题目B答案

1量子力学（B卷）参考答案一填空(2分×20空=40分)1．德布罗意关系式为hp。2．微观粒子体系的状态用波函数来进行描写。3．微观粒子的波函数满足的薛定谔方程是222iUt。4．厄密算符的本征函数具有正交归一性。5．粒子的坐标和动量的测不准关系式是222().()4xxp。6.()(,)nlmnllmRrY为氢原子的波函数，,,nlm的取值范围分别为1,2,3,n,0,1,2,1ln,,1,,1,mllll。7．对易关系ˆˆ[,]xxPi，ˆˆ[,]xyLLˆziL。8．如两力学量算符ˆˆ,AB有对易关系ˆˆ[,]0AB，则它们有共同本征函数完全系。9．算符在其自身表象中是一个对角矩阵。10．偶极跃迁中，角量子数与磁量子数的选择定则为1,0,1lm.11.在国际单位制中，轨道磁矩与轨道角动量的关系是LeML；自旋磁矩与自旋角动量的关系是SeMS。12．自旋为/2奇数倍的粒子所组成的全同粒子体系的波函数是反（正、反）对称的，服从（服从、不服从）泡利不相容原理。13．ˆ为泡利算符，则2ˆ3，2ˆ[,]z0。二计算题(选做5题，每题12分，共60分)1．(12分)一粒子在一维势场,,()0,,xaUxaxaxa中运动，求粒子的能级和对应的波函数.解：(1)对于()Ux，定态薛定谔方程为)()(2)(222xEUdxxd，因为波函数2以及波函数的一阶、二阶导数都有限，所以()0x。(3分)(2)对于()0Ux，定态薛定谔方程为0)(2)(222xEdxxd令222Ek，方程化简为222()()0dxkxdx其解为()cossinxAkxBkx(3分)依据波函数的连续性，利用边界条件()()0aacossin0cossin0AkaBkaAkaBka，可得cos0sin0AkaBkaA和B不能同时为0，否则()x为0，因此我们得到两组解：0,sin00,cos0AkaBka可得(1,2,3)2nnkann为偶数为奇数所以,1,2,32nkna，又因222Ek，所以),3,2,1(82222222nankE(3分)波函数()cossincossin22nnxAkxBkxAxBxaa即sin,2,4,62()cos,1,3,52nBxnaxnAxna利用归一化条件2222sin12cos12aaaanBxdxanAxdxa，可得1ABa故1sin,2,4,62()1cos,1,3,52nxnaaxnxnaa把波函数结合起来可得1()sin(),(1,2,3)2nxxanaa(3分)32．(12分)一粒子处于范围在],0[a的一维无限深势阱中，状态用波函数22()sincosxxxaaa描述。已知其能量的本征态及本征值为axnansin2，2222,1,2,3,2nEnna，求粒子能量的可能值及相应概率和粒子能量的平均值。解：无限深势阱中，粒子能量的本征态及本征值为22222sin,,1,2,3,2nnnxnEnaaa求解该问题，首先必须弄清任意态)(x究竟包含了能量本征态中的那几个。直接将)(x展开可得132213()sincossinsin1223(sinsin)21122xxxxxaaaaaaxxaaaa(6分)所以能量的可能值及概率为22122Ea概率2121c，223292Ea概率2123c能量的平均值为22221122252EEcEca(6分)3.(12分)求01102xS的本征值和所属的本征函数。解：设xS的属于本征值2的本征函数为，本征方程为：011022由此得00使,有非零解的条件101所以1。(4分)4可见xS的本征值为2。设对应于本征值2的本征函数为112/1ba由本征方程2/12/12ˆxS，得1111011022aabb111111babaab由归一化条件12/12/1，得1**111(,)1aaaa即1221a∴212111ba对应于本征值2的本征函数为11212/1(4分)设对应于本征值2的本征函数为222/1ba由本征方程222/12/12ˆbaSx222222babaab由归一化条件，得1),(22*2*2aaaa即1222a∴212122ba对应于本征值2的本征函数为11212/1(4分)4．(12分)设一体系未受微扰作用时有三个能级：0012,EE，现在受到微扰/ˆH的作用，微扰矩阵元为/baHab，a和b都是实数，用微扰公式求能量至二级修正值。解：因为/baHab，由微扰论公式可2(0)(0)(0)||mnnnnnmnmHEEHEE得52200111111100002112200211100001212||||||mmmmmmHHEEHEbEEEEHaEbEbEEEE(6分)2200222222200001222200122200002121||||||mmmmmmHHEEHEbEEEEHaEbEbEEEE(6分)5．(12分)求在自旋态120()1zS中，求22().()xySS。解：22112222201010011001010110101100122444xxSS(5分)2211222220000001010100100122444yySSiiiiiii(5分)所以422().()16xySS(2分)6．（12分）简述量子力学的基本假设。答：(1)微观体系的状态用波函数完全描述。（3分）(2)体系的状态波函数满足薛定鄂方程：ˆiHt（3分）(3)力学量与力学量算符关系的假设：力学量用厄密算符表示，它的本征函数组成完全系，当体系处于波函数()x时，()x可用某力学量算符ˆF的本征函数()n展开，()nnnxc，测量力学量ˆF所得的数值必是算符ˆF的本征值之一n，测得n的几率为2nc。(3分)（4）全同性原理：在全同粒子组成的体系中，两全同粒子相互调换不改变体系的状态。（3分）