统一定要稳定。2）稳态误差存在的意义？有控制精度，才有实际工程意义。)(sG)(sH)(sR)(sB)(sC)(sE)(1sG)('sE)(sCr定义1：系统误差误差e(t)=被控量期望值-实际值定义2：对于反馈系统，从输入端定义误差e(t)=r(t)-b(t)定义3：对于反馈系统，从输出端定义误差e'(t)=cr(t)-c(t)这两种误差定义有联系吗？)(sG)(sH)(sR)(sB)(sC)(sE)(1sG)('sE)(sCr情况1：当反馈通道H(s)=1时，e(t)=r(t)-b(t)=r(t)-c(t)=e'(t)两种误差定义的联系cr(t)情况2：当反馈通道H(s)≠1时，)()()(tbtrte)()()()()()(sCsHsRsBsRsE)()()()()(sCsHsRsHsE)()()('sCsCsEr对于非单位反馈控制系统，输入端定义的误差e(t)可以直接（H(s)=1）或间接地表示输出端定义的误差e'(t)。两种误差定义的联系)()()()()(sCsHsRsHsE)()()('sCsCsEr本书默认为输入端误差！系统的稳态误差为稳定系统误差响应e(t)的终值。当时间t趋于无穷时，e(t)的极限存在，则稳态误差为稳态误差的定义)(limteetsss域怎么求稳态误差？由拉普拉斯终值定理，推导得到)(lim)(lim0sEsteestss输入端误差误差传递函数的定义)(sG)(sH)(sR)(sB)(sC)(sE)()()()()()()(sEsHsGsRsBsRsE)()(11)()()(sHsGsRsEser)(1sG)(sH)(sR)(sB)(sC)(sE)(2sG)()()()()()(21sEsHsGsGsRsE)()()(11)()()(21sHsGsGsRsEser)(sG)(1sH)(sR)(sB)(sC)(sE)(2sH)()()()()()(21sEsHsHsGsRsE)()()(11)()()(21sHsHsGsRsEser误差传递函数的定义误差传递函数为零初始条件下，系统误差信号的拉普拉斯变换与输入信号的拉普拉斯变换之比，即开环传递函数11)()()(sRsEser所有传递函数归纳)(sG)(sH)(sR)(sB)(sC)(sE前向通道传递函数：)(sG开环传递函数：)()(sHsG闭环传递函数：)()(1)()()()(sHsGsGsRsCs误差传递函数：)()(11)()()(sHsGsRsEser稳态误差的特点)(sG)(sH)(sR)(sB)(sC)(sE)()(11)()()(sHsGsRsEser误差传递函数终值定理)(lim)(lim0ssEteestss)()()(11lim)(lim00sRsHsGsssEessss稳态误差的特点)(sG)(sH)(sR)(sB)(sC)(sE(2)误差传递与系统的结构及参数有关。(1)稳态误差与系统输入信号r(t)有关。)()()(11lim)(lim00sRsHsGsssEessss例1：如图是一个由电阻与电容构成的RC低通滤波电路，其中Ui为输入电压，UC为输出电压。当Ui(t)=1(t)时，求出该低通滤波电路的稳态误差。解题步骤：（1）根据第二章的知识，可知系统的方框图为则系统的误差传递函数为RCsRCssRsEser1)()()(R1)(sUi)(sICs1)(sUC（2）输入信号拉普拉斯变换ssR1)(解题步骤：（3）利用终值定理，有01lim11lim)(lim000RCsRCssRCsRCssssEesssss如果R(s)=1/s2，稳态误差会有什么变化？RCRCsRCsRCsRCssssEesssss)1(lim11lim)(lim0200稳态误差与系统输入信号r(t)有关！√例2：系统结构图如图所示，当输入r(t)=4·t时，求系统的稳态误差ess。解题步骤：（1）系统只有在稳定条件下计算稳态误差才有意义，先判别系统的稳定性。系统的特征方程为054)14)(1()(23KsssKssssD列劳斯表KsKsKss05455140123450K解题步骤：（2）求系统误差传递函数KsssssssssKsRsEser)14)(1()14)(1()14)(1(/11)()()(24)(ssR（3）输入信号求拉普拉斯变换（4）利用终值定理，求稳态误差KsKsssssssssEessss44)14)(1()14)(1(lim)(lim200计算表明，稳定误差的大小与系统的放大倍数K有关。即K越大，稳定误差ess越小。要减小稳态误差则应增大倍数K，而稳定性分析却得出，使系统稳定的K只应小于5/4，表明系统的稳态精度和稳态性对放大倍数的要求常是矛盾的。例3：系统结构如下图，当输入信号为r(t)=t2/2时，为了保证系统的稳态误差小于1，求参数Kt的取值范围。解题过程：（1）写出传递函数sKssGtsssKsst)110(101)(2)1(10)1(1011010)110(1010)(1)()()(231111ssKsssGsGsRsCtssss（2）列特征方程01010)110()(23ssKssDt解题过程：（3）稳定的必要条件0110tK（4）列劳斯表1010)110()(23ssKssDt1011010010110101023sKKsKssttt0tK解题过程：（5）列出误差传递函数sKssGtsssKsst)110(101)(2)1(10)1(1011010)110()110()(11)()()(232311ssKssKssGsRsEsttsser（6）将输入信号进行拉普拉斯变换31)(ssR解题过程：（7）利用终值定理，求解稳态误差323230011010)110()110(lim)(limsssKssKssssEettssss（8）因为系统要稳定且稳态误差要小于1，所以9.00tK101101010)110(110lim230tttsssKssKsKse知识点二：稳态误差的分析对于线性系统，响应具有叠加性。这意味着不同输入信号作用于系统产生的误差等于每一个输入信号单独作用时产生的误差的叠加。控制信号r(t)和扰动信号n(t)同时作用于系统。1.控制输入r(t)单独作用下稳态误差essr求解误差传递函数)()()(11)()()(21sHsGsGsRsEsrer)(sEr利用终值定理，求得稳态误差)()()()(11lim)(lim2100sRsHsGsGsssEesrsssr2.干扰输入n(t)单独作用下稳态误差essn求解求C(s)与N(s)的关系误差信号为)(sEn)()()(1)(-1)()(212sHsGsGsGsNsC开环传递函数前向通道)()()(0)(sCsHsBsEn)()()(1)()()()(212sHsGsGsNsHsGsEn扰动信号的误差传递函数为)()()(1)()()()()(212sHsGsGsHsGsNsEsnen2.干扰输入n(t)单独作用下稳态误差essn求解求稳态误差)()()()(1)()(lim)(lim21200sNsHsGsGsHsGsssEesnsssn)(sEn3.控制系统总的稳态误差ess求解ssnssrsseee思考题扰动信号的误差传递函数怎么求？)()()(1)()()()(21sHsGsGsHsNsEsnen)()()(11)()(21sHsGsGsNsC)()()()(sCsHsBsEn思考题扰动信号的误差传递函数怎么求？)()()(1)()()()()()(2121sHsGsGsHsGsGsNsEsnen)()()(1)()()()(2121sHsGsGsGsGsNsC)()()()(sCsHsBsEn思考题扰动信号的误差传递函数求解有什么规律？开环传递函数通道传递函数扰动信号到反馈比较点1)()()(sNsEsnen解题（1）误差传递函数284s11111)()(ssRsE开环传递函数16686)()(22sssssRsE（2）干扰误差传递函数284s112s8-1)()(ssNsE开环传递函数的通道传递函数干扰信号到反馈比较点166328)()(2ssssNsE解题（3）只考虑r(t)=2×1(t)作用，则（4）只考虑干扰信号n(t)=1(t)作用，则ssR2)(1216686lim)(lim2200ssssssssEessssrssN1)(21166328lim)(lim200sssssssEessssn121ssnssrsseee思考题结果会怎么变？