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1第7章紧致性§7.1紧致空间本节重点：掌握紧致子集的定义及判断一个子集是紧致子集的方法．（这些方法哪些是充要条件）；掌握紧致性是否是连续映射可保留的，是否是可遗传的、有限可积的．在§5.3中，我们用关于开覆盖和子覆盖的术语刻画了一类拓扑空间，即Lindeloff空间．现在来仿照这种做法，即将Lindeloff空间定义中的“可数子覆盖”换成“有限子覆盖”，以定义紧致空间．读者在数学分析中早已见过的Heine－Borel定理断言：实数空间R的任何一个子集为有界闭集的充分必要条件是它的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖．（在§7.3中我们将要推广这个定理．）因此我们现在作的事也应当在意料之中．定义7.1.1设X是一个拓扑空间．如果X的每一个开覆盖有一个有限子覆盖，则称拓扑空间X是一个紧致空间．明显地，每一个紧致空间都是Lindeloff空间．但反之不然，例如包含着无限但可数个点的离散空间是一个Lindeloff空间，但它不是一个紧致空间．例7.1.1实数空间R不是一个紧致空间．这是因为如果我们设A＝{（－n，n）R|b∈Z+},则A的任何一个有限子族{},由于它的并为(-max{},max{})第2页**共26页所以不是R的一个子覆盖．因此R的开覆盖A没有任何一个有限子覆盖．定义7.1.2设X是一个拓扑空间，Y是X中的一个子集,如果Y作为X的子空间是一个紧致空间，则称Y是拓扑空间X的一个紧致子集．根据定义，拓扑空间X中的一个子集Y是X的紧致子集意味着每一个由子空间Y中的开集构成的Y的开覆盖有一个有限子覆盖，这并不明显地意味着由X中的开集构成的每一个Y的覆盖都有有限子覆盖．所以陈述以下定理是必要的．定理7.1.1设X是一个拓扑空间，Y是X中的一个子集．则Y是X的一个紧致子集当且仅当每一个由X中的开集构成的Y的覆盖都有有限子覆盖．（此定理表明开覆盖中的开子集可以是X的，也可以是Y的）证明必要性设Y是拓扑空间X中的一个紧致子集,A是Y的一个覆盖，它由X中的开集构成．则容易验证集族A}也是Y的一个覆盖，它由Y中的开集构成．因此A有一个有限子覆盖，设为{},于是A的有限子族覆盖Y．充分性，假定每一个由X的开集构成的Y的覆盖都有一个有限子覆盖．设A是Y的一个覆盖，它由Y中的开集构成．则对于每一个A∈A存在X中的一个开集使得A=∩Y．因此A}是由X中的开集构成的Y的一个覆盖，所以有一个有限子覆盖，设为{}此时易见A的子族{｝覆盖Y．这证明Y是X的一个紧致子集．下面介绍关于紧致性的一个等价说法．3定义7.1.3设A是一个集族．如果A的每一个有限子族都有非空的交（即如果是A的一个有限子族，则），则称A是一个具有有限交性质的集族．定理7.1.2设X是一个拓扑空间．则X是一个紧致空间当且仅当X中的每一个具有有限交性质的闭集族都有非空的交．证明:设X是一个紧致空间．用反证法．设F是X中的一个具有有限交性质的闭集族．设F≠．如果，则令A={∈F}．由于所以A是X的一个开覆盖．于是A有一个有限子覆盖，设为{}．从而这说明F不具有有限交性质．矛盾．“”，设X中的每一个具有有限交性质的闭集族都有非空的交．为证明X是一个紧致空间，设A是X的一个开覆盖．我们需要证明A有一个有限子覆盖．如果A=，则，这蕴涵X=以及A的每一个子族都是X的覆盖．以下假定A≠．此时F={|A∈A}便是X中的一个非空闭集族，并且因此，它不具有有限交性质．也就是说，它有一个有限子族其交为空集．设F的这个有限子族为{}，则是X的一个有限子覆盖．第4页**共26页如果B是紧致空间X的一个基，那么由B中的元素构成的X的一个覆盖当然是一个开覆盖，因此有有限子覆盖．下述定理指出，为验证拓扑空间的紧致性，只要验证由它的某一个基中的元素组成的覆盖有有限子覆盖．定理7.1.3设B*是拓扑空间X的一个基，并且X的由B*中的元素构成的每一个覆盖有一个有限子覆盖．则X是一个紧致空间．证明A*设是X的一个开覆盖．对于每一个A∈A*存在B*的一个子族使得令由于故是一个由B*的元素构成的X的一个覆盖，所以有一个有限子覆盖，设为,对于每一个，i=1,2,…，n，于是对于A*的有限于族{}有也就是说A*有一个有限子覆盖{}．这证明X是一个紧致空间．定理7.1.4设X和Y是两个拓扑空间，f:X→Y是一个连续映射．如果A是X的一个紧致子集，则f（A）是Y的一个紧致子集．证明设C*是f（A）的一个覆盖，它由Y中的开集组成．对于每一个C∈C*，由于f是一个连续映射，（C）是X中的一个开集5所以A＝{(C)|C∈C*}是A的一个开覆盖．由于A是X的一个紧致子集，所以A有一个有限子族，设为{}，覆盖A即{}是C*的一个子族并且覆盖f（A）．这证明f（A）是Y的一个紧致子集．由上述定理可见，拓扑空间的紧致性是连续映射所保持的性质，因此是拓扑不变性质，也是一个可商性质．由此可见，由于实数空间R不是紧致空间，而每一个开区间都是与它同胚的，所以每一个开区间（作为子空间）都不是紧致空间．定理7.1.5紧致空间中的每一个闭子集都是紧致子集．证明设Y是紧致空间X中的一个闭子集．如果A是Y的一个覆盖，它由X中的开集构成．则是X的一个开覆盖．设B1是B的一个有限子族并且覆盖X．则B1-{}便是A的一个有限子族并且覆盖Y．这证明Y是X的一个紧致子集．定理7.1.6每一个拓扑空间必定是某一个紧致空间的开子空间．证明:设(X,T)是一个拓扑空间．令∞为任何一个不属于X的元素．令X*=X∪{∞}T*=T∪∪{X*}其中={EX*|X*-E是拓扑空间(X,T)中的一个紧致闭集}首先验证T*是集合X*的一个拓扑．(略)第6页**共26页其次．证明(X*,T*)是一个紧致空间:设C*是X*的一个开覆盖．则存在C∈C*使得∞∈C．于是C∈,因此X*-C是紧致的,并且C*-{C}是它的一个开覆盖．于是C*-{C}有一个有限子族,设为C1,覆盖X*-C．易见C1∪{C}是C*的一个有限子族,并且覆盖X*．最后,我们指出拓扑空间(X,T)是拓扑空间(X*,T*)的一个开子空间．这是因为T=及X是X*的一个开集．在以上定理的证明中由拓扑空间(X,T)构造出来的紧致空间(X*,T*),通常称为拓扑空间(X,T)的一点紧化．由于非紧致空间（它是存在的）是它的一点紧化的一个子空间，因此紧致性不是可遗传的性质．但由定理7.1.5可知紧致性是闭遗传的．以下定理表明紧致性是可积性质．定理7.1.7设是n≥1个紧致空间．则积空间是一个紧致空间．证明(略)作业:P1881．4．5．§7.2紧致性与分离性公理本节重点:掌握紧致空间中各分离性公理的关系；掌握Hausdorff空间中紧致子集的性质.7在本节中我们把第六章中研究的诸分离性公理和紧致性放在一起进行考察、我们将会发现在紧致空间中分离性公理变得十分简单了．此外在本节的后半部分，我们给出从紧致空间到Hausdorff空间的连续映射的一个十分重要的性质．定理7.2.1设X是一个Hausdorff空间．如果A是X的一个不包含点x∈X的紧致子集，则点x和紧致子集A分别有开邻域U和V使得U∩V=．证明设A是一个紧致子集，x∈．对于每一个y∈A，由于X是一个Hausdorff空间，故存在x的一个开邻域和y的一个开邻域．集族{|y∈A}明显是紧致子集A的一个开覆盖，它有一个有限子族，设为{}，覆盖A．令，它们分别是点x和集合A的开邻域．此外，由于对于每一个i=1，2，…，n有：所以推论7.2.2Hausdorff空间中的每一个紧致子集都是闭集．证明设A是Hausdorff空间X的一个紧致子集．对于任何x∈X，如果xA，则根据定理7.2.1可见x不是A的凝聚点．因此凡A的凝聚点都在A中，从而A是一个闭集．推论7.2.2结合定理7.1.5可见：推论7.2.3在一个紧致的Hausdorff空间中，一个集合是闭集的充分必要条件是它是一个紧致子集．第8页**共26页为了加强读者对定理7.1.5，推论7.2.2和推论7.2.3中的几个简单而常用的结论的印象，重新简明地列举如下：紧致空间：闭集紧致子集Hausdorff空间：闭集紧致子集紧致的hausdorff空间：闭集紧致子集推论7.2.4每一个紧致的Haudorff空间都是正则空间．证明设A是紧致的Hausdorff空间X的一个闭子集，x是X中的一个不属于集合A的点．由于紧致空间中的闭子集是紧致的（参见定理7.1.5），所以A是一个紧致子集．又根据定理7.2.1，点x和集合A分别有开邻域U和V使得U∩V=．这就证明了X是一个正则空间．定理7.2.5设X是一个Hausdorff空间．如果A和B是X的两个无交的紧致子集，则它们分别有开邻域U和V使得U∩V=．证明设A和B是X的两个无交的紧致子集．对于任何x∈A，根据定理7.2.1，点x和集合B分别有开邻域．集族{|x∈A}是紧致子集A的一个开覆盖，它有一个有限子族，设为{}，覆盖A．令由于对于每一个i＝1，2，…，n有∩V=，所以U∩V=．由于Hausdorff空间的每一个闭子集都是紧致子集，所以根据定理7.2.5立即有：推论7.2.6每一个紧致的Hausdorff空间都是的，9这个结论也可以根据推论7.2.4和定理6.4.3直接推出．根据这个推论联系着表6.1并且留意到每一个紧致空间都是Lindeloff空间这一事实，我们可有图表7.1．从这个图表中可以看出，在紧致空间中分离性公理显得特别简单．图表7.1：紧致空间中的分离性公理定理7.2.7设X是一个正则空间．如果A是X中的一个紧致子集，U是A的一个开邻域，则存在A的一个开邻域V使得．证明设A是正则空间X中的一个紧致子集，U是A的一个开邻域．对于任何x∈A，点x有一个开邻域使得集族{|x∈A}是紧致子集A的一个开覆盖，它有有限子族，设为{}，覆盖A．令，它是A的一个开邻域，并且根据这个定理立即可见，每一个紧致的正则空间都是正规空间．然而这并不是什么新结论，因为每一个紧致空间都是Lindeloff空间，所以它明显地蕴涵于定理6.4.3中．然而紧致的正规空间可以不是正则空间．例子见于例6．2．3．在那个正规而非正则空间的例子中的拓扑空间只含有有限多个点，当然会是紧致的．定理7.2.8从紧致空间到Hausdorff空间的任何一个连续映射都是闭映射．第10页**共26页证明设X是一个紧致空间，Y是一个Hausdorff空间，f:X→Y是一个连续映射．如果A是紧致空间X中的一个闭子集．则它是紧致的（参见定理7.1.5），因此它的象集f（A）是Hausdorff空间Y中的一个紧致子集（参见定理7.1.4），所以又是闭集（参见推论7.2.2）．这证明f是一个闭映射．因为一个既单且满的开（或闭）的连续映射即是一个同胚，所以我们有：推论7.2.9从紧致空间到Hausdorff空间的任何一个既单且满的（即—一的）连续映射都是同胚．作业:P1921.2.§7.3n维欧氏空间中的紧致子集定义7.3.1设（X，ρ）是一个度量空间，AX．如果存在实数M＞0使得ρ（x，y）＜M对于所有x，y∈A成立，则称A是X的一个有界子集；如果X本身是一个有界子集，则称度量空间（X，ρ）是一个有界度量空间．定理7.3.1紧致度量空间是有界的．证明设（X，ρ）是一个紧致度量空间．由球形邻域构成的集族{B（x，1）|x∈X}是X的一个开覆盖，它有一个有限子覆盖，设为{B（x1，1），B（x2，1），…，B（xn，1）}．令M＝rnax{ρ(xi，xj）|1≤i，j≤n}十2如果x，y∈X，则存在i，j，1≤i，j≤n，使得x∈B（xi，l）和y∈B（xj，l）．于是ρ（x，y）＜ρ（x，xi）＋ρ（xi，xj）十ρ（xj，y）＜M11因此度量空间中的每一个紧致子集都是有界子集．特别n维欧氏空间的每一个紧致子集都是有界的．下面作为引理给出单位闭区间[0,1]是一个紧致空间的证明．尽管读者可能早已熟知这个结论．引理7.3.2单位闭区间[0,1]是一个紧致空间．证明设A是[0，1]的一个开覆盖．令P＝{x∈[0，l]|A有一个有限子族覆盖[0，x]}它是[