附录A采样信号的恢复(修订)

附录A采样信号的恢复在理想采样情况下，若模拟信号谱的最高角频率不大于折叠频率Ωm≤Ωs/2，即满足香农（奈奎斯特）采样定理，则信号采样后不会产生频谱混叠。由（2.2.4）式可知，采样后信号的频谱X^(jΩ)与原模拟信号的频谱X(jΩ)关系为2)(1)(ˆsjXTjX因此，若将X^(jΩ)通过一个理想低通滤波器，则该滤波器应该只允许基带频谱通过，且其带宽就等于折叠频率，其滤波特性如图所示。202)(ssTjH采样信号经过这个滤波器后，就可滤出原模拟信号的频谱)()()(ˆ)(jXjHjXjY这样，在输出端就可以得到原模拟信号)()(txty理想低通滤波器虽不可实现，但是在一定精度范围内，可以用一个可实现的滤波器来逼近它。下面我们就讨论如何由采样值来恢复原模拟信号，即采样信号x^(t)通过H(jΩ)系统的响应特性。理想低通滤波器的冲激响应为TtTtttdTedejHthsstjtjss//sin2/2/sin21)(21)(2/2/由x^(t)与h(t)的卷积积分，则可得理想低通滤波器的输出为H(jΩ)Ωs/2ΩTH(jΩ)h(t)X^(jΩ)y(t)=x(t)x^(t)H(jΩ)nnnnTthnTxdnTthxdthnTxdthxthtxty)()()()()()()()()()(ˆ)()(ˆ)(其它采样信号，，01)()()()(ˆnTnTnTxxn其中，h(t-nT)称为内插函数．．．．，即TnTtTnTtnTth/)(/)(sin)(其波形如图所示，它的特点是：在采样点nT上，函数值为1；其余各点上，函数值均为零。由于y(t)=x(t)，因此上述卷积结果也可以表示为nTnTtTnTtnTxtx/)(/)(sin)()(（A.1）式（A.1）就称为采样内插公式．．．．．．，即信号的采样值x(nT)由此公式而得到连续信号x(t)，也就是说，x(t)等于各x(nT)乘以对应的内插函数的总和。在每一个采样点上，只有该点所对应的内插函数不为零时，才会使得相应各采样点上的信号值不变，而采样点之间的信号则由加权内插函数波形的延伸叠加而成，如图所示。这个采样内插公式表明了香农采样定理的意义在于．．．．．．．．．．．：只要采样频率不低于两倍的信号最高频率，则整个连续信号就可以完全用它的采样值来表示，而不会丢掉任何信息。注意：上述讨论的采样内插公式只局限于限带（频带有限）信号的应用上。