直线和椭圆的弦长问题

---------弦长问题问题：怎么判断它们之间的位置关系？问题：椭圆与直线的位置关系？相交相切相离判断方法（1）联立方程组：（2）消去一个未知数（3）∆02222201ìï++=ïïíï+=ïïîAxBxCxyab得：20(0)++=?mxnxpmD判定的大小∆=0∆0ÛÛÛ方程无解方程有一解方程有两解ÛÛÛ直线与椭圆没有交点ÛÛÛ相离直线与椭圆有一个交点直线与椭圆有两个交点相切相交弦长问题：消去y得：已知直线12=-yx与椭圆22212+=xy，判断他们的位置关系解：联立方程组：-221242yxxyìïï=ïíïï+=ïî25410--=xx0D\方程①有两个根\直线与椭圆的位置关系：相交思：相交所得弦的弦长是多少？22121221221212()()2()2()4=-+-=-=+-xxyyxxxxxxAB625=①弦长公式：设直线与椭圆相交于1122(,),(,)AxyBxy两点，直线AB的斜率为K.适合求任何二次曲线与直线的弦长思考：直线k不存在应怎样求解呢？2212121()4=++-kxxxx1212,+xxxx可由韦达定理得AB21212211()4=++-yyyyk其中直线与圆的相交弦的弦长：222=-lrd（d为圆心到直线的距离）例1：求椭圆22142+=xy与直线220-+=xy相交弦长弦长2224112ìï+=ïïíï=+ïïîxyyxÞ23440+-=xx\24640D=-=bab解：联立方程组：121244,33+=-=-xxxx22121241()453=++-=lkxxxx\例2：已知斜率为1的直线L过椭圆2214+=xy的右焦点交椭圆于A，B两点，求AB的长.解：令A,B坐标分别为1122(,),(,)AxyBxy由椭圆方程知：2224,1,3===abc\(3,0)F直线L方程为：3=-yx联立方程组：22443ìï+=ïíï=-ïîxyyxÞ258380-+=xx\1212838,55+==xxxx\AB22121281()45=++-=kxxxx总结：①联立方程组②消去其中一个未知数得一元二次方程③韦达定理④弦长公式总结：求弦长的方法：[1]两点间距离公式：221221yyxxl注：对于平行于坐标轴的直线与椭圆相交产生的弦长，由于交点坐标非常好解，故用两点间距离公式就可以求弦长。exaPFexaPFbyax2122221右焦点焦半径公式为：左焦点焦半径公式为：来说，有对于椭圆[2]焦半径公式：1212()()2()ABFAFBaexaexaexx=+=+++=++---1212()()2()ABFAFBaexaexaexx=+=+=+过左焦点的弦长：过右焦点的弦长：注：应用焦半径公式求弦长，是把弦长看作同一焦点的两个焦半径之和。使用焦半径公式时，注意左、右焦点的公式不同。注：此公式是由：直线斜率k、弦的端点横坐标x1、x2来求出弦长的。故，在给出直线方程时（既：已知k），基本都使用这个公式。[3]弦长公式：212212221411xxxxkkxxl例3：已知点12,FF分别是椭圆2212+=xy的左、右焦点，过2F作倾斜角为4π的直线，求1DABF的面积2F1F··xyBA用三种方式求解AB求弦长的操作程序找到或求出直线与椭圆方程平行于坐标轴的直线两点间距离公式不平行于坐标轴，但过焦点的直线焦半径公式不平行于坐标轴，也不过焦点的直线弦长公式思考练习：已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线1=+yx与该椭圆相交于P和Q两点，且线段^OPOQ102=PQ,求椭圆的方程.再见谢谢1212,bcxxxxaa+=-=AB2212121()4kxxxx=++-221()4bckaa=+--22241backa-=+21kaD=+