第二章控制系统的数学模型-青岛科技大学--自动化与电子工

第二章控制系统的数学模型4数学模型的实验测定法1控制系统的时域数学模型2控制系统的复域数学模型3控制系统的结构图和信号流图控制系统的数学模型控制系统的时域数学模型微分方程是描述自动控制系统时域动态特性的最基本模型，微分方程又称之为控制系统时域内的运动方程。)(tui)(tuo例:图示是由R、电感L和电容C组成的无源网络，写出以为输入量，以为输出量的网络微分方程。1线性元件的微分方程图2.1RLC无源网络控制系统的数学模型控制系统的时域数学模型解：消去中间变量得到微分方程：(t)u(t)udt(t)duRCdt(t)udLCo2o2iodttiCtou)(1)()()(1)()(tudttiCtRidttdiLi)(ti控制系统的数学模型控制系统的时域数学模型例求弹簧-阻尼-质量的机械位移系统的微分方程。输入量为外力F，输出量为位移x。mfmFFxfxm图2图1xkkx[解]：图1和图2分别为系统原理结构图和质量块受力分析图。图中，m为质量，f为粘性阻尼系数，k为弹性系数。Fkxxfxm根据牛顿定理，可列出质量块的力平衡方程如下：这也是一个两阶定常微分方程。X为输出量，F为输入量。控制系统的数学模型控制系统的时域数学模型编写系统微分方程的步骤：1.确定系统的输入量和输出量；2.将系统分解为各环节，依次确定各环节的输入量和输出量,根据各环节的物理规律写出各环节的微分方程；3.消去中间变量，求出系统的微分方程。控制系统的数学模型控制系统的时域数学模型2控制系统微分方程的建立负载gueu-+1u-+2u功率放大器fu测速发电机cMau例：编写下图所示的速度控制系统的微分方程。[解]：⑴该系统的组成和原理；⑵该系统的输出量是，输入量是，扰动量是gucM测速au1u2ueugufu-cM运放Ⅰ运放Ⅱ功放电动机⑶速度控制系统方块图：efgukuuku111)()(1122uuku⑷各环节微分方程：运放Ⅰ：，运放Ⅱ：功率放大：，反馈环节：电动机环节：23ukuaffku)(ccamanmmaMMTkukTTT)()(1110000cCamggmaMMTKuuKKKKTKTTm)(~cgMugucM⑸消去中间变量：推出之间的关系：显然，转速既与输入量有关，也与干扰有关。控制系统的数学模型控制系统的时域数学模型3、线性系统的基本特性线性系统的重要性质是可以应用叠加原理。叠加原理有两重含义。叠加性均匀性控制系统的数学模型控制系统的时域数学模型4、线性方程的求解研究控制系统在一定的输入作用下，输出量的变化情况。方法有经典法，拉氏变换法。在自动系统理论中主要使用拉氏变换法。[拉氏变换求微分方程解的步骤]：①对微分方程两端进行拉氏变换，将时域方程转换为s域的代数方程。②求拉氏反变换，求得输出函数的时域解。控制系统的数学模型控制系统的时域数学模型5非线性微分方程的线性化在经典控制领域，主要研究的是线性定常控制系统。如果描述系统的数学模型是线性常系数的微分方程，则称该系统为线性定常系统，其最重要的特性便是可以应用线性叠加原理，即系统的总输出可以由若干个输入引起的输出叠加得到。若描述系统的数学模型是非线性（微分）方程，则相应的系统称为非线性系统，这种系统不能用线性叠加原理。在经典控制领域对非线性环节的处理能力是很小的。但在工程应中，除了含有强非线性环节或系统参数随时间变化较大的情况，一般采用近似的线性化方法。对于非线性方程，可在工作点附近用泰勒级数展开，取前面的线性项。可以得到等效的线性环节。控制系统的数学模型控制系统的时域数学模型设具有连续变化的非线性函数为:y=f(x)，若取某一平衡状态为工作点，如下图中的。A点附近有点为，当很小时，AB段可近似看做线性的。)(0,0yxA),(yyxxBAByx00xxx00y00yy)(xfyx控制系统的数学模型控制系统的时域数学模型...)(|)(!21)(|)()(20220000xxdxxdfxxdxxdfxfyxxxx)(0,0yxA设f(x)在点连续可微，则将函数在该点展开为泰勒级数，得：若很小，则，即式中，K为与工作点有关的常数，显然，上式是线性方程，是非线性方程的线性表示。为了保证近似的精度，只能在工作点附近展开。x)(|000xxdxdyyyxxxKxdxdyyxx0|AByx00xxx00y00yy)(xfy控制系统的数学模型控制系统的复域数学模型传递函数是经典控制理论中最重要的数学模型之一。利用传递函数，可以：不必求解微分方程就可以研究零初始条件系统在输入作用下的动态过程。了解系统参数或结构变化时系统动态过程的影响--分析可以对系统性能的要求转化为对传递函数的要求---综合控制系统的数学模型控制系统的复域数学模型)()()()(01110111sXbsbsbsbsYasasasammmmnnnn1、传递函数的定义和性质定义：线性定常系统在零初始条件下输出量的拉氏变换与输出量的拉氏变换之比。)()()()()()(0)1(1)(0)1(1)(txbtxbtxbtyatyatyammmmnnnn)~0,~0(,mjnibaji式中：x(t)—输入，y(t)—输出为常系数设系统或元件的微分方程为：将上式求拉氏变化，得(令初始值为零）控制系统的数学模型控制系统的复域数学模型01110111)()()(asasasabsbsbsbsXsYsGnnnnmmmm称为环节的传递函数性质1)传递函数是系统（或环节）在复数域中的数学模型，是固有特性的描述，反映了线性定常系统输入量和输出量之间的一种关系式。2)传递函数只取决于系统本身的结构参数，与外界输入无关控制系统的数学模型控制系统的复域数学模型3)传递函数是复变量s的有理真分式函数，即mn。（m、n分别为分子、分母的最高阶次。）4)若输入为单位脉冲函数，即r(t)=(t)，则R(s)=L[r(t)]=1，则这说明此时系统的g(t)与传递函数G(s)有单值对应关系，它们都可以用来表征系统的动态特性。5)闭环系统传递函数G(s)的分母并令其为0，就是系统的特征方程。[G(s)]L[R(s)G(s)]Lg(t)-1-1控制系统的数学模型控制系统的结构图与信号流图1.系统结构图的组成和绘制图模型的一个突出优点是直观、形象，是工程上用来分析复杂系统的重要手段。方块图组成的四个基本单元：（a）信号线；（b）分支点(又叫测量点)；（c）比较点(又叫求和点)；（d）方块（又叫环节）；系统的方块图实质上是将原理图与数学方程两者结合起来，它一种对系统的全面描写。()Gs()Rs+-()Cs()()RsCs()rt()ct()Cs()Cs()a()b()c()d()Rs)(sR()Cs[例]利用结构图等效变换讨论两级RC串联电路的传递函数。[解]：不能把左图简单地看成两个RC电路的串联,有负载效应。根据电路定理，有以下式子：iuou1R2R1C2C1i2iui,2i)(1)]()([11sIRsusui11R)(1sI)(sui)(su-)()()(21sIsIsI-)(sI)(1sI)(2sI)(1)(1susCsIsC11)(sI)(su控制系统的数学模型控制系统的结构图与信号流图)(1)]()([22sIRsusuo21R)(2sI)(su)(suo-)(1)(22susCsIosC21)(2sI)(suo总的结构图如下：控制系统的数学模型控制系统的结构图与信号流图2、结构图的等效变换：①环节的合并；--串联--并联--反馈连接②信号分支点或相加点的移动。[原则]：变换前后环节的数学关系保持不变。控制系统的数学模型控制系统的结构图与信号流图1、串联运算法则因为结论：多个环节串联后总的传递函数等于每个环节传递函数的乘积。G(s)=G1(s)G2(s)Gn(s)1()Xs2()Xs3()Xs2()Gs1()Gs(s)X(s)X(s)G121(s)X(s)X(s)G232(s)(s)GG(s)X(s)X(s)X(s)X(s)X(s)XG(s)21231213控制系统的数学模型控制系统的结构图与信号流图2、并联运算法则因为所以结论：多个环节并联后的传递函数等于所有并联环节传递函数之和。G(s)=G1(s)+G2(s)++Gn(s)()Rs()Cs1()Gs2()Gs1()Xs2()Xs+-R(s)(s)X(s)G11C(s)(s)X(s)XR(s)(s)X(s)G2122(s)G(s)GR(s)(s)XR(s)(s)XR(s)(s)X(s)XR(s)C(s)G(s)212121控制系统的数学模型控制系统的结构图与信号流图3、反馈运算法则前向通道和反馈通道传递函数分别为G(s)、H(s)结论：具有负反馈结构环节传递函数等于前向通的传递函数除以1加（若正反馈为减）前向通道与反馈通道传递函数的乘积。+_()Rs()Cs()Hs()Bs()Es()GsH(s)C(s)]G(s)[R(s)B(s)]G(s)[R(s)G(s)E(s)C(s)G(s)H(s)1G(s)R(s)C(s)控制系统的数学模型控制系统的结构图与信号流图序号12345+-++ABCABC+-ABCABC+++ABAGB+-AB-AGB1G+AB-AGBGBA+-AGBGGAGAGAGAGGGGGG+ABCABC-+++CBAABC+_原方块图等效方块图比较点交换比较点分解比较点前移比较点后移分支点前移变换方式AAGG控制系统的数学模型控制系统的结构图与信号流图678910AGAGAAAG1GAG+B-AABABBB+-+-AABABA1G2G12AGAG++A1G2G21G12AGAG++AAAABBBB1G2G+-21G1G2G+-1G1G2G2G1AG1AG1AG1AG分支点后移化成单位并联化成单位反馈分支点交换比较点与分支点交换控制系统的数学模型控制系统的结构图与信号流图[例]系统结构图如下，求传递函数。)()()(sRsCsG)(1sG)(sH)(2sG)(4sG)(3sG-+)(sR)(sC相加点移动控制系统的数学模型控制系统的结构图与信号流图[解]：结构图等效变换如下：)(1sG)()(2sGsH)(2sG)(4sG)(3sG-+)(sR)(sC控制系统的数学模型控制系统的结构图与信号流图)(1sG)()(2sGsH)(2sG)(4sG)(3sG-+)(sR)(sC②)()()(421sGsGsG)()()(1)(323sHsGsGsG)(sR)(sC)()()(1))()()()(()(324213sHsGsGsGsGsGsGsG控制系统的数学模型控制系统的结构图与信号流图4、闭环系统的传递函数：闭环控制系统（也称反馈控制系统）的典型结构图如下图所示：)(1sG)(2sG)(sH)(sR)(sN-+)(sC)(sE图中，，为输入、输出信号，为系统的偏差，为系统的扰动量，这是不希望的输入量。)(sR)(sC)(sE)(sN控制系统的数学模型控制系统的结构图与信号流图（一）给定输入作用下的闭环系统：令，则有：0)(sN)(1sG)(2sG)(sH)(sR-)(sC)(sE)(sBHGGGGsRsCs21211)()()(输出量为：)(1)(2121sRHGGGGsC上式中，称为前向通道传递函数，前向通道指从输入端到输出端沿信号传送方向的通道。前向通道和反馈通道的乘积称为开环传递函数。含义是主反馈通道断开时从输入信号到反馈信号之间的传递函数。)()(21sGsG)