首都师范大学附属中学2008-2009高三第一次月考数学试题(理科)

蓝天家教网高三第一次月考数学试题（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、班级、姓名和考号填写在答卷上2、选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上。3、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4、考生必须保持答卷的整洁，考试结束后，将答题卡交回。第Ⅰ卷（本卷共计40分）一：选择题：（每小题只有一个正确选项，每小题5分，共计40分）1．设P、Q是简单命题，则“P且Q为假”是“P或Q为假”的()A．必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2．同时满足两个条件：①定义域内是减函数②定义域内是奇函数的函数是()A.fxxxB.3fxxC.sinfxxD.lnxfxx3．函数()sin3cos(π0)fxxxx，的单调递增区间是（）Ａ．5ππ6，Ｂ．5ππ66，Ｃ．π03，Ｄ．π06，4．已知A、B、C三点共线（该直线不过原点O），若OC→=xOA→+yOB→，则A.1xyB.||1xyC.1xyD.xy蓝天家教网．数列na满足112,02,121,12nnnnnaaaaa若135a，则数列的第2007项为（）A．15B．25C．35D．456．设12FF，分别是双曲线2222xyab的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使1290FAF且123AFAF，则双曲线的离心率为（）A．52B．102C．152D．57．曲线032)12ln(yxxy上的点到直线的最短距离等于（）A．2B．2C．5D．18．设M是△ABC内一点，且AB→·AC→=23，∠BAC=30，定义f(M)=(m,n,p)，其中m、n、p分别是△MBC、△MCA、△MAB的面积，若f(P)=(12,x,y)，则1x+4y的最小值是（）A．8B．9C．16D．18第Ⅱ卷（非选择题）（本卷共计110分）二：填空题（每小题5分，共计30分）9．直线x+3y=0绕原点按顺时针方向旋转30所得直线与圆(x－2)2+y2=3的位置关系是________________蓝天家教网已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10=03(1+2x)dx，S20=17，则S30为.11．在ABC△中，2AB，3AC，D是边BC的中点，则ADBC________．12．已知正数,ab满足2214ba，则2211ab的最小值=_________13．已知定义在R上的偶函数()fx满足(2)()1fxfx对于xR恒成立，且()0fx,则(5)f________；14．在一次珠宝展览会上,某商家展出一套珠宝首饰,第一件首饰是1颗珠宝,第二件首饰是由6颗珠宝构成如图1所示的正六边形,第三件首饰是由15颗珠宝构成如图2所示的正六边形,第四件首饰是由28颗珠宝构成如图3所示的正六边形,第五件首饰是由45颗珠宝构成如图4所示的正六边形,以后每件首饰都在前一件上,按照这种规律增加一定数量的珠宝,使它构成更大的正六边形,依此推断,设第ｎ件首饰为(1)nan，则1nnaa______________(结果用n表示)三：解答题（共有六个题，满分80分）15．（本题满分12分）已知ABC△的周长为21，且sinsin2sinABC．（I）求边AB的长；（II）若ABC△的面积为1sin6C，求角C的度数.图1图2图3图4蓝天家教网．（本题满分12分）已知|||5|,02:,21221xxmaxxxxPRm不等式的两个根是方程和设对任意实数a∈[1，2]恒成立；Q：函数3423)(2mmxxxf有两个不同的零点.求使“P且Q”为真命题的实数m的取值范围.17．（本题满分14分）已知向量(cos,sin)(0)OAλαλαλ，(sin,cos)OBββ，其中O为坐标原点．（1）若6παβ，求向量OA与OB的夹角；（2）若||AB≥2||OB对任意实数,αβ都成立，求实数λ的取值范围．18．（本题满分14分）yxOAB蓝天家教网伴你快乐成长如图，直线y＝kx＋b与椭圆2214xy交于A、B两点，记△AOB的面积为S．(1).求在k＝0，0＜b＜1的条件下，S的最大值；(2).当｜AB｜＝2，S＝1时，求直线AB的方程．19．（本题满分14分）已知函数()ln()(0)fxxaxa求函数()fx在[0,2]上的最小值。20．（本题满分14分）蓝天家教网伴你快乐成长已知数列{an}、{bn}满足：a1=14，an+bn=1，bn+1=bn1－an2(1)求b1,b2,b3,b4(2)求数列{bn}的通项公式；(3)设Sn=a1a2+a2a3+a3a4+…+anan+1，求实数a为何值时4aSnbn恒成立.试卷答案蓝天家教网伴你快乐成长一：选择题AADCBBCD二：填空题9．相切10.1511.5212.7413.114.43n三：解答题15.解：（I）由题意及正弦定理，得21ABBCAC，2BCACAB，两式相减，得1AB．（5分）（II）由ABC△的面积11sinsin26BCACCC，得13BCAC，（8分）由余弦定理，得222cos2ACBCABCACBC22()2122ACBCACBCABACBC，所以60C．（12分）16.解：由题设2,2121xxaxx，∴22121212||()48xxxxxxa（3分）当8,]2,1[2aa时的最小值为3.（6分）得35328mm（8分）由函数3423)(2mmxxxf有两个不同的零点，则24412()0413mmmm或（11分）由P且Q为真命题得48m（12分）17.解：（1）设向量OA与OB的夹角为，则sin()cos||2|||||OAOBOAOB，（4分）当0时，1cos2，3；（6分）当0时，1cos2，23．（8分）故当0时，向量OA与OB的夹角为3；当0时，向量OA与OB的夹角为32．蓝天家教网伴你快乐成长（另法提示：))3sin(),3(cos())2sin(),2(cos(OB，它可由向量OA绕O点逆时针旋转3而得到，然后分0和0进行讨论．）（2）||2||ABOB对任意的,恒成立，即22(cossin)(sincos)4对任意的,恒成立，即212sin()4对任意的,恒成立，（10分）所以，20214或20214，（13分）解得3或3．故所求实数的取值范围是]3,(∪),3[．（14分）18.(1).解：设点A的坐标为(1(,)xb，点B的坐标为2(,)xb，由2214xy，解得21,221xb所以222121||21112Sbxxbbbb当且仅当22b时，．S取到最大值1．（6分）（2）解：由2214ykxbxy得222(41)8440kxkbxb2216(41)kb（8分）①｜AB｜＝222212216(41)1||1241kbkxxkk（10分）②又因为O到AB的距离2||21||1bSdABk所以221bk（12分）③③代入②并整理，得424410kk解得，2213,22kb，代入①式检验，△＞0故直线AB的方程是2622yx或2622yx或2622yx或2622yx．（14分）蓝天家教网解：1'()1fxxa，当02x时，又0a，则0xa恒成立。（1）在1a时，1'()10fxxa在[0,2]上恒成立()fx在[0,2]上单调递减，()fx最小值为(2)ln(2)2fa（6分）（2）在01a时(1)'(),1xafxxaxa是一个极值点最小值产生于(0),(2)ff2(0)(2)ln[ln(2)2]lnln(2)ffaaaea（10分）在2201ae时，()fx最小值为(0)lnfa在2211ae时()fx最小值为(2)ln(2)2fa综上得在2201ae时，()fx最小值为(0)lnfa在221ae时，()fx最小值为(2)ln(2)2fa（14分）20.解：(1)bn+1=bn(1－an)(1+an)=bnbn(2－bn)=12－bn∵a1=14,b1=34∴b2=45,b3=56,b4=67（4分）(2)∵bn+1－1=12－bn－1∴1bn+1－1=2－bnbn－1=－1+1bn－1∴数列{1bn－1}是以－4为首项，－1为公差的等差数列∴1bn－1=－4－(n－1)=－n－3∴bn=1－1n+3=n+2n+3（8分）(3)an=1－bn=1n+3∴Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1=14×5+15×6+…+1(n+3)(n+4)=14－1n+4=n4(n+4)∴4aSn－bn=ann+4－n+2n+3=(a－1)n2+(3a－6)n－8(n+3)(n+4)由条件可知(a－1)n2+(3a－6)n－80恒成立即可满足条件设f(n)=(a－1)n2+3(a－2)n－8（11分）蓝天家教网=1时，f(n)=－3n－80恒成立a1时，由二次函数的性质知不可能成立a1时，对称轴－32·a－2a－1=－32(1－1a－1)0f(n)在(－,1]为单调递减函数.f(1)=(a－1)n2+(3a－6)n－8=(a－1)+(3a－6)－8=4a－150∴a154∴a1时4aSnb恒成立综上知：a≤1时，4aSnb恒成立（14分）