金融数学在若干金融问题中的应用

1课题名称：金融数学在若干金融问题中的应用院系：理学系专业：信息与计算科学学生姓名：王杰学号：102086215指导教师：杨焕青日期：二零一三年十二月十三日2摘要：金融数学是运用数学理论和方法，研究金融运行规律的一门新兴边缘学科。本文对金融数学的基本概念、产生发展的历史做了简要阐述。重点论述以及数学知识在金融问题中的应用。关键词：金融数学；证券投资组合；资产定价；期权定价3引言金融数学是一门新兴的边缘学科，是数学与金融学的交叉。在20世纪后期金融学越来越多地表现出与数学的交融：一方面运用适当的数学方法分析和解决金融问题；另一方面，金融中不断涌现的现实问题也向数学和统计学提出了理论上有价值的研究方向。这样一种现实使得金融与数学逐渐形成一个新的交叉领域，并逐渐发展成为一门新学科———金融数学[1]。近年来，由于金融理论的长足进步、现代信息技术的飞速发展以及金融市场的动荡，金融创新步伐日益加快，新的金融产品、金融服务在市场上层出不穷。资金的流动也显著加快。金融市场运行的规律、资产的定价、风险管理以及投资决策分析显得空前重要，这些问题是现代金融理论与实践中的核心问题[2]。一、金融数学简介广义来说，金融数学是指应用数学理论和方法，研究金融经济运行规律的一门新兴学科。狭义来讲，金融数学的主要研究内容是关于在不确定条件下的证券组合选择和资产定价理论，而套利、最优和均衡则是这一理论中最重要的三个概念[1]。二、金融数学的发展金融数学开创性论文是1900年法国数学家BachelierL的学位论文《投机理论》[3]。金融数学研究沉寂半个世纪后,20世纪50年代伴随着计算机的广泛应用再度兴起,在金融经济学频获诺贝尔经济学奖的同时,也使得金融数学越来越受到金融理论界、实务界和应用数学、计算机数学界的青睐。1970年,Black与Scholes创立了期权定价数学模型———Black-Scholes期权定价公式,3年后发表的论文引起了国际经济理论界、实务界的极大关注,开辟了理论指导金融实践的先河,金融数学的发展,促进了一类新的随机微分方程理论———倒向随机微分方程的出现、发展和逐步完善[4]。至此,有限维倒向随机微分方程的理论研究已趋完善,该理论已被广泛应用到投资决策、期权定价、递归效用、随机微分效用等经济理论和实践中。三、金融数学在若干金融问题中的应用3.1数学方法在金融投资风险与收益中的应用风险被认为是由于利率、汇率、商品价格、股票价格的波动而导致的收益偏离期望值或平均值的可能性。因此，风险度量成为金融工程的一个主要组成部分，常用的度量金融风险的数学方法可以分为：确定性数学方法和不确定性数学方法。3.1.1确定性数学方法这种方法通过对金融投资风险的各种构成因索和评估指标的研究分析，把4这些因素和指标抽象成为确定性的数学变量，并进一步把它们之间的相互关系抽象成为数学计算公式、数学函数式或数学模型，然后通过数学演算得出数值结果[5]。（1）假设新发债券到期收益率为S，票面年利率为r，面额为M，发行价格为N，返还期限为T，则新发债券到期收益率为：S=[r+(M-N)/T]N*100%（2）设债券面值为C，R为投资收益率，N为债券期限，I为息票利率，F为每次所付利息（F=I×C），则债券的价格M为：（3)设股票价格为M，预期股利收入为Q，市场利息率为r，股票票面价值为p，股利率为c，则股票价格M为：3.1.2不确定性数学方法不确定性数学在控制金融投资风险方面最基本的应用就是把金融投资过程的可能损失或收益率抽象为随机变量，然后用数学期望和方差或标准差来度量可能损失或收益率的平均值和波动性，增加证券投资组合数目以及选择负相关的证券组合可以降低投资风险。3.2倒向随机微分方程(BSDE)在证券投资组合中的应用设证券投资组合是由一种无风险债券和有风险的股票构成,并且证券市场是完全的.债券定价过程P0(t)满足dP0(t)=rP0(t)dt第i种股票定价过程为Pi(t)dPi(t)=αiPi(t)dt+Pi(t)σidW(t),i=1,…,m投资者在t时刻的消费流为C(t),收入流为Z(t),第i种证券交易成本为λi,交易策略Vi(t),交易成本、收入和消费都从无风险债券中存取,S0(t)表示无风险债券在t时刻的投资值,Si(t)为第i种股票在t时刻的投资值5因此,为了满足投资者最终的投资目标Y,最初需要的资金y(0)可求出。3.3金融数学在期权定价中的应用最简单的例子，如果你持有短期内不必消费的资金，你一定想利用这笔资金去赢得利润。假定市场上有两种方式可以让你投入资金以达到赢利的目的，一种是没有风险的，如存入银行，经过一个单位时间之后，你的资金x0便会增加到x0(1+r)，r0是银行的利率。另一种是带风险的，如购买股票，你花Ｓ0购入的股票，经过一个单位时间以后的价格Ｓ1有可能是uＳ0(运气好)或dS0(不走运)，du是已知常数。我们假定d1+ru，否则“决策”是明显的。如果1+rd，谁愿意把资金存入银行？而要是u1+ｒ，又有谁愿意购买股票？这个条件金融学上称为“市场无套利”，意即无空子可钻。设想有一项期权，经过一个单位时间以后，将使你获利ξd(若那时的股票价格为dS0)或者ξu(如果那时的股票价格为uS0)，它现在的价格该是多少？即你要花多少钱去购买这项权利才是公平合理的。所谓公平合理自然是指：花了这么多钱去买这项权利所得的回报，与把这些钱以其他方式投资所得的利润一样。、为了找出期权的公平价格，我们考虑一位不愿意承担风险的投资者两种不同方式的投资：当他不购买期权而投资股票时，购入α0股价格为S0的股票，经过一个单位时间之后，他的回报可能是a0uS0，也可能是a0dS0，而由于没有购买期权的损失分别是ξu和ξd。不愿意承担风险使他选择了投资股票的强度α0满足a0uS0-ξu=a0dS0-ξd即α0=ξu-ξd(u-d)S0。这种投资方式使他在单位时间后的“无风险”财富为x1=a0uS0-ξu=uξu-ξdu-d-ξu=dξu-uξdu-d。为了获得这一无风险回报，他也可以用资金x0=11+rx1，做无风险投资来达到，6因此在初始时刻期权的合理定价应该是Ｃ0=aOSO-x0=ξu-ξdu-d-dξu-uξd(1+r)(u-d)=(1+r-d)u+[u-(1+r)]ξd(1+r)(u-d)。这个价格之所以合理是因为：如果他把投资股票的资金aOSO改成用其中的C0买期权，剩下的x0存入利率为ｒ的银行，其效果是一样的。如果令ｑ=1+r-du-d，则1-q=u-(1+r)u-d，定价公式可改写成(1+ｒ)C0=qξu+(1-q)ξd。把ｑ，1-ｑ分别解释为股票价格Ｓｕ，Ｓｄ的概率，那么右边是期权的概率平均回报，左边则是用期权的合理价格去做无风险投资的回报。这又从另一个角度说明这一价格的合理性。利用金融数学技巧获得的期权定价理论，已被推广到其它金融问题的研究之中，如期货、债券、可转换债券、利率掉期、外汇汇率等，并广泛应用于包括公司债券、可变利率低押、抵押贷款、保险和税法在内的金融证券和合同的广阔领域。该理论和方法不仅适用于证券市场的资产定价，也适应于证券市场的风险分析。它的应用已受到各国政府的重视，而且取得了很好的实效。总之，随着金融领域的不断发展，数学在金融中的应用也越来越广泛。同时，数学知识的研究已经成为金融学研究中的主要领域。数学正在不断推动着金融实践的发展，其在金融市场中具有广泛的应用前景。参考文献：[1]孙蓓.数学知识在若干金融问题中的应用.[J]开封教育学院报,2012,32(2)[2]王小群.金融数学介绍.[J]系统工程,1999,17(6)[3]BACHELIERL.Theoriedelaspeculation[M].phD.dissertation.IecoleNornaleSuperieure,1900(EnglishtranslationinPaulH.cootner.)Therandomcharacterofstockmarkprices.MA:MITPress,1964.17-78.[4]MARKOWITZH.Portfolioselection[J].JournalofFinance,1952,7(1):77-91.[5]LINTTNERJ.Thevaluationofriskassetsandtheselectionofriskyinvestmentsinstockportfoliosandcapitalbudgets[J].ReviewofEconomicsandStatistic,1965,47(2):13-37.