数值分析试题及答案

一、单项选择题（每小题3分，共15分）1.3.142和3.141分别作为的近似数具有（）和（）位有效数字.A．4和3B．3和2C．3和4D．4和42.已知求积公式211211()(2)636fxdxfAff，则A＝（）A．16B．13C．12D．233.通过点0011,,,xyxy的拉格朗日插值基函数01,lxlx满足（）A．00lx＝0，110lxB．00lx＝0，111lxC．00lx＝1，111lxD．00lx＝1，111lx4.设求方程0fx的根的牛顿法收敛，则它具有（）敛速。A．超线性B．平方C．线性D．三次5.用列主元消元法解线性方程组1231231220223332xxxxxxxx作第一次消元后得到的第3个方程（）.A．232xxB．2321.53.5xxC．2323xxD．230.51.5xx单项选择题答案1.A2.D3.D4.C5.B得分评卷人二、填空题（每小题3分，共15分）1.设TX)4,3,2(,则1||||X，2||||X.2.一阶均差01,fxx3.已知3n时，科茨系数33301213,88CCC，那么33C4.因为方程420xfxx在区间1,2上满足，所以0fx在区间内有根。5.取步长0.1h，用欧拉法解初值问题211yyyxy的计算公式.填空题答案1.9和292.0101fxfxxx3.184.120ff5.1200.11.1,0,1,210.11kkyykkyL得分评卷人三、计算题（每题15分，共60分）1.已知函数211yx的一组数据：求分段线性插值函数，并计算1.5f的近似值.计算题1.答案1.解0,1x，1010.510.50110xxLxx%1,2x，210.50.20.30.81221xxLxx%所以分段线性插值函数为10.50,10.80.31,2xxLxxx%1.50.80.31.50.35L%2.已知线性方程组1231231231027.21028.354.2xxxxxxxxx（1）写出雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式；（2）对于初始值00,0,0X，应用雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式分别计算1X（保留小数点后五位数字）.计算题2.答案1.解原方程组同解变形为1232133120.10.20.720.10.20.830.20.20.84xxxxxxxxx雅可比迭代公式为1123121313120.10.20.720.10.20.830.20.20.84mmmmmmmmmxxxxxxxxx(0,1...)m高斯－塞德尔迭代法公式1123112131113120.10.20.720.10.20.830.20.20.84mmmmmmmmmxxxxxxxxx(0,1...)m用雅可比迭代公式得10.72000,0.83000,0.84000X用高斯－塞德尔迭代公式得10.72000,0.90200,1.16440X3.用牛顿法求方程3310xx在1,2之间的近似根（1）请指出为什么初值应取2？（2）请用牛顿法求出近似根，精确到0.0001.计算题3.答案3.解331fxxx，130f，210f233fxx，12fxx，2240f，故取2x作初始值迭代公式为3111112113133nnnnnnnnfxxxxxxfxx312121()31nnxx或，1,2,...n02x，3122311.88889321x，32221.8888911.8794531.888891x210.009440.0001xx33221.8794511.8793931.879451x，320.000060.0001xx方程的根1.87939x4.写出梯形公式和辛卜生公式，并用来分别计算积分1011dxx.计算题4.答案4解梯形公式2babafxdxfafb应用梯形公式得101111[]0.75121011dxx辛卜生公式为[4()]62babaabfxdxfaffb应用辛卜生公式得1011010[04()1]162dxfffx1111[4]161011122536得分评卷人四、证明题（本题10分）确定下列求积公式中的待定系数，并证明确定后的求积公式具有3次代数精确度1010hhfxdxAfhAfAfh证明题答案证明：求积公式中含有三个待定系数，即101,,AAA，将21,,fxxx分别代入求积公式，并令其左右相等，得1011123112()02()3AAAhhAAhAAh得1113AAh，043hA。所求公式至少有两次代数精确度。又由于3334443333hhhhhhxdxhhhhxdxhh故40333hhhhfxdxfhffh具有三次代数精确度。一、填空（共20分，每题2分）1.设2.3149541...x，取5位有效数字，则所得的近似值x=.2.设一阶差商21122114,321fxfxfxxxx，322332615,422fxfxfxxxx则二阶差商123,,______fxxx3.设(2,3,1)TX,则2||||X，||||X。4．求方程21.250xx的近似根，用迭代公式1.25xx，取初始值01x，那么1______x。5．解初始值问题00'(,)()yfxyyxy近似解的梯形公式是1______ky。6、1151A，则A的谱半径＝。7、设2()35,,0,1,2,...,kfxxxkhk，则12,,nnnfxxx和123,,,nnnnfxxxx。8、若线性代数方程组AX=b的系数矩阵A为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代都。9、解常微分方程初值问题的欧拉（Euler）方法的局部截断误差为。10、为了使计算23123101(1)(1)yxxx的乘除法运算次数尽量的少,应将表达式改写成。填空题答案1、2.31502、23121233153,,112,,416fxxfxxfxxxxx3、6和144、1.55、11,,2kkkkkhyfxyfxy6、()6A7、12123,,3,,,,0nnnnnnnfxxxfxxxx8、收敛9、h10、11310121(1)(1)yxxx二、计算题（共75分，每题15分）1．设3201219(),,1,44fxxxxx（1）试求fx在19,44上的三次Hermite插值多项式x使满足''11()(),0,1,2,...()()jjHxfxjHxfxx以升幂形式给出。（2）写出余项()()()RxfxHx的表达式计算题1.答案1、（1）3214263233122545045025xxxx（2）522191919()(1)(),()(,)4!164444Rxxxxx2．已知的满足，试问如何利用构造一个收敛的简单迭代函数，使0，1…收敛？计算题2.答案2、由()xx，可得3()3xxxx，1(()3)()2xxxx1()(()3)2xx’’因，故11()122xx’’（）-311()()3,k=0,1,....2kkkkxxxx故收敛。3．试确定常数A，B，C和a，使得数值积分公式有尽可能高的代数精度。试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss型的？计算题3.答案3、101612,,995ACBa，该数值求积公式具有5次代数精确度，它是Gauss型的4．推导常微分方程的初值问题00'(,)()yfxyyxy的数值解公式：'''1111(4)3nnnnnhyyyyy（提示：利用Simpson求积公式。）计算题4.答案4、数值积分方法构造该数值解公式：对方程()yfx’在区间11,nnxx上积分，得1111()()(,())nnxnnxyxyxfxyxdx，记步长为h,对积分11(,())nnxxfxyxdx用Simpson求积公式得1111112(,())()4()()(4)63nnxnnnnnnxhhfxyxdxfxfxfxyyy’’’所以得数值解公式：1111(4)3nnnnnhyyyyy’’’5．利用矩阵的LU分解法解方程组1231231232314252183520xxxxxxxxx计算题5.答案5、解：1123211435124ALU(14,10,72),(1,2,3).TTLybyUxyx令得得三、证明题（5分）1．设，证明解的Newton迭代公式是线性收敛的。证明题答案1、32231321232323333()(),()6(),:(),0,1,...()()5,0,1,...6()6655(),(),6663551,()()636nnnnnnnnnnnfxxafxxxaNewtonfxxxnfxxaxaxxnxxaxaaxxxxxaxaaa’’’’’证明：因故由迭达公式得因迭达函数而又则10,32故此迭达公式是线性收敛的。一、填空题（20分）(1).设*2.40315x是真值2.40194x的近似值，则*x有位有效数字。(2).对1)(3xxxf,差商]3,2,1,0[f()。(3).设(2,3,7)TX,则||||X。(4).牛顿—柯特斯求积公式的系数和()0nnkkC。填空题答案（1）3（2）1（3）7（4）1二、计算题1).（15分）用二次拉格朗日插值多项式2()sin0.34Lx计算的值。插值节点和相应的函数值是（0，0），（0.30，0.2955），（0.40，0.3894）。计算题1.答案1）0201122012010210122021()()()()()()()()()()()()()=0.333336xxxxxxxxxxxxLxfffxxxxxxxxxxxx2).（15分）用二分法求方程3()10[1.0,1.5]fxxx在区间内的一个根，误差限210。计算题2.答案2)12345661.251.3751.31251.343751.3281251.3203125Nxxxxxx3).（15分）用高斯-塞德尔方法解方程组22521