群论-第二章-群表示理论-2011.12.7

第二章群表示理论Representationtheoryofgroup1设V和V′均是线性空间，T是一个变换规则。若V中任一向量x在T变换下对应着V′中唯一的向量x′，则称T为V到V′的算符，记作x′=Tx，x∊V，x′∊V′2第一节1.群表示的定义通常，V′是V自身，此时称T为V上的算符。3∀x,y∊V,∀α,β∊数域P，若有T(αx+βy)=αTx+βTy则T为线性算符。线性空间V上，满足群定义的线性算符集合构成线性算符群。一线性空间V上有一个线性算符群与群G={e,g1,g2,…}同态，则集合T称为群G的一个在V空间上的表示。V称为表示空间，其维数称为表示的维数。4V：基矢。算符T(g)与一个矩阵M(g)对应，矩阵群，基矢组选取不同，T对应不同矩阵群。jiijiugMugTGg,GMMT~,GggMM|iu群表示的另一种定义：设G是群，M是一个n维方阵集合，如果M与G同态，则称M是G的一个n维表示。与群元g对应的矩阵M(g)称为群元g的表示矩阵。若M与G同构，则M为G的真实(faithful)表示。若同态，则为非真实表示。52.单位表示任一n维空间上，定有一个单位算符T(e)，有T(e)对应单位矩阵I0。，T(e)是G的单位表示（也称恒等表示或平庸表示）。(一维，n维)63.群表示的确定（非单位表示）例1.C3v群在三维实空间中直角坐标系下的表示。基矢群元g↔算符T(g)，则T(g)是g的一个表示321321ˆˆˆˆ,ˆ,ˆezeyexreee，333322112323322312113321233300eˆeˆceˆeˆeˆeˆceˆeˆeˆeˆc,,,c,c,eCv：jjijiegMegT7100002123232133cMc1000021232321，也可写成取决于jjijjjijigMuugMugT还是1000021232321232323cMcMc可按上述思路计算，也可如下计算：23c？8kjkkikkjkijjjijjjijiiecMecMcMeccMecMceccecˆˆˆˆˆˆ323333333323同理，1000100011000100011Ie91000010000212323213212323212习题：确定D3群在空间坐标系下的表示。例2.C3v群在以为基矢的二维函数空间中的矩阵表示。xyruyxru2,2221先考查一个物理问题：一个物体有温度分布。g∈G，是一个旋转操作。g操作后，r点温度值为，为在点的值：rfrfrg1rgfrf1rf10rggfrggfrgFrFgTrgfgTrfgTgTTgT,gTGg,gG1211112111121212121，证明：GTgTgTggTrggfrfggT,Ggg21211212121rgfrfrfgTrfrfg1新函数旧函数，新自变量即，{T(g)|g∊G}构成与群G同构的算符群。♣T(g)构成线性空间中的一个算符群rggfrgFgfFrgfrF111211121211rcurcurucT2311311322123123212321322313sincoseˆyxeˆyxeˆreˆrrcrcxy12ruruyxyxrcercerucT21222132213113232121232321ˆˆruruyxyxrcercerucT21132131232123212323212ˆˆ22123232133cMcT，，同理可得123TcT13群表示的封闭线性空间：只有所选线性空间在算符群中所有算符的作用下都不变时，算符群才能给出群的表示。这样的空间称为群表示的封闭线性空间。若所选空间基矢（基函数）不恰当，以致于经算符变换后，新基矢不能用原基矢的线性组合表示，则所选线性空间对于所研究的群不是封闭的，即，所选空间不足以表示所研究的群，需要寻找一个更大或更合适的空间来表示该群。14一个群有多少种表示？设矩阵群D是G的一个表示，D(g)是对应群元g的矩阵。有一非奇异矩阵S，有集合{D′(g)|g∈G}构成矩阵群，也是G的一个表示。（相似变换不影响矩阵间的运算关系）SgDSgD1称是的等价表示。（注意：对所有群元g∈G，用一个矩阵S得到）gDgDgD♣采用不同的S，可构造出无穷多种表示，彼此都是等价表示。212121121112121ggDgDgDSggDSSgDSSgDSggDgDgD15所有等价的表示都认为是相同的表示。定理1.若有限群G有一个非单位矩阵表示，则必能经相似变换将其变为幺正矩阵表示。（对∀g∈G,有表示矩阵D(g),存在一个矩阵S，使，且有。）等价表示构成一个表示的类。任意）（的特征矩阵排列构成）由（是对角化的。，kAAAHVAVVAVAAHHVHHHVVjkjjjkkjkk,211116证明：群G的一个矩阵表示，对应各群元的表示矩阵。定义,H是厄米阵（）。GAAHgiA,,A,,A,AD21：HH对厄米阵H，存在幺正阵V使其对角化17的实数。均是大于，矩阵是非奇异的。因此阵是奇异的，而群表示，则。若等于则000kkkkHAH定义对角矩阵21212211kkkkkkkkHDDHDD：；：HDDIDD11021，则互为等价表示，，是幺正阵，而可证明iiiiiiDiiViAAAADADAVAVAA1111118011111111111111111111111111111111111111IDDDDDHDDAADDAAAADDAAAADDAHADDADDADDADDADAAAjjjiiiiiiiiiiiii幺正性的证明：群的一切等价表示都有一个等价的幺正表示。研究群表示时，只需研究其幺正表示。可见，对于∀g∈G，一定存在非奇异矩阵S=VD1，通过相似变换使一般的群表示变成幺正表示。SgDSgD119一个群的表示有无穷多种：的等价表示。的表示，是也是。有维矩阵取任一个非奇异，维矩阵表示如果有一种从一维到无穷维空间无穷多种单位表示，gMGgMAgMAgM,AngMn.n,nIgM.102120定理2.若D1和D2是群G的等价幺正表示，则有幺正矩阵U，使得。证明：D1和D2等价，必存在一非奇异矩阵S，对∀g∈G，有11211111121111211112112SgDSgDSgDSgDSgDSgDSgDSgDSgDSgD并有gDSSSSgDSgDSSgDS111111(*)11HSSSSSSHHHHgDgHDSSH是厄米矩阵且设21对厄米矩阵，总有幺正矩阵V使其对角化，IVVJHVV且对角阵)(1VJgDVVgDJVVJVgDgDVJVVJVH111111111*.式代入为非奇异实对角阵。是奇异阵，时等于，是厄米阵显然的任一对角元对角阵JSSSSSSJJSSVSSVVVVSSVHVVJ.JJkkkikik*ikkiikiiii00021111JJJJgDgDJJgDgDJ212121211111，就有22jjijijiijjijijiikkkjikkjikJDDJJDDJJJDDJ，显然有对角，证：11121212121JJJJgDgDJ，同理有1111111121212121VVJgDgDVVJVJgDVVgDVJUgDUMSgDMSSgDSgDMgDgMDVVJM111111211121有设U是幺正矩阵。证：1110111111112121SSH,SSHIVHVJSHSSVVJSSVVJVVJSMSMSUU证毕。对有限群，只需研究幺正表示及其幺正变换。23若群G有两个幺正表示D1和D2，则∀g∈G，表示矩阵D1(g)和D2(g)的直和002121gDgDgDgDgD是准对角矩阵（块状对角矩阵）。2121221122122111210000ggDggDggDgDgDgDgDgDgDGGggDD的一个矩阵表示：构成群的这个表示都是准对角矩阵。24gDgDgDgD11100推论：由D1(g)堆积成这种由相同结构的准对角矩阵构成的表示，称为可约表示(reduciblerepresentation)。可约表示的一般定义：若所有群元的表示矩阵可由一个矩阵S的相似变换而变成相同结构的准对角矩阵，则该矩阵表示是可约表示。相似变换过程称为可约表示的约化（可约表示矩阵→块状对角矩阵）。也是G的一个表示。♣可构造无穷多种此类表示，均是准对角阵。25不可约表示（irreduciblerepresentation）上述情况不成立时的群表示，称为不可约表示。即，不可约表示是不能用更低维数的矩阵来描述的表示。推知：可约表示=一些不可约表示的直和26第二节舒尔引理（Schur′slemma）有一非零矩阵A与群G的某个表示的所有矩阵对易。（1）若该表示是不可约的，则A必为单位矩阵的常数倍。（2）若A不是单位矩阵的常数倍，则该表示必为可约表示。（2）是（1）的逆否命题27对易均与，是幺正表示考虑，有，若证明：gDAAAgDgDAgDAAgDgDgDAAgDAgDgADGg11是厄米阵。，。，显然令JHJJHHAAiJ,AAH对易均与，，，gDJHAA♣证明舒尔引理对厄米矩阵H和J这种特殊情况成立即可。（1）若H和J是单位阵常数倍，A也必是；（2）若A不是单位阵常数倍，H和J中至少有一个也不是。28011111