阶跃响应冲激响应和卷积积分的应用20-9

第9章阶跃响应、冲激响应和卷积积分的应用9.1阶跃函数和冲激函数本章重点9.4电路在任意激励作用下的零状态响应——卷积积分9.5电容电压和电感电流的跃变9.2阶跃响应9.3冲激响应阶跃响应和冲激响应本章重点阶跃函数和冲激函数卷积积分返回目录电容电压和电感电流的跃变9.1阶跃函数和冲激函数一、单位阶跃函数（unitstepfunction）1.定义t(t)10()t用可描述开关的动作。+–uCUS(t)RCdef0(0)()1(0)tttdefSS0(0)()(0)tUtUtUSS+–uCRC开关在t=0时闭合2.延迟的单位阶跃函数t(t-t0)t00def0000()()1()tttttt3.由单位阶跃函数可组成复杂的信号USS+–uCRC开关在t=t0时闭合0()()()fttttt0t-(t-t0)(t)0f(t)1解所示矩形脉冲可分解为阶跃函数和延迟阶跃函数相加。例1),0(0)0(1)(00ttttttf1t0tf(t)0试用阶跃函数表示上图所示的矩形脉冲。()[()(1)](1)fttttt11t001t1f(t)例2试用阶跃函数表示图示的波形。解f(t)分成两段表示。1t101t1+(0t1)()[()(1)]ftttt(1t)()(1)ftt则二、单位冲激函数（unitpulsefunction）1.单位脉冲函数1()[()()]pttt0lim()()ptt令10面积不变1/tp(t)0减小，脉冲变窄，面积不变。def1(0)()0(0,)tpttt/22/2.单位冲激函数的定义001d)(δttt(t)0符号k(t)脉冲强度为k的冲激函数tk(t)0()dkttk0(0)()0(0)tktt0(0)()0(0)ttt()d1ttS0(0)(0)()tUuttEtSuuCtuCiCCdduStU0例讨论电路中uC，iC的变化情况解+-C+-iCuSuC[()()]CCUittdCitqCU当0，uCU(t)iCCU(t)uCtU0iCtCU(t)0q不变。iCt0CUuCtU0，q不变当则i=CUS(t)t=0时合S)0()0(CCuu0)0(Cud)(1)0()0(00iCuuCC=US000()0()()d1tttttttt(t-t0)t003.延迟单位冲激函数(t-t0)S+–uCUSCi特例4.函数的筛分性质()()dfttt00()()d()fttttft同理有f(0)(t)(0)()d(0)fttf条件：f(t)在t0处连续。设函数f(t)在t=0处连续，则三、(t)和(t)的关系0(0)()d1(0)ttttt=(t)d()()dtttt(t)01t(t)(1)0返回目录阶跃响应（stepresponse）：阶跃函数激励下电路中产生的零状态响应。9.2阶跃响应单位阶跃响应（unitstepresponse）：单位阶跃函数激励下电路中产生的零状态响应。阶跃响应的求解：阶跃激励在某一特定时刻（例如作用于零初始储能的电路，相当于从这一时刻开始，有一直流电压源（或电流源）作用于该电路。求解该电路相当于求直流激励作用下的零状态响应。()(1e)()tRCCutt1()e()tRCittR注意e()tRCit和e(0)tRCit的区别。t0R1iiC+–uCRuC(0-)=0)(tεuCt10一、一阶电路的阶跃响应以下图RC电路为例。t0时，可用三要素法得到其解。t0若激励在t=t0时加入，则响应从t=t0开始。t-t01eRCCiR(t-t0)iCR1t0注意1eRCRt(t-t0)不要写为f(t)f(t)(t)f(t)(t-t0)t0f(t-t0)(t-t0)(t-t0)C+–uCRt0t0f(t)(t)S[10()10(0.5)]Vutt解10k10k+-iC1100FuC(0-)=010()Vt10(0.5)Vt10k10k+-iC2100FuC(0-)=0由叠加定理有例求图示电路中电流iC(t)10k10kuS+-iC100FuC(0-)=00.510t/suS/V0等效s5.01051010036RC2(0.5)2e(0.5)mAtCit21e()mAtCit22(0.5)e()e(0.5)mAttCitt5k+-iC2100FuC(0-)=05()t10k10k+-iC1100FuC(0-)=010()t由线性、齐次和时不变性质，得)5.0(10tε10k10k+-iC100FuC(0-)=0分段表示为s)0.5(mA0.632e-s)5.0(0mAe)(5)0.2(2tttitt--t/si/mA01-0.6320.5波形0.36822(0.5)e()e(0.5)mAttCitt222(0.5)e[()(0.5)][ee](0.5)tttCittt212(0.5)e[()(0.5)](e1)e(0.5)ttttt22(0.5)e[()(0.5)]0.632e(0.5)mAttttt也可用时间分段形式表示二、二阶电路的阶跃响应已知uC(0-)=0，i(0-)=0以uC为变量微分方程为2dd()ddCCCuuLCRCutttRLC+-uCi+-()t以RLC串联电路为例讨论。二阶常系数非齐次微分方程。上述微分方程等价于：2dd1(0)ddCCCuuLCRCuttt121212(1ee)()()ptptCuAAtpp1212(1ee)()()ttCuAAttpp1,2[1esin()]()(j)tCuAttp2221,201()22RRpLLLC特征根为按特征根的不同情况，通解（自由分量）有三种不同形式，uC解答可表示为过阻尼情况临界阻尼情况欠阻尼情况0(0)ddCCtuut由起始值可确定二个待定系数。返回目录9.3冲激响应零状态h(t)()t冲激响应（impulseresponse）：电路在冲激激励作用下的的零状态响应。()0(0)()d1tttt方法一：分两个时间段来考虑（1）t在0-～0+；（2）t0+。分析冲激响应时，时间范围为0到t。t()t0（1）t在0-～0+间()Cit00Δd1CqitCuCquCC1)0(Δ)0(（2）t0+零输入响应。iCiSRC+uC()t例1(0)0Cu。已知：求：iS(t)为单位冲激时电路的响应uC(t)和iC(t)。定性分析uC(0)=0，电容相当于短路1)]0()0([CCuuC（2）t0+RC放电e1RCtCCue1RCtCCRCRuiCCuuCC11)0()0(CuC1)0(iCRC+uC（1）t在0-～0+间解uC不是冲激，仅是有限的跳变。d()dCCuuCttR=1=0000000ddd()ddCCuuCtttttRt/suC/VC10冲激响应为1e()tRCCutC1()e()tRCCittRCt/siC/ARC1()t0d()diRiLtt000000ddd()ddiRitLtttt1d00iLLLiiLL11)0()0(（1）t在0-~0+间定性分析()Lut1dΔ00LuLiLiLL1)0(Δ)0(例2(0)0Li。已知求uS为单位冲激时的电路响应iL(t)和uL(t)。解=1=0i不是冲激，仅是有限的跳变RL+-iLuS()t+-uL（2）t0+RL放电RL1e()tLitL()e()tLRuttLtiL0L1LiL1)0(tLLie1tLLLRRiuetuL)(δtLR0LiLR+-uL冲激响应为（1）t在0-~0+间S()CutiRR（2）t0+RC放电RCuC1)0(1etRCCuRC001()1(0)(0)dCCtuutCRRC21etCRCCuiRRC0)0(Cu例3已知：求：uS为单位冲激时电路响应iC(t)和uC(t)。iCRC+uC-+-iCRuS()t+uC-解电容短路1e()tRCCutRC2()1e()tRCCtitRRC冲激响应为方法二:利用阶跃响应求冲激响应。零状态h(t)()t零状态s(t)()td()()dttt)(dd)(tstth11()()()ftεtεt1()st1()st01()[()()]limhtstst)(ddtst1f(t)t0求冲激响应。已知单位阶跃响应(1e)()tRCCut1e()tRCCitRd[(1e)()]dtRCCutt1e()(1e)()ttRCRCttRC)(εe1tRCRCt)](εe1[ddtRtiRCtC211e()e()ttRCRCttRCR211()e()tRCttRRC0)0(Cu例+-iCRuS()t+uC-解返回目录9.4电路在任意激励作用下的零状态响应——卷积积分一、卷积积分（convolution）定义设f1(t),f2(t)在t0时均为零d)()()(*)(20121tfftftft性质1)(*)()(*)(1221tftftftf应用：求任意波形激励下的零状态响应。e(t)r(t)零状态线性网络()th(t))(*)()(thtetrd)()()(*)(20121tfftftft)d)(()(021tftftftf021d)()(证明)(*)(12tftf令=t-：0t:t0性质2()*()()*()()()dftttftft筛分性=f(t)000()*()()*()()ftttttftftt二、卷积积分的物理解释t0)(tee(0)将e(t)在作用时间0~t内划分为n等分，每个间隔为Δ单位脉冲函数的延时t0)(tee(0)2k(k+1)()(0)[ε()(Δ)](Δ)[(Δ)(2Δ)]etettett01(Δ)[(Δ)((1)Δ)]ΔΔnkektktk0(Δ)[(Δ)((1)Δ)]nkektktk第1个矩形脉冲Δ)()0(Δ)()0(thetpep若单位脉冲函数p(t)的响应为hp(t)第k个矩形脉冲Δ)Δ()Δ(Δ)Δ()Δ(kthkektpkep0(Δ)(Δ)ΔnkekptkΔ)Δ()Δ()(0ktpketenk激励响应Δ)Δ()Δ()(0kthketrpnk脉冲响应tthetr0d)()()(0Δ)Δ()Δ(lim)(kpkkthketr响应脉冲函数Δ)Δ()Δ(lim)(0