金版学案数学选修2-1章末过关检测卷(二)

数学·选修2－1(人教A版)章末过关检测卷(二)第二章圆锥曲线与方程(测试时间：120分钟评价分值：150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知椭圆x225＋y216＝1上一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则点P到另一焦点的距离为()A．2B．3C．5D．7解析：点P到椭圆的两个焦点的距离之和为2a＝10,10－3＝7.故选D.答案：D2．一条曲线在x轴上方，它上面的每一个点到点A(0,1)的距离减去它到x轴的距离的差都是1，这条曲线的方程为()A．y＝12x2(x＞0)B．y＝12x2(y＞0)C．y＝14x2(x＞0)D．y＝14x2(y＞0)答案：D3．(2013·四川卷)抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－y23＝1的渐近线的距离是()A.12B.32C．1D.3解析：抛物线y2＝4x的焦点F(1,0)，双曲线x2－y23＝1的渐近线是y＝±3x，即3x±y＝0，所以所求距离为|3±0|3＋1＝32.故选B.答案：B4．椭圆x24＋y23＝1的长轴端点为M、N，不同于M、N的点P在此椭圆上，那么PM、PN的斜率之积为()A．－34B．－43C.34D.43答案：A5.双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是()A．2B.3C.2D.32解析：双曲线x2a2－y2b2＝1的两条渐近线方程为y＝±bax，依题意ba·(－ba)＝－1，故b2a2＝1，所以c2－a2a2＝1即e2＝2，所以双曲线的离心率e＝2.故选C.答案：C6．(2013·天津卷)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为3，则p等于()A．1B.32C．2D．3解析：e＝2，ca2＝a2＋b2a2＝1＋ba2＝4，所以ba＝3，双曲线的渐近线方程为y＝±3x，所以|AB|＝2·p2tan60°，又S△AOB＝3，即12·p2·2·p2tan60°＝3，所以p24＝1，所以p＝2，故选C.答案：C7．已知A、B为抛物线C：y2＝4x上的不同两点，F为抛物线C的焦点，若FA→＝－4FB→，则直线AB的斜率为()A．±23B．±32C．±34D．±43答案：D8.已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为()A.x25－y24＝1B.x24－y25＝1C.x23－y26＝1D.x26－y23＝1解析：圆心的坐标是(3,0)，圆的半径是2，双曲线的渐近线方程是bx±ay＝0，c＝3，根据已知得3ba2＋b2＝2，即3b3＝2，解得b＝2，得a2＝c2－b2＝5，故所求的双曲线方程是x25－y24＝1.答案：A二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上)9．以双曲线x216－y220＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆，该椭圆的离心率为________．答案：2310．过点(2,4)作直线与抛物线y2＝8x只有一个公共点，这样的直线有________条．答案：211．若双曲线x24＋y2k＝1(k≠0)的离心率e∈(1,2)，则k的取值范围是________．解析：显然k0，所以e＝4－k2∈(1,2)，解得－12k0.答案：(－12,0)12.若椭圆x2＋my2＝1的离心率为32，则它的长半轴长为________．解析：当0m1时，y21m＋x21＝1，e2＝a2－b2a2＝1－m＝34，m＝14，a2＝1m＝4，a＝2；当m1时，x21＋y21m＝1，a＝1.答案：1或213．(2013·福建卷)椭圆P：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1,F2，焦距为2c，若直线y＝3(x＋c)与椭圆P的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于__________．解析：由直线方程y＝3(x＋c)知直线与x轴的夹角∠MF1F2＝π3，且过点F1(－c,0)，因为∠MF1F2＝2∠MF2F1，所以∠MF1F2＝2∠MF2F1＝π3，即F1M⊥F2M，所以在△F1MF2中，F1F2＝2c，F1M＝c，F2M＝3c，由椭圆定义可得2a＝c＋3c,所以ca＝21＋3＝3－1.答案：3－114.设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线与椭圆相交，其中的一个交点为P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________．解析：由题意知PF2⊥F1F2，且△F1PF2为等腰直角三角形，所以|PF2|＝|F1F2|＝2c，|PF1|＝2·2c，从而2a＝|PF1|＋|PF2|＝2c(2＋1)，所以e＝2c2a＝12＋1＝2－1.答案：2－1三、解答题(本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分12分)已知双曲线与椭圆x236＋y249＝1有公共的焦点，并且椭圆的离心率与双曲线的离心率之比为37，求双曲线的方程．解析：椭圆x236＋y249＝1的焦点为(0，±13)，离心率为e1＝137.由题意可知双曲线的焦点为(0，±13)，离心率e2＝133，所以双曲线的实轴长为6.所以双曲线的方程为y29－x24＝1.16．(本小题满分12分)自抛物线y2＝2x上任意一点P向其准线l引垂线，垂足为Q，连接顶点O与P的直线和连接焦点F与Q的直线交于R点，求R点的轨迹方程．解析：设P(x1，y1)、R(x，y)，则Q－12，y1、F12，0，∴OP的方程为y＝y1x1x，①FQ的方程为y＝－y1x－12，②联立①②解得x1＝2x1－2x，y1＝2y1－2x，且x≠12，代入y2＝2x，可得y2＝－2x2＋x.故所求R点的轨迹方程为y2＝－2x2＋xx≠12.17.(本小题满分14分)在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线x－3y＝4相切．(1)求圆O的方程；(2)圆O与x轴相交于A，B两点，圆内的动点P使|PA|，|PO|，|PB|成等比数列，求PA→·PB→的取值范围．解析：(1)依题设，圆O的半径r等于原点O到直线x－3y＝4的距离，即r＝|－4|1＋3＝2.得圆O的方程为x2＋y2＝4.(2)不妨设A(x1,0)，B(x2,0)，x1＜x2.由x2＝4即得A(－2,0)，B(2,0)．设P(x，y)，由|PA|，|PO|，|PB|成等比数列，得（x＋2）2＋y2·（x－2）2＋y2＝x2＋y2，即x2－y2＝2.PA→·PB→＝(－2－x，－y)·(2－x，－y)＝x2－4＋y2＝2(y2－1)．由于点P在圆O内，故x2＋y2＜4，x2－y2＝2，由此得y2＜1.所以PA→·PB→的取值范围为[－2,0)．18．(本小题满分14分)(2013·北京卷)直线y＝kx＋m(m≠0)与椭圆W：x24＋y2＝1相交于A，C两点，O是坐标原点．(1)当点B的坐标为(0,1)，且四边形OABC为菱形时，求AC的长；(2)当点B在W上且不是W的顶点时，证明四边形OABC不可能为菱形．解析：(1)因为四边形OABC为菱形，所以AC与OB相互垂直平分.所以可设At，12，代入椭圆方程得t24＋14＝1，即t＝±3.所以|AC|＝23.(2)假设四边形OABC为菱形.因为点B不是W的顶点，且AC⊥OB，所以k≠0.由x2＋4y2＝4，y＝kx＋m，消去y并整理得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.设A(x1，y1)，C(x2，y2)，则x1＋x22＝－4km1＋4k2，y1＋y22＝k·x1＋x22＋m＝m1＋4k2.所以AC的中点为M－4km1＋4k2，m1＋4k2.因为M为AC和OB的交点，且m≠0,k≠0，所以直线OB的斜率为－14k.因为k·－14k≠－1，所以AC与OB不垂直.所以OABC不是菱形，与假设矛盾.所以当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能是菱形．19.(本小题满分14分)已知椭圆G：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率为63，右焦点为(22，0)，斜率为1的直线l与椭圆G交于A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(－3,2)．(1)求椭圆G的方程；(2)求△PAB的面积．解析：(1)由已知得c＝22，ca＝63.解得a＝23，又b2＝a2－c2＝4.所以椭圆G的方程为x212＋y24＝1.(2)设直线l的方程为y＝x＋m.由y＝x＋m，x212＋y24＝1，得4x2＋6mx＋3m2－12＝0.①设A、B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(x1x2)，AB中点为E(x0，y0)，则x0＝x1＋x22＝－3m4，y0＝x0＋m＝m4；因为AB是等腰△PAB的底边，所以PE⊥AB.所以PE的斜率k＝2－m4－3＋3m4＝－1，解得m＝2.此时方程①为4x2＋12x＝0.解得x1＝－3，x2＝0.所以y1＝－1，y2＝2.所以|AB|＝32.此时，点P(－3,2)到直线AB：x－y＋2＝0的距离d＝|－3－2＋2|2＝322，所以△PAB的面积S＝12|AB|·d＝92.20．(本小题满分14分)(2013·四川卷)如图，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率e＝22，过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A，A′两点，|AA′|＝4.(1)求该椭圆的标准方程；(2)取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点P,P′，过P,P′作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外．若PQ⊥P′Q，求圆Q的标准方程．解析：(1)由题意知点A(－c,2)在椭圆上，则（－c2）a2＋22b2＝1.从而e2＋4b2＝1.由e＝22得b2＝41－e2＝8，从而a2＝b21－e2＝16.故该椭圆的标准方程为x216＋y28＝1.(2)由椭圆的对称性，可设Q(x0,0)．又设M(x，y)是椭圆上任意一点，则|QM|2＝(x－x0)2＋y2＝x2－2x0x＋x20＋81－x216＝12(x－2x0)2－x20＋8(x∈[－4,4])．设P(x1，y1)，由题意，P是椭圆上到Q的距离最小的点．因此，上式当x＝x1时取最小值，又因x1∈(－4,4)，所以上式当x＝2x0时取最小值，从而x1＝2x0，且|QP|2＝8－x20.因为PQ⊥P′Q，且P′(x1，－y1)，所以QP→·QP′→＝(x1－x0，y1)·(x1－x0，－y1)＝0，即(x1－x0)2－y21＝0.由椭圆方程及x1＝2x0得：14x21－81－x2116＝0，解得x1＝±463，x0＝x12＝±263.从而|QP|2＝8－x20＝163.故这样的圆有两个，其标准方程分别为：x＋2632＋y2＝163，x－2632＋y2＝163.