车辆动力学基础第六章公式推导

1《车辆动力学基础》第6章公式推导对转向时（假设小转向角）正确的几何关系，tan可得出转向角为/2oLRt（6-1）/2iLRt（6-2）前轮的平均角度（假定小转向角）定义为阿克曼角（Ackermanangle）：LR（6-3）低速转向的另一个重要特征是后轮的偏离轮迹（off-tracking）。从简单的几何关系就可以计算出偏离轮迹距离，即[1cos(/)]RLR（6-4a）利用余弦函数的级数展开表达式，即246cos12!4!6!zzzz就有222[1cos(/)]cos(/)(1//2!)2LRLRRRLRRRLRR（6-4b）侧偏角较小时（≤5°）,侧偏力与侧偏角呈线性关系，即yFC（6-5）由于侧偏力受载荷的影响非常大，所以轮胎的侧偏特性也用“侧偏系数”来描述，，将其定义为侧偏刚度除以载荷。侧偏系数/(1/1/deg)zyzCCCFbb（6-6）对以车速为V向前行驶的车辆，作用于轮胎所有侧向力的和等于质量乘以向心加速度，即2/yyfyrFFFMVR（6-7）同样，对车辆重心的力矩也应平衡，即作用于前、后轴侧向力所产生的力矩之和应为零，即0yfyrFbFc（6-8）由上式可得/yfyrFFcb（6-9）将上式代入式（6-7）后有2/(/1)()//yryryrMVRFcbFbcbFLb（6-10）2/(/)yrFMbLVR（6-11）2/(/)yfFMcLVR上式中Mb/L只是车辆质量在后轴的部分，即Wr/g，同理可得//rMbLWg//fMcLWg2当所求得侧向力已知时，由式（6-5）可以得到前、后轮的侧偏角，即222//(/)(/)(/)//()fyfffsffsfFCMcLVRWgVRCWVCgR（6-12）222//(/)(/)(/)//()ryrrrsrrsrFCMbLVRWgVRCWVCgR（6-13）再注意转向时车辆模型的几何关系以完成分析，可得57.3/frLR（6-14）将式（6-12）、式（6-13）两式和f、r代入代入上式后得到22257.357.3fsfsrsrsfrfrWVWWVWLLVRCgRCgRRCCgR（6-15）式（6-15）常简写成如下简略式：57.3/yLRKa（6-16）上式描述车辆转向角如何随转动半径R或侧向加速度2/()VgR变化，(//)ffrrWCWC确定所需要的转向输入的大小和方向。2/()yaVgRfsrsfrWWKCCK称为“不足转向梯度”，单位是deg/g。K有三种取值可能性：①中性转向：//0ffrrfrWCWCK②不足转向：//0ffrrfrWCWCK③过多转向：//0ffrrfrWCWCK对于具有不足转向特性的车辆，其不足转向的程度可以用一个称为特征车速的参数度量。特征车速是指进行任何（半径）转向，要求的转向角为2倍阿克曼角时的车速。由式（6-16）可见，此时257.3//()yKaLRKVgR（6-17）因为ya是速度平方的函数，故特征车速为57.3/()/57.3/charVLRgRKLgK（6-18）过多转向时，存在临界车速，可表示为57.3/critVLgK（6-19）上式中K为负值，平方根内表达式为正实数。通过式（6-16）可以求得侧向加速度ay与转角δ的比率，该比率称为侧向加速度增益，由下式给出：22221157.3/57.3/()57.3/((/))1/(57.3)g/deg57.3/1/(57.3)yyyyaaLRKaLRaKLRVgRKVLgLgVKKVLg（6-20）横摆角速度r是方向角的转动速率，表示为57.3/(deg/s)VRr（6-21）将该式代入式（6-16），求得横摆角速度与转向角的比值为322257.3/57.3/57.357.3/57.3//57.3//1/(57.3)yVRVRVLRKaLRKVgRLKVgVLKVLgr（6-22）对任意车速，质心处的侧滑角β是257.3/57.3//()rrrcRcRWVCgR（6-23）该侧滑角为零时的车速与转向半径无关，该车速是2057.3//()rrcRWVCgR057.3/rrVgcCW（6-24）静态裕度定义为中性转向点在质心后方的距离，并以轴距正则化，即静态裕度=e/L（6-25）弹簧的横向间距使其产生抗侧倾阻力矩，它正比于车身和车轴的侧倾角之间的差。此刚度是20.5sKKs（6-26）内、外侧车轮垂直载荷差为2/2/2zoziyrzFFFhtKtF（6-27）上式中，yyiyoFFF绕侧倾轴的力矩是211(sin/()cos)cosMWhWVRgh（6-28）当侧倾角较小时，cos和cos可以视为1，sin，则22111121(sin/()cos)cos/()[/()]MWhWVRghWhWVRghWhVRg（6-29）但()frfrMMMKK（6-30）求解式（6-29）和式（6-30）可以得到侧倾角：22111[/()]()()/()frfrMWhVRgKKKKWhWhVRg211/()frWhVRgKKWh（6-31）上式对侧向加速度求道，可以得到侧倾率：2111111/()ddddddyfrfryyyfrWhaWhVRgKKWhKKWhWhRaaaKKWh（6-32）将的表达式（6-31）代入式(6-30)，可求得前、后轴的侧倾力矩分别是222'11/()fffffffzfffrWhVWhVWhVRgMKKFtRgKKWhRg（6-33）222'11/()rrrrrrrzrrfrWhVWhVRgWhVMKKFtRgKKWhRg（6-34）上式中，0/2(/2)zfzffzfifFFWFW40/2(/2)zrzrrzrirFFWFW轮胎的转向特性可以简单地用一个称为侧偏刚度的常数C来表示，作用在车轴上的侧偏力可以由下式给出yFC（6-35）每一个车轮的侧偏刚度都可以表示成一个两阶或高阶多项式，作用在每一个车轮上的力是''2()yzzFCaFbF（6-36）图6.12所示车辆转向时，作用在两个轮胎的侧偏力yF是222()()yzzzozoziziFaFbFaFbFaFbF（6-37）现在，将左、右车轮垂直载荷变化用zF表示：zozzzizzFFFFFF（6-38）从而2222()[()()()()]yzozozizizzzzzzzzFaFbFaFbFaFFbFFaFFbFF（6-39）该方程式可以简化为22222222[()()()()](22)(222)yzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzFaFFbFFaFFbFFaFaFbFbFFbFaFaFbFbFFbFaFbFbF上式中括号中的前两项等于轮胎在其静载荷时的侧偏刚度（由式6-36可得），则此方程式可以再简化，即222(222)22yzzzzzFaFbFbFCaFbF（6-41）或222(222)(2)yzzzzFaFbFbFCbF（6-42）对前轴的两个轮胎，可以写出22(2)/()yffzfffFCbFWVRg（6-44）同样，对后轴有22(2)/()yrrzrrrFCbFWVRg（6-45）通过替换可得22/()2fffzfWVRgCbF22/()2rrrzrWVRgCbF2222/()/()57.357.322frfrfzfrzrWVRgWVRgLLRRCbFCbF（6-46）利用22zCbF的事实，可将上式继续简化，于是522222212/2111(1)2222(1)(1)(1)zzzzzzbFCbFbFbFbFCbFCCCCCCC因而式（6-46）可以改写为2222222222/()/()57.322/()2/()257.3(1)(1)2257.3()()frfzfrzrfzfrzrffrrffzfrrzrfrffrrWVRgWVRgLRCbFCbFWVRgbFWVRgbFLRCCCCWWbFWWbFLRCCCCCC2VRg（6-48）上式中括号内第一项是前面已经推导得由额定侧偏刚度K产生的不足转向梯度。第二项代表因轮胎横向载荷转移而产生的不足转向梯度，即tiresfsrsfrWWKCC2222fzfrzrutffrrWbFWbFKCCCC（6-49）转向时，总的外倾角是gb（6-50）运用悬架运动学的分析都可以得到车身侧倾引起的外倾角梯度（cambergradient）：/()f轮距、悬架几何、侧倾角（6-51）侧偏力对转向特性的影响实际上不仅来自于轮胎的侧偏角，同时也收到外倾角的影响，这就是yFCC（6-52）因而yFCCC（6-53）通过式（6-11）和式（6-53）建立了侧偏力Fy、外倾角与侧向加速度的关系，从而可以得到f与r的表达式：222/(/)/(/)/()yrrrryFMbLVRWgVRWVgRWa222/(/)/(/)/()yffffyFMcLVRWgVRWVgRWayfffffffyyffffyyrrrrrrryyrrrryFCWCaaCCCCaFCCWaaCCCCa（6-54）将这些方程式代入转向方程式（6-14），可以得到6257.357.3()()57.3()()frfffrrryyyyffyrryfffrrrfrfryLRWCCWLaaaaRCCaCCaWCCWLVRCCCCaRg（6-55）所以，由于每个车轴上外倾角所导致的不足转向是camber()ffrrfryCCKCCa（6-56）设“”是一个车轴的侧倾转向系数（转向角度/每度侧倾角），类似于前面的处理办法，可以得出侧倾转向产生的不足转向梯度：roolsteer()fryKa（6-57）侧向力柔顺转向对操控的影响，可以定义一个适当的系数来量化，它表示为/()cyAF转向角度/单位侧向力（6-58）作用在车轴上的侧向力，可以简单地用作用在车轴上的载荷乘以侧向加速度表示，这样，对于前轴：cffyfffyAFAWa（6-59）由于车辆前、后轴的转向角直接影响不足转向特性，由侧向力柔顺转向产生的不足转想（系数）是lfcsffrrKAWAW（6-60）在轮胎侧向力不是作用在车轮中心，而是偏后各车轮一个距离p的假设下，通过推导转向方程得到的不足转向为fratfrCCpKWLCC（6-61）对于图6.19将牛顿第二定律用于侧向，可得其运动方程：2/()cos()sin()fyffxffWVRgFF（6-62）2/()cossinryrrxrrWVRgFF（6-63）侧偏力yfF、yrF是