风险定量分析第八章第九章

第八章免赔额与风险保费的计算第一节保费计算原理定义8.1【纯风险保费原理】若非负的随机变量X表示受损，X的分布函数为FX(t),数学期望为E(x).纯风险保费原理为：P=E[X]（8.1）纯风险保费是最简单的保费计算原理，常用于人寿保险的定价以及一些非寿险产品的定价.由于未来的理赔损失常常不同于它的期望损失E[X],基于历史数据而估计出来的Ê[X]也不同于E[X],为了反映这个事实，常常在风险保费的基础上加上附加保费.定义8.2【期望值保费原理】若非负的随机变量X表示损失，X的分布函数为FX(t),数学期望为E(x).期望值保费原理为：P(θ)=(1+θ)E(X),θ≥0（8.2）这里θE(X)是附加保费，P(θ)是θ的线形函数，当θ=0时，P(θ)就是纯风险保费。这种保费定价原理在实践中应用最为广泛.纯风险保费和期望值保费原理的缺陷是没有反映X的损失波动性，因此方差保费原理和标准差保费原理被提出，以弥补这个缺陷.定义8.3【方差保费原理】在此处键入公式。若非负的随机变量X表示损失，X的分布函数为FX(t),数学期望为E(x)，方差为Var(X).方差保费原理为：P(a)=E(X)+aVar(X)a≥0（8.3）在方差保费原理下，保费不仅反映了期望损失，还反映了损失的方差。由（8.3）式定义的保费是a的线形函数，容易看出，当a=0时，P(a)就是纯风险保费。定义8.4【标准差保费原理】若非负的随机变量X表示损失，X的分布函数为FX(t),数学期望为E(x)，方差为Var(X).标准差保费原理为：P(b)=E(X)+b√Var(X),b≥0（8.4）标准差保费原理不仅反映了期望损失，也反映了损失的标准差。和方差原理一样，保费P(b)是b的线形函数，当b=0时，p(b)是纯风险保费。定义8.5【指数保费原理】若非负的随机变量X表示损失，X的分布函数为FX(t),X的矩母函数为Mx(t)=E[etX].指数保费原理为：P(c)lnMX(C)C=lnE[ecX]Cc≥0（8.5）保费P(c)是参数c的增函数，而参数c测度了风险厌恶程度，limc→0P(x)=E[X].定义8.6【百分比保费原理】若非负的随机变量X表示损失，X的分布函数为FX(t),FX(t)的反函数存在，记作FX−1(x).百分比保费表示为P(ε):P(ε)=FX−1(1−ε）（8.6）【例8.1】若随机损失变量X服从参数为1的指数分布，试用指数保费原理计算保费。【解】由公式（8.5），指数保费为：P=lnE[ecX]c=−ln(1−c)c其中，c为风险厌恶系数。【例8.2】设车辆保单组合的总理赔额服从复合Poisson分布，每个事故中的理赔额服从伽玛分布。试求安全附加系数为10%的期望值保费。【解】由N~Poisson(λ),X~Γ(α,β)知，期望值保费为：P=(1+10%)×E[N]×E[X]=1.1αλβ第二节免赔额在大部分保险业务中，常常采用免赔额来限制理赔，将保险公司的损失限定在合理的范围内。在汽车保险、健康保险、伤残保险、人寿保险等商业保险中,免赔额是保险公司限制理赔的重要手段。免赔额能达到以下两方面的目的，首先是减少经常发生的数量众多的小额理赔的处理成本，以降低保险公司的管理费用；其次是通过被保险人自付一部分理赔成本的方式，使被保险人提高防御风险的意识，减少对资源的浪费。免赔额具有以下几方面的优势：①防御风险：由于免赔额的存在，被保险人的赔偿被减少了，被保险人的自留额是正的，这就达到了规避损失的目的。②减少损失：由于免赔额的存在，使遭遇风险的保单持有人只得到一部分赔偿，这起到了经济激励的作用，激发了减少毁坏进一步扩大的正面动机。③避免小理赔，使管理成本得以控制：对于小理赔，对它的处理成本常常搞过损失本身，因此保险公司希望保单持有人自己承担它。④降低保费：降低保费对保单持有人来说是一个有意义的话题，它们可能更喜欢保留较高的免赔额而获得较低的保费。第三节免赔额下的保费计算公式与第一节一样，若随机变量X表示风险或损失，是非负的随机变量，它的分布函数为FX(t),概率密度函数为fX(t)，我们用h(x)表示与免赔额相对应的保险公司的支付函数。假定它的数学期望是E[X],方差Var(X)存在。从这一节中开始，我们只考虑最简单的纯风险保费计算原理，即保费P等于损失的期望值：P=E[X].定义8.7【绝对免赔额(FranchiseDeductible)】绝对免赔额通常就是写入保单合同中的免赔额。绝对免赔额为a，意味着当损失低于a时，保险公司不做任何赔偿，只有当损失等于或超出a时，保险公司赔付全部的损失。这是支付函数为:a(x)={0,x𝑎x,x≥a（8.8）绝对免赔额满足免赔额的性质①、③和④，但不满足②，甚至不利于性质②。因为在绝对免赔额下，一旦发生损失，保单持有人更愿意发生的损失高于或至少等于免赔额。性质8.1绝对免赔额下的纯风险保费可以用无免赔额时的保费和相应的有限期望值函数表示：PF(a)=P−L(a)+a{1−F(a)}（8.9）容易看到，保费PF(a)是a的减函数。当a=0时，PF(a)就是无免赔额时的保费；当a趋于无穷时，保费趋于0.定义8.8【定额免赔额（FixedAmountDeductible）】保险人和被保险人都同意加入一个免赔额b，意味着保险人仅赔偿高出额度b的部分。如果损失额低于b，依照合同约定，被保险人将得不到任何赔偿。因此支付函数为：hb(x)=max(0,x−b)（8.10）性质8.2定额免赔额下的保费可以用绝对免赔额下的保费表示：PFA(b)=P−L(b)=PF(b)−b{1−F(b)}（8.11）定义8.9【比例免赔额（ProportionalDeductible）】在比例c∈(0,1)的比例免赔额下，每笔赔偿都减少了c∙100%,由保险人支付的赔偿为100%（1−c）,因此此时的支付函数为：hc(x)=(1−c)x（8.12）性质8.3比例免赔额隐含着即使对非常小的理赔也给与赔偿。比例免赔额下的保费与无免赔额时的保费之间关系如下：PP(c)=(1−c)E[X]=(1−c)P（8.13）显然，保费PP(c)是c的减函数，PP(0)=P,PP(1)=0.定义8.10【有限比例免赔额（LimitedProportionalDeductible）】比例免赔额通常与最小额度免赔额结合，这样保险人就不需要处理小理赔了，同时也可使用最大额度免赔额限制被保险人的自留额。当最小额度免赔额为m1,最大额度免赔额为m2,有限比例免赔额为c是，支付函数为：h(c,m1,m2)(x)={0,x≤m1x−m1,m1𝑥≤m1/c(1−c)x,m1/c𝑥≤m2/cx−m2,xm2/c（8.14）性质8.4有限比例免赔额下的保费可以用无免赔额时的保费和相应的有限期望值函数表示：PLP(c,m1,m2)=P−L(m1)+c{L(m1c)−L(m2C)}（8.15）有时只有一个限制被写入合同中，即m1=0或者m2=∞。容易验证当m1=0并且m2=∞时，有限比例免赔额就是比例免赔额。第四节免赔额下对给定损失分布的保费计算实例【例8.3】计算免赔额下对数正态分布的保费公式。【解】考虑一个正态分布的随机变量Z.令X=eZ,X的分布就是所谓的对数正态分布，它的分布函数为：F(t)=φ(lnt−uσ)=∫1√2πσyexp{−12(lny−uσ)2}dyt0这里t0,σ0,u∈R,φ（∙）是标准的正态分布函数。各种免赔额下的纯风险保费为：（1）绝对免赔额保费：PF(a)=exp(u+σ22){1−φ(lna−u−σ2σ)}（2）定额免赔额保费：FFA(b)=exp(u+σ22)∙{1−φ(lna−u−σ2σ)}−b{1−φ(lnb−uσ)}（3）比例免赔额保费：Pp(c)=(1−c)exp(u+σ22)（4）有限比例免赔额保费：PLP(c,m1,m2)=exp(u+σ22)∙{1−φ(lnm1−u−σ2σ)}+m1{φ(lnm1−uσ)−φ(ln(m1/c)−uσ)}+{φ(ln(m1/c)−u−σ2σ)−φ(ln(m2/c)−u−σ2σ)}∙c∙exp(u+σ22)+m2{φ(ln(m2c)−uσ)−1}【例8.4】计算免赔额下帕累托分布的保费公式。【解】帕累托分布的分布函数为:F(t)=1−(λλ+t)α这里t0,𝛼0,λ0,只有当α1时帕累托分布的均值才存在。关于帕累托分布的其他性质，见第三章的帕累托分布。当α1时，损失分布为帕累托分布时各种免赔额下的纯风险保费为：（1）绝对免赔额保费：PF(a)=1α−1(aα+λ)(λa+λ)α（2）定额免赔额保费：PFA(b)=1α−1(b+λ)(λb+λ)α（3）比例免赔额保费：Pp(c)=(1−c)λα−1（4）有限比例免赔额保费：PLP(c,m1,m2)=1α−1(m1+λ)(λm1+λ)α+cα−1{(m2c+λ)(λm2c+λ)α−(m1c+λ)(λm1c+λ)α}【例8.5】计算免赔额下伯尔分布的保费公式.【解】伯尔分布的分布函数为：F(t)=1−(λλ+tτ)α这里t0,𝛼0,𝜏0.只有当ατ1时伯尔分布的均值才存在。关于伯尔分布的其他性质,见第三章的伯尔分布。当ατ1，损失分布为伯尔分布时各种免赔额下的纯风险保费为：（1）绝对免赔额保费：PF(a)=λ1τΓ(α−1/τ)Γ(1+1/τ)Γ(α){1−B(1+1τ,α−1τ,ατλ+ατ)}（2）定额免赔额保费：PFA(b)=λ1τΓ(α−1/τ)Γ(1+1/τ)Γ(α){1−B(1+1τ,α−1τ,bτλ+bτ)}−b(λλ+bτ)α（3）比例免赔额保费：Pp(c)=(1−c)λ1τΓ(α−1/τ)Γ(1+1/τ)Γ(α)（4）有限比例免赔额保费：PLP(c,m1,m2)=λ1/τ(α−1/τ)Γ(1+1/τ)Γ(α)∙{1−B(1+1τ,α−1τ,m1τλ+m1τ)}+cB(1+1τ,α−1τ,(m1/c)τλ+(m1/c)τ)−cB(1+1τ,α−1τ,(m2/c)τλ+(m2/c)τ)−m1(λλ+m1τ)α+m1(λλ+(m2/c)τ)α−m2(λλ+(m2/c)τ)上述公式中，函数Γ（∙）和Β（∙,∙,∙）分别意义为：Γ(a)=∫ya−1e−ydy∞0Β(a,b,x)=Γ(a+b)Γ(a)Γ(b)∫ya−1(1−y)b−1dyx0【例8.6】计算免赔额下威布尔分布的保费公式。【解】威布尔分布的分布函数如下：F(t)=1−e−βιτ这里t0,𝜏0,𝛽0.威布尔分布的保费公式为：（1）绝对免赔额保费：PF(a)=Γ(1+1τ)β1τ{1−Γ(1+1τ,βaτ)}（2）定额免赔额保费：PFA(b)=Γ(1+1τ)β1τ{1−Γ(1+1τ,βaτ)}−be−βbτ（3）比例免赔保费：Pp(c)=(1−c)β1/τΓ(1+1τ)（4）有限比例免赔额保费：PLP(c,m1,m2)=Γ(1+1τ)β1τ{1−Γ(1+1τ,βm1τ)}+cΓ(1+1τ)β1τΓ{1+1τ,β(m1c)τ}−cΓ(1+1τ)β1−τΓ{1+1τ,β(m2c)τ}−m1exp(−βm1τ)+m1exp(−β(m1c)τ)−m2exp(−β(m2c)τ)上述公式中不完全伽玛函数Γ(∙,∙)定义为：Γ(a,x)=1Γ(a)∫ya−1e−ydyx0第九章风险过程模型第一节Poisson过程Poisson过程是一类最重要的理赔到达过程，许多其他的理赔到达过程能够通过对Poisson过程的变换而得到。定义9.2随机过程｛N(t)，t≥0｝称为计数过程，如果N(t)表示从时间0到时间t内某一随机事件发生的次数。从它的定义可以知道，计数过程｛N(t)，t≥0｝具有以下性质：（i）N(t)取值为非负整数;（ii）当s𝑡时，N(s)≤N(t)，而且N(t)−N(s)表示(s,t]时间内事件发生的次数。计数过程在实际中有着广泛的应用。比如，若以N(t)表示到时刻t为止光顾某超市的顾客人数，那么｛N(t)，t≥0｝就是一个计数过程；若