马尔可夫过程在深圳指数预测中的应用

马尔可夫过程在深圳指数预测中的应用田禹颜虎蒙小兰西南交通大学数学学院摘要股价指数是反映股票市场价格平均水平和变动趋势的指标，是对整个股票市场行情的一种反映。如何准确地预测未来的股价指数，从而有效地防范投资风险，一直是学者关注的问题。本文以深证综合指数为研究对象，建立了3种不同的马尔科夫链模型，分别给出了深证综指的预测结果，并提出了利空度矩阵分析法，对深证综指的跌涨幅度作出了定量分析。在引入了马尔可夫过程的相关理论之后，本文首先建立了指数权马尔可夫链模型。根据指数序列的统计分布特点，对指数变动范围进行了状态划分，使每个交易日的指数唯一对应一个状态，再利用转化得到的状态序列，估计它的各阶状态转移概率矩阵，然后以状态序列的各阶自相关系数为权重，结合各阶转移概率矩阵，对预测期的指数状态进行预测。加权模糊马尔可夫链是对状态划分模糊的马尔可夫链的改进。该模型采用模糊状态划分方法，将原指数序列转化为模糊状态向量序列，在不同时段分别建立模糊状态转移概率矩阵，再利用各时段转移概率矩阵加权求和得到的新转移概率矩阵，对预测期指数的模糊状态进行预测。结合上述两种模型的特点，本文又建立了指数权—加权模糊马尔可夫链模型。该模型采用模糊状态划分方法，通过对建立在不同时段上的各阶转移概率矩阵加权求和，得到最终用于预测的各阶转移概率矩阵，并以指数序列的各阶自相关系数为权重，结合相应的转移概率矩阵，加权预测未来指数的模糊状态。为了定量描述股市的整体跌涨幅度，本文最后建立了利空度分析模型。它基于状态转移概率矩阵构造利空度矩阵，以此计算股市的利空度。利空度的符号和绝对值大小反映了股价指数的跌涨和相应幅度。本文以为计算工具，分别利用各种模型的深证综指进行了实证分析，结果均与实际吻合。说明马尔可夫链模型在股市行情分析中有较好的适用性。7.0MATLAB关键词：马尔可夫链指数权加权模糊利空度1引言面对跌宕起伏的证券市场，中外分析人士一直在竭尽全力，长期不懈地探索市场运行规律。各种技术分析流派都以准确预测市场未来走势为目的，传统技术分析遵循周而复始、重复再现的变化原则，但在实际运用中往往和市场走势背离，预测的结果往往不尽理想。本文基于马尔可夫链建立了3种预测模型，并建立了刻画股指跌涨幅度的利空度矩阵模型，希望能对股价指数的定量分析提供一些思路。2马尔可夫链的相关概念2.1马尔可夫过程的定义马尔可夫过程是具有所谓马尔可夫性的一类特殊的随机过程，这种马尔可夫性意味着：在某时刻所处的状态已知的条件下，过程在时刻处的状态只与过程在时刻的状态有关，与过程在以前的状态无关，这种特性称为无后效性。它严格的数学定义如下：kt(ktttktkt121211221122n-111212,En1,t....,,....,,xxt,x,...x,xxt,x,...x(t)Fa,|,,....;t,....,)nnnnnnnnnXttTtttaaaaEtatatataataataaatt、为一随机过程，为状态空间，若对任意的任意的，任意的机变量在已知条件下下的条件分布函数只与有关，而与无关，即条件分布函数满足等式（F,|,)nnatat（则称此过程为马尔可夫过程。由于马尔可夫过程的无后效性，可以将其称为一个只注重现在而将过去忘却的特殊随机过程。2.2马尔可夫链的定义由上可知马尔可夫过程是无后效性的随机过程，即在系统“现在”状态已知的条件下，其“将来”的状态与“过去”的状态无关。当状态空间和时间参数都是离散情形时，称为马尔可夫链。其严格定义如下：记时间参数为，当时，随机变量12,,,,ntttntt()nXt(1,2,n可能取的状态空间为E()，对任意的12,,aa,Na,,,lmk1111{|,,,}{|mkmkmmmmmkmkmmPXaXaXaXaPXaXa成立。当，即状态转移概率与与初始时刻无关时，为齐次马尔可夫链，此时，称矩阵()()(){|}kijmkmkmmijPmPXaXap()()kijNNpm为系统的步状态转移概率矩阵。k特别地，当时，为马尔可夫链的一步转移概率。矩阵()称为一步转移概率矩阵。由此，根据某一时刻的状态可1k1{|}(,1,2,,ijnjniPPXaXaijNNijNP以预测下一时刻的状态。显然有以下性质：()0,,ijPkijE()1,ijjEPkiE2.3齐次马尔可夫链的遍历性和平稳分布设齐次马尔可夫链的状态空间为E=()，若对所有的i,j属于E，存在不依赖i的常数1,nnXj12,,,Naaa,为其转移概率nijP在ｎ趋于的极限，即jnijnPlim,ijE其相应的转移矩阵有.21.21.21........22221.11211................nppppppppppn则称齐次马尔可夫链具有遍历性，并称j为状态ｊ的稳态概率。齐次马尔可夫链的平稳分布的严格数学定义：设1,nnX是一个齐次马尔可夫链。，若存在实数集合Ejrj,，满足①0,jrj②Ejjr1③,jiijiErrPj则称为平稳齐次马尔可夫链，1,nnX,jrjE是该过程的一个平稳分布。2.4方程CK设为马尔可夫链，状态空间Ｅ＝（），则ｎ步转移概率满足下述等式：....1,0,nnX12,,,Naaa)(rPnij＝,,,mnmikkjkEPrprmijEim这个等式就叫方程CK对应的步转移矩阵为nmrprprpmnmn3指数权马尔可夫链预测法3.1指数权马尔可夫链预测的思路证券指数的变动不仅与各上市公司的经营状况有关，还受宏观经济形势、经济周期和政策变动的影响，因此不宜仅把证券指数作为一阶马尔可夫链来处理，而是有必要考虑连续多阶的相互影响。由于证券指数是一列相依的随机变量，各自相关系数刻画了各种时滞的证券指数间的相关关系的强弱。因此，可考虑先分别根据前若干期的证券指数对预测期证券指数状态进行预测，然后，按前面各期与该预测期相关关系的强弱加权求和，即达到了充分、合理地利用信息进行预测的目的。3.2指数权马尔可夫链的预测步骤⑴根据实际数据的分布特点，对指数序列所能取到的最小值和最大值所限定的区间分为若干小区间：，其中，使每一个交易日的指数仅落入其中一个区间内，每一区间可视为一种状态。再记，则可将指数序列{,0m1iinmliiEm01121[,),[,),,[,)llmmmmmm1,2,,},1,2,mmi1[,imtXtn，转化为一个以{,iEE1,2,}il,为状态空间的随机时间序列。⑵对证券指数序列作马氏性检验：用ijf表示在证券指数状态序列中从状态出发，经过一步转移到达状态12,.,nzzzij的频数，构造频数转移矩阵。记()ijmfm1111,mijijijijmmnijijijjffppff�，则当n较大时，统计量2112lnmmijijijjpfp�服从自由度为21m的2分布。给定显著性水平，查表可得该分布的上分位点22(1)m的值，并计算得到统计量2。若222(1)m则认为序列{符合马氏性，否则不可作为马尔可夫链来处理。}iz⑶计算序列{各阶自相关系数121()(()nkjjkjknjjzzzzrzz，其中，表示阶（时滞为期）自相关系数，表示第krkkjzj年的证券指数状态，z表示证券指数状态序列{的均值，表示该序列的长度。}izn⑷对各阶自相关系数规范化，即1kkMkkrwr，并以作为各时滞的马尔可夫链的权重（M为预测需要的最大阶数）。⑸对⑴所得结果进行统计，可得不同时滞（步长）的马尔可夫链的转移频数矩阵mm，利用公式()()()1kijkijnkijjfpf，构造相应的转移概率矩阵mm。⑹分别以前面若干期的证券指数状态为初始状态，，结合各初始状态在相应的转移概率矩阵所在行，并以各阶自相关系数为权重，通过加权求和即可预测出该期证券指数处于状态的概率i()1,(1,2,,;1,2,,)MkikikPwPkMi，其中()kiP从时滞为k初始状态转移至状态i的k步转移概率。⑺若，则该预测期证券指数所处状态为max{}jPj。将其加入原状态序列，再重复⑴~⑹，可进行下一期的证券指数状态预测。3.3指数权马尔可夫链的实例分析本文以1997年1月2日至年12月日共计1444个交易日的深证综指为例，说明该方法的具体应用。本文限于篇幅，只对一个交易日的指数状态进行预测。200231⑴首先，根据数据的描述性统计结果对数据做状态划分。MATLAB的统计分析结果显示【见附录1】，1444个交易日的深证综指最高值为点，最低值为305.81点。不妨取等间隔长度100，将原始数据划分为4个状态：305为状态1，395为状态，为状态，为状态。664.85395�485�248575�53575665�4⑵利用⑴中确定的状态划分方法，将原始序列转换为状态序列。⑶利用MATLAB根据第2小节的原理可计算得到步长为1、2、3、4的马尔可夫链的转移概率矩阵如下：(1)0.96350.0365000.03190.924300.0438000.9830.01700.10530.02390.8708P(2)0.93820.0618000.05380.892400.0538000.96940.030600.12920.04310.8278P(3)0.92220.0778000.06590.893100.0639000.9660.03400.15310.04780.799P(4)0.91080.0892000.0740.85400.072000.9660.03400.17220.04780.7799P⑷对状态序列做马氏性检验：2112ln3736.5mmijijijjpfp�，给定显著性水平0.05，查表可得上分位点2220.05(1)(9)16.919m，由于222(1)m2，故认为指数状态序列满足马氏性。⑸计算状态序列的各阶自相关系数和各步长的马尔可夫链的权重，如表所示：表1各阶自相关系数和各步长的马尔可夫链权重123k（阶数、步长）4kr（自相关系数）0.99590.99180.98770.9834kw（权重）0.25160.25050.24950.2484⑹利用1997年1月日至年12月日的状态指数序列，结合相应的状态转移概率对年1月2日的深证指数状态进行预测。22002312003表2年1月日证券指数状态预测20032基期初状态时滞权重状态1状态2状态3状态4概率来源110.25160.96350.036500(1)(1,)Pj02/12/31120.25050.93820.061800(2)(1,)Pj02/12/30230.24950.06590.870300.0639(3)(2,)Pj02/12/2702/12/26240.24840.0740.085400.072(4)(2,)Pj转移至末状态的概率加权和iiP0.51230.453900.0338由表知，，即年1月2日的深证指数状态为1，实际当日的指数为，满足状态1的取值范围[305，预测准确。21max{}0.5123iPP380.442003,)3954加权模糊马尔可夫链预测法在第节中的讨论中，采用了明确的状态划分方法，将整个指数取值区间划分为个状态（低、较低、较高、高），使每个交易日的指数唯一地归属于某一状态，然而，这样的状态划分具有一定缺陷，比如处于两状态取值界限的数值兼有左右两侧状态的特点，而在这样的状态划分方式下，只能被强制归为其中的一个状态，这就可能损失部分信息，也很难有说服力。故在本节我们提出一种状态划分模糊的方法，进而建立相应的马尔可夫链模型。344.1状态划分模糊的马尔可夫链预测法的预测步骤⑴将随机变量的取值范围设为U，建立U上的模糊状态集12,,,,MSSS对任意,uU有。则称1()1mMSmu()mSu为数值u对模糊状态的隶属度，也称u对的分配系数。mSmS⑵定义1(SkX()ijSkX)为时刻变为kt1kt时状态到状态的模糊状态转移系数，而称iSjS11nijSkAX1()kX()ijkS为状态到状态的模糊转移频数。jSiS⑶计算模糊转移频率12iiAPAA2,iAt，以此为元素，构作模糊转移概率矩阵。()ij